河南省周口市商水县城关乡第二初级中学八年级下学期5月月考数学试题（解析版）

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一、单选题（共30分）
1. 设，并且，则与之间的关系是（ ）．
A B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质，根据得出，进而根据等式的性质变形得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方、单项式除以单项式、完全平方公式、负整数指数幂分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
3. 如图，在平面直角坐标系中，一块污渍遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分矩形网格，已知每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数的图象恰好经过2个格点A，B，那么k的值是（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】A点的坐标为，则B点的坐标为，根据反比例函数的系数的几何意义可列出等式，进而可得到，的等量关系，根据图象可知的值，进而可知的值，进而可求得系数的值．
【详解】解：设A点的坐标为，
则B点的坐标为，
则：，
解得：，
由图象可知，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
4. 如图，E是的边的中点，延长交的延长线于点F，若，，则的长是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出，证出，由证明，由全等三角形的性质得出，由平行线的性质证出，求出，即可得出的长．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的边的中点，
∴，
在和中，
∴；
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：B．
5. 某排球队6名场上队员的身高（单位：）是：180，184，188，190，192，194，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差不变
C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差不变
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，再进行比较即可得出答案．
【详解】解：原数据的平均数为：，
则原数据的方差为：
新数据的平均数为：，
则新数据的方差为：
，
平均数变小，方差变小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．
6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线上，过点C作轴交双曲线于点E，则的长为（ ）

A. B. 3.5C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由函数解析式，设点，如图所示，过点D作x轴的垂线交于点G，过点A过x轴的平行线交于点H，过点A作轴于点N，，可证得，，得，，同理，得∴，于是，，得，进一步确定相应点坐标，求得线段长
【详解】解：设点，
如图所示，过点D作x轴的垂线交于点G，过点A过x轴的平行线交于点H，过点A作轴于点N，

∵，∠GDC+∠HDA＝90°，
∴，
又，，
∴，
∴，，
同理，
∴，则点，，
∴，解得：，
故点，，，
则点，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数解析式；通过全等三角形寻求线段间的相等关系，进而是确定相关线段长度是解题的关键．
7. 如图，点在平行四边形内，连接、、、，其中与对角线交于点，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出的面积的面积的面积，得出的面积的面积的面积的面积的面积，即可得出结果．
【详解】解：四边形是平行四边形，
的面积的面积平行四边形的面积，的面积平行四边形的面积，
的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积，
即；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的面积关系；熟练掌握平行四边形的性质，得出的面积的面积的面积是解决问题的关键．
8. 函数的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象，根据列表、描点、连线画出的图象，即可解题．
【详解】解：列表：
描点，连线，画出函数图象如图，
故选：C．
9. 在平面直角坐标系中，有，，三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中，分类讨论①当，为对角线时，②当，为对角线时和③当，为对角线时，结合平行四边形的性质画出图形即得出答案．
【详解】解：①当，为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向下平移3个单位，向右平移2个单位得到，
∴向下平移3个单位，向右平移2个单位得到；
②当，为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向上平移1个单位，向左平移4个单位得到，
∴向上平移1个单位，向左平移4个单位得到；
③当，为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向下平移1个单位，向右平移4个单位得到，
∴向下平移1个单位，向右平移4个单位得到．
综上可知点D的坐标可能是或或，不可能是．

故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
10. 如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10.5，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，完全平方公式与图形的面积问题．先证明，得到，进而得到，推出空白部分的面积等于正方形的面积减去，即：，利用，结合勾股定理和完全平方公式得到，进一步求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①②得：，
解得或（负值舍去）．
故选：C．
二、填空题（共15分）
11. 计算的结果是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据异分母分式的加减运算法则进行运算，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
．
12. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的乘方，按照分式的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：.
故答案为：.
13. 如图，的顶点坐标分别为，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为______．

【答案】16
【解析】
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，根据题意，画出图形，得到四边形为平行四边形，当点与点重合时，点在直线上，根据点坐标，得到与的长，进而求出点的坐标，得到的长，再利用面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图，当平移到的位置时，四边形为平行四边形，

当点与点重合时，点在直线上，
∵，
∴轴，
∴，
∵，当时，，
∴，
∴，
∴线段扫过的面积为；
故答案为：16．
14. 如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点C为x轴负半轴上一点，．则点C的坐标是 __．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．
过点B作，交直线于点D，过点D作轴于点E，根据题意易得为等腰直角三角形，进而证明，得出，再利用待定系数法求得直线AC解析式为，最后求出点C的坐标即可．
【详解】解：如图，过点B作，交直线于点D，过点D作轴于点E，
直线与坐标轴交于A、B两点，
，，
，，
，，
为等腰直角三角形，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，
解得：，
直线AC的解析式为，
令得，则，
解得：，
，
故答案为：．
15. 如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使，延长交于点M，连接、，若C为中点，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识点．作，，，证、，根据全等三角形的性质结合勾股定理即可求解．
【详解】解：作，，，如图：
，
，
，
，
，
，
，
∵，∴，
，
，
∵C为中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共75分）
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式运算法则进行化简，准确代入数值计算．根据分式运算法则先化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式
当时，原式
17. 已知与成正比例，且它的图像过点．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）若点在此函数图像上，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查成正比例的意义，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征，
（1）设与之间的函数关系式为，再将代入，得到关于的方程，求解即可；
（2）利用一次函数图像上点的坐标特征可求出值，进而可得出点的坐标；
解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用一次函数图像上点的坐标特征求出值．
【小问1详解】
解：∵与成正比例，且它的图像过点，
设，
∴，
解得：，
∴与之间的函数解析式为；
【小问2详解】
∵点在函数的图像上，
∴，
解得：，
∴，
∴点的坐标为．
18. 如图所示：在中，连接．

（1）作线段的垂直平分线交于点E，交于点F（尺规作图保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本作图，分别以B点和D点为圆心，以大于线段长的一半为半径画弧即可作的垂直平分线；
（2）先利用线段垂直平分线的性质得到，，再利用平行四边形的性质和平行线的性质得到，则可证明，所以，根据，从而可判断四边形是平行四边形．
【小问1详解】
解：如图即为所求，
【小问2详解】
解：∵垂直平分，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了作图一复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的判定与性质．
19. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为个等级：．优秀，．良好，．中，．合格，并将统计结果绘制成如下两幅统计图．
（1）求本次抽样调查的学生总数；
（2）求扇形统计图中，等级所在扇形的圆心角度数并补全条形统计图；
（3）判断本次环保知识竞赛学生成绩的中位数在哪个等级，并说明理由．
【答案】（1）调查的学生总数为名
（2），见解析
（3）B等级，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体；
（1）由优秀的人数除以所占百分比即可得出总人数；
（2）先用等级人数除以总人数，求出占总体的比例，再根据各部分扇形圆心角的度数部分占总体的百分比，即可求解；用总人数减去、、等级的人数即可求出合格的人数，再补全条形统计图即可；
（3）根据中位数的意义解答即可．
【小问1详解】
（名）
答：调查的学生总数为名．
【小问2详解】
，
，
故等级所在扇形的圆心角度数为；
（人），所以合格的人数为人，可以作图如下：
【小问3详解】
将学生成绩从小到大排列，排在中间的两成绩均处于等级，所以本次环保知识竞赛学生成绩的中位数在等级．
20. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元?
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子500千克，且总费用不超过5800元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子?
【答案】（1）该商场节后每千克A粽子的进价是10元
（2）该商场节前最多购进400千克A粽子
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解此题的关键．
（1）设商场节后每千克A粽子的进价是元，则商场节前每千克A粽子的进价是元，根据“节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同”列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）设该商场节前购进千克A粽子，则该商场节后购进千克A粽子，根据“总费用不超过5800元”列出不等式，解不等式即可得出答案．
【小问1详解】
解：设商场节后每千克A粽子的进价是元，则商场节前每千克A粽子的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
商场节后每千克A粽子的进价是元；
【小问2详解】
解：设该商场节前购进千克A粽子，则该商场节后购进千克A粽子，
由题意得：，
解得：，
该商场节前最多购进千克A粽子．
21. 如图，点F为正方形内一点，连接，，，将绕着点A按顺时针方向旋转至，延长交于点H．

（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）四边形为正方形；
（2）7
【解析】
【分析】本题是四边型的综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和正方形的判断方法；
（1）由旋转性质得，，即可解答；
（2）设，则，再根据勾股定理可求出x，再由（2）中得出的结论四边形为正方形可知，，即可解答．
【小问1详解】
解：将绕着点A按顺时针方向旋转至，
，，
，
在四边形中，
，
四边形为正方形；
【小问2详解】
解：设，
，
四边形为正方形，
，
在中，由勾股定理得：
，即，
解得：或，
由图可知：，即
，
，，
，
，
．
22. 如图1，在中，于E，E恰为BC的中点．

（1）求证：；
（2）如图2，点在上，作于点，连结．求证：；
（3）请你在图3中画图探究：当为射线上任意一点(不与点重合)时，作于点，连结，线段与之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），
【解析】
【分析】（1）首先根据知：，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证．
（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作，交于，通过证，来得到是等腰直角三角形且，由此得证．
（3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已．
【小问1详解】
证明： ∵，
∴；
∵是中点，
∴，
即；
又∵四边形是平行四边形，则；
故．
【小问2详解】
证明：作，交于；(如图2)

∵，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，且，
∴，且，
故；
【小问3详解】
解：如图3，

①当在线段上时，有，
证明方法类似（2）．
②如图中，点在上，．

理由：将绕点逆时针旋转得到
∴，
同（1）可得∶
，
则．
③如图，点在的延长线上，，

证明方法类似（2）．
综上所述，与之间的数量关系为：、
【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，正确的构造出全等三角形是解题的关键．
23. 已知：在中，．求作：菱形．
作法：
①延长，以点O为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点C；
②延长，以点O为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点B；
③连接．
所以四边形即为所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ， ，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴．
∴平行四边形是菱形．（ ）（填推理依据）．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据要求作出图形；
（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【小问1详解】
解：如图，菱形即为所求；
【小问2详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴．
∴平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）．
x
…
1
2
3
…
y
…
…