河南省周口市商水县大武乡联合中学八年级下学期5月月考数学试题（解析版）

这是一份河南省周口市商水县大武乡联合中学八年级下学期5月月考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共30分）
1. 在实数范围内规定※，若※，则为（ ）
A. 1B. －1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查定义新运算，解分式方程的运用，根据定义新运算的规则将变形为分式方程，再根据解分式方程的方法即可求解，理解定义新运算的运算法则，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
等式两边同时乘以去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得，，
检验，当时，原分式方程的分母，原分式方程有意义，
∴是原分式方程的解，
故选：B．
2. 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm？设边框的宽度为xcm，下列符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可．
【详解】装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得
．
故选：D．
3. 在数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”中，前30米为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．小斌某次百米赛时其速度与路程之间的关系如图所示．根据图象，运用数学模型分析下列说法不正确的是( )
A. 第15米时小斌的速度是B. 加速期结束时小斌的速度最大
C. 中途期小斌的速度先增大后减小D. 冲刺期，小斌的速度增加至最大
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，观察图象逐项分析判断即可．
【详解】解：第米时小斌的速度是,
∴A正确，不符合题意；
由图象可知，冲刺期结束时小斌的速度最大，
∴B不正确，符合题意；
中途期小斌的速度先增大后减小，
∴C正确，不符合题意；
冲刺期，小斌的速度增加至最大，
∴D正确，不符合题意．
故选：B．
4. 如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、折叠的性质，由平行四边形的性质得出，从而得出，由折叠的性质可得：，再由三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
故选：A．
5. 某校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一人代表学校参加数学竞赛，四名同学平时成绩的平均数（单位：分）及方差如下表所示，若要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，则应该选择的同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】比较四位同学的平均成绩和方差，得到丁同学的平均成绩分数最大且平均成绩的方差最小，即成绩最好且最稳定，选择丁．
【详解】∵四位同学的平均成绩：甲94分，乙96分，丙93分，丁96分，
∴乙、丁的成绩最好，
∵四位同学成绩的方差：,甲0.7，乙1.5，,1.1，丁0.7，
∴甲、丁的成绩最稳定，
∴同学丁的成绩最好且最稳定，选择丁．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根据调查数据作决策，解决问题的关键是熟练掌握根据平均数和方差作决策．
6. 如图，在中，，点是边的中点，连结，将沿直线翻折得到，连结．若，，则线段的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接BE，延长CD交BE与点H，作CF⊥AB，垂足为F．首先证明DC垂直平分线段BE，△ABE是直角三角形，利用三角形的面积求出EH，得到BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BE，延长CD交BE与点H，作CF⊥AB，垂足为F．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，CD=5，
∴AD=DB=CD=5，AB=10．
∵AC=6，
∴BC==8．
∵S△ABC=AC•BC=AB•CF，
∴×6×8=×10×CF，
解得CF=．
∵将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，
∴BC=CE，BD=DE，
∴CH⊥BE，BH=HE．
∵AD=DB=DE，
∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，
∴S△ECD=S△ACD，
∴DC•HE=AD•CF，
∵DC=AD，
∴HE=CF=．
∴BE=2EH=．
∵∠AEB=90°，
∴AE=．
故选A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题关键是利用面积法求高．
7. 如图，在平行四边形中，P是边上一点，且分别平分，若，则平行四边形的面积是（ ）
A. 6B. 12C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，以及勾股定理．由题意可得，进而可推出；求出即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵分别平分，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴，
故选：B．
8. ，两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到地的距离都是骑车时间的一次函数，其图像如图所示．已知1 h后乙距离地80 km，2 h后甲距离地30 km，则经过多长时间两人将相遇？（ ）
A. 3 hB. C. D. 4 h
【答案】B
【解析】
【分析】利用待定系数法分别求出一次函数解析式，联立函数解析式即可求出相遇的时间．
【详解】设表示甲的直线的关系式为：，则，
解得：，故；
设表示乙的直线关系式为：，将，代入，得
，
解得：，
∴；
当，则，
解得：．
故选B
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．
9. 如图，，直线与直线之间的距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为（ ）

A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图可知四边形是平行四边形，连接，根据垂线段最短，得到当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，即可得出结论．
【详解】解：如图：由作图可知，四边形是平行四边形，

∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴点到直线的距离等于点到直线的距离，
∴点到直线的距离为2，
连接，则：当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，
即：；
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．解题的关键是根据作图得出四边形是平行四边形．
10. 如图，矩形的顶点坐标分别为，，，，动点F在边上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G，若，则k的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设，则，，，待定系数法求直线的解析式为，进而可求，，则，由勾股定理得，，如图，作于，则，，由勾股定理得，，则，可求，进而可求的值．
详解】解：设，则，，，
设直线的解析式为，则，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
当时，，即，
∴，
由勾股定理得，，
如图，作于，则，

∴，
由勾股定理得，，
∴，
解得，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理是解题的关键．
二、填空题（共15分）
11. 将数0.000000069用科学记数法表示___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将数0.000000069用科学记数法表示为，
故答案为：．
12. 已知，则的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查分式的求值，结合已知条件得，将其代入分式中计算即可．
【详解】解：由已知条件化简得：，
则．
故答案为：．
13. 如图，下列每个三角形中三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是______．
【答案】y=x+2x-2（x≥2）
【解析】
【分析】根据题意得：第1个图：y=1+1+20，第2个图：y=3+2=2+1+21，第3个图：y=4+4=3+1+22，第4个图：y=5+8=4+1+23，…以此类推第n个图：y=n+1+2n+1-2，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20，
第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21，
第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22，
第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23，
…
以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2，
y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2），
故答案为：y=x+2x-2（x≥2）．
【点睛】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可．
14. 已知，两地相距，甲、乙两人沿同条公路从地出发到地，甲骑自行车匀速达到地，乙骑摩托车匀速达到地后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，他们离地的距离（单位：）与甲行驶时间（单位：）的函数图象如图所示，则甲、乙两人先后相遇间隔时间为______分钟．

【答案】45
【解析】
【分析】根据图象，分别求出甲、乙两人的速度，再根据第一次相遇时，两人路程相同；第二次相遇时，两人路程和等于AB两地距离，列出方程求解即可．
【详解】解：根据图象可知：乙在甲出发1小时后才出发，
甲的速度：，
乙的速度：，
∴乙在第2小时到达B地．
设经过第一次相遇，
，
解得：，
设经过第二次相遇，
，
解得：，
∴甲、乙两人先后相遇间隔时间为：，
，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了根据函数图象获取信息，解一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确识别函数图象，根据图象获取需要数据，列出方程求解．
15. 如图，在中，已知，，，是边上一动点，于点，于点，为与的交点，则的最小值为________．

【答案】
【解析】
【分析】先证明是直角三角形，且，再证明四边形是矩形，得到．根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，此时取得最小值，利用等积法求出此时的，即可得到的最小值．
【详解】解：在中，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，此时取得最小值，
∵，即，
∴取得最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、矩形的判定及性质、垂线段最短，解题的关键是能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
三、解答题（共75分）
16. 解方程：
（1）
（2）＝
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】(1)先去分母，把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入最简公分母进行检验即可；
(2)方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入最简公分母进行检验．
【小问1详解】
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是分式方程的解．
【小问2详解】
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是增根，分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解答此类题目时要注意验根，这是此类题目的易错点．
17. 五一黄金周，小红一家驾车出游，出发时油箱内存有一定数量的汽油，行驶若干小时后，到达第一个旅游景点A，游玩后驾车赶往第二个景点，从第一个景点出发4h后在途中某一加油站加油，加油5分钟使油箱内汽油的升数与未出发前一致，若汽车从始至终都是以同一速度匀速行驶，图中表示的是该过程中油箱里的剩油量（L）与行驶时间（h）之间的函数关系．

（1）油箱内原有汽油________升；在第一个景点游玩________h；
（2）A点坐标表示的实际意义________；
（3）直接写出C点坐标________；
（4）求所在直线解析式．
【答案】（1）40；4；
（2）行驶2h后，邮箱内还有油30升；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，以及利用待定系数法求函数解析式，观察函数图象的横坐标得出时间，观察函数图象的纵坐标得出油量和时间关系是解题关键．
（1）根据函数图象的纵坐标，可得原有汽油量；根据函数图象的横坐标，可得第一个景点游玩时间；
（2）根据横纵坐标意义回答即可；
（3）根据题意得到，利用从第一个景点出发时的油量减去单位耗油量乘以行驶时间，进行求解即可得到；
（4）根据题意得到D点坐标，利用待定系数法，可得函数解析式．
【小问1详解】
解：由图知，油箱内原有汽油升；
段表示游玩，且（），
在第一个景点游玩，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：由图知，A点坐标表示的实际意义为：行驶2h后，邮箱内还有油30升；
故答案为：行驶2h后，邮箱内还有油30升；
【小问3详解】
解：从第一个景点出发4h后在途中某一加油站加油，
，
汽车从始至终都是以同一速度匀速行驶，
又（L/h），
（L），
，
C点坐标为，
故答案为：；
【小问4详解】
解：加油5分钟使油箱内汽油的升数与未出发前一致，
（），
D点坐标为，
设所在直线解析式为，
，解得，
所在直线解析式为．
18. 如图一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（n，﹣1）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式kx+b≥的解集；
（3）设AB与y轴相交于M，C为线段BA延长线上一点，作 与反比例函数y＝交于点D，连接OD，当四边形MCDO为平行四边形时，求点C的横坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出反比例函数，再根据反比例函数求出B点坐标，然后用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据图像，找到一次函数图像在反比例函数的上方时，x的取值范围即可；
（3）利用平行四边形的性质对边相等即可求出．
【小问1详解】
解：将点A（2，3）代入反比例函数得：
，
∴反比例函数的解析式为：，把B（n，﹣1）代入得：
，解得：，
∴B（﹣6，﹣1），
把A（2，3），B（﹣6，﹣1）代入y＝kx+b得：
解得：
∴一次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：有图像可知：
当 或 时：直线在双曲线上方，
故：不等式kx+b≥解集为： 或；
【小问3详解】
解：当x=0时：，
∴M（0，2），
设C点坐标：（a，a+2）
∵，D在双曲线上，故D：（a，）
当四边形MCDO为平行四边形时：，
解得：，
经检验：是原方程的根；
∴C点的横坐标为：．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用，准确的求出反比例函数和一次函数的解析式是解题的关键．
19. 某篮球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投次，进球的个数统计结果如下：甲：9，9，8，5，9；乙：7，9，7，7，；列表进行数据分析：
（1） ______， ______，______，______；
（2）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由．
【答案】（1）8，9，7，
（2）选择甲选手参加比赛．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数，众数，中位数，方差的定义或公式，计算求解即可；
（2）利用平均数，众数，中位数，方差进行决策即可．
【小问1详解】
解：由题意知，乙的平均数；
将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：5，8，9，9，9，位置在最中间的是9，
∴这组数据的中位数；
乙的5个数据中7出现了三次，出现次数最多，即乙组数据的众数；
，
故答案为：8，9，7，．
【小问2详解】
解：选择甲选手参加比赛，理由如下；
由题意知，甲乙的平均数相同，但甲的众数比乙的众数大，中位数比乙的大，
∴选择甲选手．
【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差．熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的计算是解题的关键．
20. 绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润售价进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【答案】（1）乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元
（2）共有两种方案：方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
（1）设乙种牛奶的进价为每件元，则甲种牛奶的进价为每件元，由题意列出关于的方程，求出的值即可；
（2）设购进乙种牛奶件，则购进甲种牛奶件，根据题意列出关于的不等式组，求出的整数解即可得出结论．
【小问1详解】
解：设乙种牛奶的进价为每件元，则甲种牛奶的进价为每件元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元．
【小问2详解】
解：设购进乙种牛奶件，则购进甲种牛奶件，
由题意得，
解得：．
为整数，
或25，
共有两种方案：方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
21. 实践与探究
（1）如图1，在矩形中，点F是上一点，点E是的中点，平分．求证：；
（2）如图2，将（1）中的“矩形”改为“”，结论是否成立？若成立，请证明；
（3）如图3，将（1）中的“矩形”改为“正方形”，边长，其它条件不变，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）成立，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过点E作得垂线，垂足为G，结合矩形性质，通过证明，因为点E是中点，得证，化简线段的和差关系，即可作答．
（2）在上截取，连接，结合平分线的定义，得证，因为平行四边形的性质，结合角的换算，即可作答．
（3）结合正方形的性质，设，则，，由勾股定理列式代入数，得，再进行解方程即可．
【小问1详解】
解：如图1，过点E作得垂线，垂足为G，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴
在和中
，
∴
∴，，
∵点E是中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：成立，理由如下：
如图2，在上截取，连接，
∵平分，
∴
在和中
，
∴
∴，，
∵点E是中点，
∴，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
又∵，，
∴，
∴
∴，
∴
在和中
，
∴，
∴
∵，，，
∴，
∴
【小问3详解】
解：如图3，在上截取，
∵正方形是特殊的平行四边形，
∴（2）中的仍然成立．
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
即．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、矩形的性质与判定、全等三角形的综合，勾股定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22. 完成下列各题：
（1）如图，已知，，．
①请说明：；
②可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；
③求的度数．
（2）如图，在中，和的平分线分别交边和于点E，F．
①若，求的度数；
②求证：．
【答案】（1）①见解析；②可以绕点A逆时针旋转得到；③；（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质，旋转变换，三角形外角的性质：
（1）①根据全等三角形的性质得到，据此可证明；②根据题意可得可以绕点A逆时针旋转得到；③先得到，再由全等三角形的性质得到，则由三角形外角的性质可得；
（2）①由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义可得；②先由平行四边形的性质得到，同理可得，进而证明四边形是平行四边形，则．
【详解】解：（1）①∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴可以绕点A逆时针旋转得到；
③由（1）①得，
∵
∴，
∴；
（2）①∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵平分，
∴；
②∵四边形是平行四边形，
∴，
同理可，
∴，
∴四边形平行四边形，
∴．
23. 如图，在正方形中，E、F分别为和上的点，作于M．

（1）求证：；
（2）在上截取，连接，G为中点，连接，．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段和的数量关系，并证明．
【答案】（1）详见解析
（2）①图见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，根据平行线的性质得出，结合，通过导角可证；
（2）①依题意画图即可；②连接并延长使得，连接，，构造，推出，进而证明，推出，可证，是等腰直角三角形，可得．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①根据题意补全图形如图所示：

②，
证明：连接并延长使得，连接，．

∵点G为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
由正方形的性质可知，，
∴，
∴，
则，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，则也是等腰直角三角形，
∴．
甲
乙
丙
丁
平时成绩的平均数（分）
94
96
93
96
方差
0.7
1.5
1.1
0.7
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
7
c