河南省南阳市第二十一学校八年级下学期6月月考数学试题（解析版）

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1. 2023年4月8日至23日洛阳牡丹花会盛大开启．唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蓉净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”某品种的牡丹花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，，n为整数，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定，熟练掌握表示方法是解题关键．
2. 若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据周长求出边长，利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】∵菱形的周长为8，
∴边长=2，
∴菱形的面积=2×2=4，
故选：B．
【点睛】此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积=底×高是解题的关键．
3. 在平行四边形中添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：如图，
A、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B、根据四边形是平行四边形和不能推出四边形是矩形，故本选项符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 若平行四边形的一边长为，则它的两条对角线长可以是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，交延长线于点，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，结合图形及三角形三边关系求解即可得出结果.
【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，

四边形为平行四边形，
，
在中：，
即，
，
选项中只有B中的数据能满足此关系：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，三角形三边关系的应用，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
5. “行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段横穿双向车道，其中，米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过的速度是通过的1.3倍，求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小刚通过的速度为x米/秒，通过的速度为米/秒，利用小刚共用时10秒通过，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
设小刚通过的速度为x米/秒，通过的速度为米/秒，
∴，
故选A
6. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先把代入直线即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【详解】解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴关于x，y的方程组的解为．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解．
7. 如图，矩形的对角线相交于点，，若，则四边形的周长为（ ）
A. 4B. 8C. 6D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形，
∴，
∴四边形CODE的周长，
故选：B．
8. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折叠性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键．由折叠的性质可知，，根据平行四边形的性质，得到，进而得出，再结合三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
9. 如图，在菱形中，E，F分别在，上，，．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用菱形的性质求出，的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，证明可求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可．
【详解】解：∵菱形，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
又，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
10. 如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点，以每秒的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点的坐标为（ ）

A. 2,0B. 0,2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点G的变化特点，利用数形结合的思想解答．每秒旋转，8次一个循环，，第2024秒时，矩形的对角线交点G与原位置的点G的坐标相同，由此可得到点G的坐标．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，
∵每秒旋转，，
∴8次一个循环，
∵，
∴点G与原位置的点G的坐标相同，
∴原位置的点G在第一象限的角平分线上，设，
∴，
解得：，
∴点G的坐标为．
故选：C．
二、填空题
11. 若式子有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】且##且
【解析】
【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
【详解】∵式子有意义，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
12. 如图平行四边形 ABCD 中，AE  BC于E ，AF  DC于 F，BC=5，AB=4，AE=3，则 AF的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的面积底高，结合已知条件，代入数据计算即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，AB=4，
∴，
∵AE  BC，AF  DC，
∴AE和AF为平行四边形ABCD的高
∴，
∵AE=3，BC=5，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,利用了“等面积法”是解题的关键．
13. 在平行四边形中，的角平分线把边分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形的周长为_______．
【答案】26或28
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形判定、角平分线的定义，分类讨论是解答的关键．先根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，再根据等角对等边得到，然后分当，时和当，时两种情况求解即可．
【详解】解：如图，平分交于F，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵把边分成长度为4和5的两条线段，
∴当，时，，，则平行四边形的周长为；
当，时，，，则平行四边形的周长为，
综上，平行四边形的周长为26或28，
故答案为：26或28．
14. 如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，先根据勾股定理逆定理可得，可得到四边形是矩形，从而得到，进而得到当的值最小时，的最小值，即的最小值为直角三角形斜边上的高，再根据三角形的面积公式计算，即可求解．
【详解】解：连接，
∵在中，，
∴，
即．
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当的值最小时，的最小值，
∵当为直角三角形斜边上的高时，的值最小，
∴的最小值即为直角三角形斜边上的高，
设直角三角形斜边上的高为h，
∵，
∴，
解得：，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、根据矩形的性质得到是解题的关键．
15. 如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动（其中）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为______．
【答案】4.8或8或9.6
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12cm，AD∥BC，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP=BQ，
当点Q运动路线是C—B时，则12-4t=12-t，
解得：t=0，不符合题意；
点Q的运动路线是C—B—C，则4t-12=12-t，
解得：t=4.8；
点Q的运动路线是C—B—C—B，则12-（4t-24）=12-t，
解得：t=8；
点Q运动路线是C—B—C—B—C，则4t一36=12-t，
解得：t=9.6；
综上所述，t=4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8或8或9.6．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质等知识，求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
三、解答题
16. 计算
（1）；
（2）；
【答案】（1）；
（2）原方程无解．
【解析】
【分析】本题主要考查分式的混合运算和解分式方程：
（1）先利用异分母分式加减法法则计算括号内的，再把除法转换为乘法，将分子与分母因式分解后再约分即可得到结果；
（2）根据去分母，整理得一元一次方程，解这个整式方程，再进行检验即可
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
方程两边都乘以，得，
解方程得：.
检验：当时，，所以是增根.
即原方程无解.
17. 如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接．求证：四边形是平行四边形；
【答案】见解析
【解析】
【分析】先推导，得到，利用一组对边平行且相等四边形是平行四边形证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
18. 如图所示，在直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点，轴的正半轴于点，是的中点；一次函数的图象经过、两点，并交轴于点，若．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请指出，当时，的取值范围．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及坐标与图形、全等三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想是解答的关键．
（1）过A作轴于，根据三角形的面积和坐标与图形性质求得，再证明得到，进而得到，然后利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）根据图象，只需找到y轴右侧反比例函数图象位于一次函数图象上方部分的点的横坐标的取值范围即可．
【小问1详解】
解：过A作轴于，
，，
，
．
，为的中点，
，，
又，
，
，
，
将代入中，得，
反比例函数的解析式为：，
将和代入，
得，
解得：，
一次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：根据图象只有在轴的右侧的情况：
此时当时，．
19. 如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】通过全等三角形判定得出△AEB≌△AFC，可得EB＝FC，∠ABE＝∠ACF，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，从而得到∠EBC＝∠FCB，根据平行四边形的判定可得四边形EBCF是平行四边形，从而得到EB∥FC，根据平行线的性质可得∠EBC＋∠FCB＝180°，可得∠EBC＝∠FCB＝90°，继而可证明四边形EBCF是矩形．
【详解】证明：∵AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，AB＝AC，
∴△AEB≌△AFC，
∴EB＝FC，∠ABE＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EBC＝∠FCB，
∵EB＝FC，EF＝BC，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴EB∥FC，
∴∠EBC＋∠FCB＝180°，
∴∠EBC＝∠FCB＝90°，
∴四边形EBCF是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．熟记各个知识点是解题的关键．
20. 如图，平分，E，F分别是射线，上的点，连接交于点N．
（1）尺规作图：作平分，并交于点P；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的情况下，若，，连接．试判断四边形的形状，并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，见解析
【解析】
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）先根据角平分线的定义求出，从而得出，结合三角形外角的性质可求，由等角对等边可得，证明是等边三角形，可得，从可证四边形是平行四边形，最后根据菱形的定义即可得证．
【小问1详解】
解：如图，点P即为所求，
【小问2详解】
解：四边形是菱形．
证明：如图，
∵平分，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，灵活运用所学知识进行解答是解题的关键．
21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多6元，用360元购进鲜肉粽的数量和用240元购进红枣粽的数量同样多．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场每千克鲜肉粽的进价是多少元？
（2）如果该商场购进鲜肉粽和红枣粽500千克，且总费用不超过8400元，并按照鲜肉粽每千克24元，红枣粽每千克16元全部售出，那么该商场购进多少千克鲜肉粽获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）该商场每千克鲜肉粽的进价是18元
（2）该商场购进400千克鲜肉粽获得利润最大，最大利润是2800元
【解析】
【分析】（1）设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元，根据用元购进鲜肉粽的数量和用元购进红枣粽的数量同样多列分式方程求解即可；
（2）设该商场购进千克鲜肉粽，则购进千克红枣粽，设购进的鲜肉粽和红枣粽全部售出后该商场获得的总利润为元，列不等式及一次函数，根据一次函数的性质即可得解．
【小问1详解】
解：设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该商场每千克鲜肉粽的进价是元；
【小问2详解】
解：设该商场购进千克鲜肉粽，则购进千克红枣粽，
根据题意得： (，
解得：．
设购进的鲜肉粽和红枣粽全部售出后该商场获得的总利润为元，则，
即，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值．
答：该商场购进千克鲜肉粽获得利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了一次函数、不等式及分式方程的应用，正确找出相等关系和不等关系是解题的关键．
22. 如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的角平分线于点，交外角的平分线于点．
（1）求证：；
（2）当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．
（3）若，四边形是正方形，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定、正方形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等角对等边以及矩形的判定是解答的关键．
（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，进而利用等角对等边得到，可得结论；
（2）当为的中点时，，证明四边形是平行四边形，再根据平角定义得到，根据矩形的判定可得结论；
（3）先根据正方形的性质得到，，进而可得，根据已知和等角对等边得到，进而可求解．
【小问1详解】
证明：如图，交的平分线于点，交的外角平分线于点，
，，
，
，.
，，
，，
；
【小问2详解】
解：当点在边上运动到中点时，四边形是矩形．
证明：当为的中点时，，
，
四边形是平行四边形，
，，
∴，则
，
平行四边形是矩形；
【小问3详解】
解：四边形是正方形，
，．
，
，
又，
，
．
．
23. 综合与实践课上，刘老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，
（2）迁移探究
爱动脑的小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图2，当点在上时， ；
②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断的度数，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
【答案】（1）
（2）①；②，见详解
（3）或
【解析】
【分析】（1）连接，由于折叠，，垂直平分，所以，即是等边三角形，可得的度数；
（2）①由于折叠，，所以，，，而四边形是正方形，则，，可得，，由，可证，则，因为，可得的度数；②：同①可求的度数；
（3）分两种情况讨论，当点Q在点F下方时：根据折叠以及正方形的性质设，则，，，对运用勾股定理得，；当点Q在点F上方时：同上可得方程，解方程求解即可．
【小问1详解】
解：连接，

由于折叠，，垂直平分，
，
∴是等边三角形，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①四边形是正方形，
，，
由于折叠，，
，，，
，，
，
∴，
，
，
∴，
，
故答案为：；
②四边形是正方形，
，，
由于折叠，，
，，，
，，
，
∴，
后同①可求；
【小问3详解】
当点Q在点F下方时，如图：

由于折叠，，
，
，，
设，则，，，
由勾股定理得，，
解得：，
；
当点Q在点F上方时，如图：
，，，
，，
，
设，则，
由勾股定理得，，
解得：，
，
综上，或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．