河南省周口市商水县固墙镇第三初级中学八年级下学期5月月考数学试题（解析版）

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一、单选题（共30分）
1. “行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段横穿双向车道，其中，米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过的速度是通过的1.3倍，求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小刚通过的速度为x米/秒，通过的速度为米/秒，利用小刚共用时10秒通过，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
设小刚通过的速度为x米/秒，通过的速度为米/秒，
∴，
故选A
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方及积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方及分式的运算逐一判断即可．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
故选：C．
3. 生物学研究表明，当光合作用与呼吸作用强度的差越大时，植物体内积累的有机物越多，产量也就越高．为了解某经济作物的产量与种植密度的关系，研究人员通过实验得到该经济作物的种植密度分别与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. 呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后不变
B. 种植密度越大，该经济作物的产量越高
C. 种植密度为d时，该经济作物的产量最高
D. 种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查函数图象，根据经济作物的种植密度与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系解答此题即可
【详解】解：A. 呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后变小，故原选项说法错误，不符合题意；
B. 种植密度为时，该经济作物的产量最高，故原选项说法错误，不符合题意；
C. 种植密度为时，光合作用强度和呼吸作用的强度差最大，植物体内积累的有机物最多，该经济作物的产量最高，故原选项说法错误，不符合题意；
D. 种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量,说法正确，符合题意，
故选：D
4. 若平行四边形的一边长为，则它的两条对角线长可以是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，交延长线于点，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，结合图形及三角形三边关系求解即可得出结果.
【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，

四边形为平行四边形，
，
在中：，
即，
，
选项中只有B中的数据能满足此关系：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，三角形三边关系的应用，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
5. 下表是某公司25位员工收入的资料：
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ ）
A. 平均数和众数B. 平均数和中位数
C. 平均数和方差D. 中位数和众数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了众数、中位数、方差、平均数，求出数据的众数和中位数以及平均数，再与25名员工的收入进行比较即可．
【详解】解：该公司员工月收入的众数为3000元，在25名员工中有13人在这些数据之上，
所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平；
因为公司共有员工人，
所以该公司员工月收入的中位数为3400元；
由于在25名员工中在此数据及以上的有13人，
所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平；
该公司员工月收入的平均数为，
在25名员工中有3人在这些数据之上，
所以平均数不能反映该公司全体员工月收入水平；
方差是衡量数据的离散程度，不能反映该公司全体员工月收入水平；
故选：D．
6. 如图，，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点A，交于点B；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线；连接，，，过点P作于点E，于点F，下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，和菱形的判定定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论．本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，基本作图和菱形的判定定理，利用基本作图的过程得出线段相等的条件是解题的关键．
【详解】解：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，
，
，
是等边三角形，
∴①的结论正确，
分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，
，
在和中，
，
，
．
，，
．
∴②的结论正确；
，，
．
在和中，
，
．
∴③的结论正确，
由作图过程可知：与不一定相等，
四边形不一定是菱形，
不一定等于．
∴④的结论错误，
正确的结论共3个，
故选：B．
7. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（ ）

A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理，由等腰直角三角形的判定与性质得出，由平行四边形的性质得出，，由勾股定理得出，即可得解．
【详解】解：，，，
为等腰直角三角形，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
故选：D．
8. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 函数图象分别位于第一、三象限B. 函数图象经过点
C. 当时，y随x 的增大而减小D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、因为，所以此函数图象的两个分支位于二、四象限，故本选项不符合题意；
B、当时，，所以此函数图象过点，故本选项不符合题意；
C、因为，所以当时，y随着x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D、当时，，当时，，所以当时，，故本选项符合题意；
故选D．
9. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象交平行四边形于点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上，已知平行四边形的面积是，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出反比例函数解析式为，再求出直线的解析式为，设，则，则，由平行四边形的面积是，得到，解得，则．
【详解】解：把点代入到反比例函数解析式中得，
∴，
∴反比例函数解析式为；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵平行四边形的面积是，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，平行四边形的性质，正确推出是解题的关键．
10. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ）

A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系．
根据正方形的对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值．
【详解】连接，

∵四边形是正方形，是其对角线，
∴，
又，
∴，
∴，
，
连接交于点，
（三角形两边之和大于第三边）．
当点P运动到时，
，
解得，
．
连接，则．
在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，，
故选：C．
二、填空题（共15分）
11. 如果分式值为零，那么实数m的取值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式为零的条件．熟练掌握分式为零的条件是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：∵分式值为零，
∴，
解得，，
故答案为：．
12. 方程的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程求解．先整理成同分母的分式，再去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可求出结果，最后再进行检验．
【详解】解：整理：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原分式方程的解，故原分式方程的解为．
故答案：．
13. 如图，在平而直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点的坐标为，第2个点的坐标为，第3个点的坐标为……根据这个规律，第2024个点的坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键．
根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，由，解得．由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为，由图可知，再往前推1个点的坐标即可得到答案．
【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为；
第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为；
第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为；
第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为；
故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，，
解得：．
由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为，由图可知，再往前推1个点的坐标为：．
故答案为：
14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上的两点，，满足，轴，轴，若的面积为，则的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数中的几何意义，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据反比例函数的几何意义，得出，根据得出根据的面积为，得出，进而代入梯形面积公式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，

∵
又∵
∴
∵反比例函数图象上的两点，，轴，轴，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
15. 如图，已知，，，点，分别是边上的动点，满足．连接，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作，且使，连接，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，故当点在同一直线上时，的值最小，即线段的长度，然后求解即可．
【详解】解：如下图，过点作，且使，连接，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点在同一直线上时，的值最小，即线段的长度，
∵，，，
∴，
∴四边形矩形，
∴，，
∴，
∴当取最小值时，
可有，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共75分）
16. 下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：
解：去分母，得 …………第一步
去括号，得 …………第二步
移项、合并同类项，得 …………第三步
解得， …………第四步
则原分式方程的解为…………第五步
（1）第一步的依据是________________________________；
（2）上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．
【答案】（1）等式的基本性质
（2）五，没有对分式方程的根进行检验
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）根据题意可知，第一步的依据是等式的性质；
（2）观察可知，分式方程的解为原方程的增根，即在第五步错误，没有对分式方程的解进行检验．
【小问1详解】
解：观察解题过程可知，第一步的依据是等式的基本性质，
故答案为：等式的基本性质；
【小问2详解】
解：观察可知，上面解题过程从第五步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的根进行检验，
故答案为：五；没有对分式方程的根进行检验．
17. 如图，正方形中，，过点作轴的垂线交过点的反比例函数图象于点，交轴于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点坐标；不存在请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存，或或或
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键．
（1）过点A作轴于点F，求出，证明，进一步求出点坐标为，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）证明，则，得到，则E点的横坐标为，把代入得，即可得到答案；
（3）分四种情况分别进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图，过点A作轴于点F，
，
，
∵四边形为正方形，
，
，
轴，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
点坐标为，
设反比例函数解析式为，
把代入得，
∴反比例函数解析式为;
【小问2详解】
∵四边形为正方形，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
∴E点的横坐标为，
把代入得，
点坐标为;
【小问3详解】
如图，
∴
∴
当则，
故点的坐标是，
当则，
当设，则，
故在中，，
即，
解得，即点与点G重合，故，
当则，
综上可知，符合题意的点的坐标为或或或
18. 如图，点E，F分别在平行四边形的边上，且．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
证明，进而结论得证．
【详解】证明：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
19. 某校拟派一名跳远运动员参加市运动会比赛，对甲、乙两名跳远运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：）如下表，并制作了甲、乙两人成绩的统计图．
（1）对上表中的数据进行整理，得到下面的表格
则上表中的 ， ．
（2）请根据所学数据分析的知识，判断两人中 （填“甲”或“乙"）的成绩更稳定，并简述你的判断依据．
（3）已知运动会跳远记录为．为获得冠军，应该派哪位运动员参加比赛？请简述理由．
【答案】（1）；
（2）甲更稳定；判断依据见解析
（3）派乙运动员参赛更有机会获得冠军；理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了求一组数据的众数，中位数，方差，根据方差判断稳定性，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式．
（1）根据出现最多的数叫众数及最中间的数或最中间两个的平均数叫中位数直接求解即可得到答案；
（2）本题考查求方差及根据方差做决策，先根据方差的计算公式求出方差，再根据方差大波动大，方差小波动小求解即可得到答案；
（3）根据跳远记录为，结合两个运动员的成绩即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得：甲运动员出现次数最多的是，
∴众数，
乙运动员8次成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为和，
∴中位数；
【小问2详解】
解：由题意可得，
，
，
∵，
∴甲更稳定；
【小问3详解】
解：∵乙运动员8次成绩中有6次达到或超过，甲运动员8次成绩中只有3次达到或超过，
∴派乙运动员参赛更有机会获得冠军．
20. 绿色发展，生态建设，打造最靓“绿心”．某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了1800元，购买乙种树苗花了1440元，甲种树苗的单价是乙种树苗的1.5倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少20棵．
（1）求甲、乙两种树苗单价分别是多少元？
（2）为扩大园区绿化面积，该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共100棵，若总金额不超过1527元，问最少购进多少棵乙种树苗？
【答案】（1）甲种树苗单价是18元，乙种树苗单价是12元；
（2）最少购进46棵乙种树苗．
【解析】
【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设乙种树苗单价是x元，则甲种树苗单价是1.5x元，根据购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少20棵，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进乙种树苗m棵，则购进甲种树苗棵，根据总金额不超过1527元，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
设乙种树苗单价是x元，则甲种树苗单价是1.5x元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲种树苗单价是18元，乙种树苗单价是12元；
【小问2详解】
设购进乙种树苗m棵，则购进甲种树苗棵，
依题意得：，
解得：，
又∵m为整数，
∴m的最小值为46，
答：最少购进46棵乙种树苗．
21. 如图，D在的边上，，交于点M，．
（1）求证：；
（2）请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由）
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形与矩形之间的关系是解题的关键；
（1）根据平行线的性质得，证明，根据全等三角形对应边相等得出答案；
（2）先判断四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形直接判断即可．
【小问1详解】
，
，
在和中
，
，
，
【小问2详解】
，理由如下：
由（1）得：
，，
四边形是平行四边形，
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
22. 如图，点O为的对角线的中点，经过点O的直线分别交和于点E，F，交和的延长线于点G，H．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则．再根据证明，即可得．
（2）根据平行四边形的性质可得，则．再根据证明，即可得，进而可求得的长．
本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键．
【小问1详解】
四边形是平行四边形，
∥，
，
∵是的中点，
，
又∵，
，
；
【小问2详解】
四边形是平行四边形，
，即，
，
又，，
，
，
．
23. 如图，在正方形中，点是边上的一动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交边于点，连接，．

（1）补全图形，探究与的数量关系并证明；
（2）过点作于点E，交的延长线于点，连接．
直接写出的形状；
用等式表示线段，的数量关系，并证明．
【答案】（1）补图见解析，，证明见解析
（2）为等腰直角三角形；，理由见解析．
【解析】
【分析】（）根据题意画出图形即可，根据对称得，得到，，，再由证明，得到，得到，即得；
（）由（）和正方形的性质可得，又由，得，即可得到为等腰直角三角形；．过点作交的延长线于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，则得出 ，证得是等腰直角三角形，则可得出结论；
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：补全图形如下：

，
证明如下：∵四边形是正方形，
∴，，
∵ 点关于直线的对称点为，
∴，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：如图，

∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形；
，证明如下：
如图，过点作交的延长线于点，连接，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
月收入/元
45000
18000
10000
5500
5000
3400
3000
1000
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
5.67
5.68
5.68
5.74
5.75
5.68
5.68
乙
5.62
5.76
5.73
5.69
5.63
5.73
5.69
5.75
平均数
众数
中位数
甲
5.70
5.68
乙
5.70
5.69