河南省南阳市第三中学八年级上学期12月月考数学试题（解析版）

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1. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算．选项A根据积的乘方运算法则判断即可；选项B根据完全平方公式判断即可；选项C根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则判断即可；选项D根据单项式乘多项式的运算法则判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 在中，a、b、c分别是、、的对边，则下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. ，B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理，根据有一个角为直角的三角形为直角三角形，利用三角形的内角和定理，以及勾股定理逆定理逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，
∴设，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，
∴，三角形不是直角三角形，故C符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故D不符合题意；
故选C．
3. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等
B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C. 等边三角形是锐角三角形
D. 如果两个实数积是正数，那么它们都是正数
【答案】D
【解析】
【分析】利用全等三角形的性质、实数的性质、等边三角形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意；
B、逆命题为如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立，不符合题意；
C、逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意；
D、逆命题为如果两个数都是正数，那么它们的积也是正数，成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】考查了命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
4. 我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点P表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴，
∴，
∵点A表示1，
∴点P到O的距离为：，
∴点P表示，
故选D．

5. 已知等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和．根据等腰三角形“等边对等角”结合三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为，
∴顶角为：，
故选：C．
6. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（ ）
A. 20B. 24C. 36D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可．
【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积，
∴，
∴，
故选：B．
7. 如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交DE于E、D，则DE的长为（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
由平行线的性质、角平分线的性质推知, 则，同理可得，所以线段DE的长度转化为线段的和即可得到答案.
【详解】解：∵,
∴，
∵平分,
∴,
∴,
∴，
同理可得: ,
∴.
故选:A.
8. 如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数．
【详解】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有5个．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
9. 如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高分别为,
∴
即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是，
故选：C．
10. 如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A. 4B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能得到是解此题的关键．
作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过B作于N，根据三线合一定理求出的长和平分，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案．
【详解】解：作E关于的对称点M，连接交于F，过B作于N，

，
，平分，
在上，
，
，
，
∵E关于的对称点M，
，
，
根据垂线段最短得出：，
即，
即的最小值是，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 用反证法证明“已知，在中，，．求证：”，第一步应先假设________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查是反证法的应用，用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可
【详解】用反证法证明，应先假设；
故答案为
12. 已知，则的值为_______．
【答案】81
【解析】
13. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果．
详解】解：延长交于点E，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案：6．
14. 如图，射线是的平分线，是射线上一点，且于点，，．点是射线上一动点，当时,的长度是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理及勾股定理，过点作于点，根据角平分线的性质定理得出，勾股定理求得，进而分类讨论，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，

射线是的平分线，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴
∵点是射线上一动点，
∴或
故答案为：．
15. 如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为________．
【答案】3或
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可．
【详解】解：∵点落在边的三等分点处，，
∴或，
由折叠可知：，
∴，
当时，在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
当时，在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
综上所述：的长为3或；
故答案为3或．
三、解答题（共8个小题，满分75分）
16. 计算和分解因式：
（1）计算：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、取绝对值、开立方根、有理数的乘方以及提取公因式及公式法分解因式．
（1）首先计算算术平方根、取绝对值、开立方根、有理数的乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可得出答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 先化简，再求值：，其中x＝2，y＝1．
【答案】，5
【解析】
【分析】先根据整式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当x＝2，y＝1时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
18. 如图所示的一块地，已知米，米，，米，米，求这块地的面积．
【答案】这块地的面积为24米
【解析】
【分析】考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用，关键是作出辅助线得到直角三角形．连接，利用勾股定理可以得出和是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积．
【详解】解：连接．
由勾股定理可知
（米．
又，
是直角三角形，
故所求面积的面积的面积（米）．
答：这块地的面积为24米．
19. 如图，在中，．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的 ，射线是的 ．
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
【答案】（1）垂直平分线；角平分线
（2）30°
【解析】
【分析】（1）根据作图痕迹判断即可．
（2）由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得，结合三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义即可求出的度数．
【小问1详解】
通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线．
故答案为：垂直平分线，角平分线；
【小问2详解】
∵垂直平分线段，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，
∵平分 ，
∴．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
20. 定义：如图，点M、N把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成、、，若，，，则点M、N是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
【答案】（1）是．理由见解析
（2）8或10
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论．
（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M，N是线段的勾股分割点．
（2）当为斜边时，依题意，当为直角边时，则，分别列出方程即可解决问题．
【小问1详解】
解：是，理由如下：
∵，，
∴，
∴、、为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M，N是线段的勾股分割点．
【小问2详解】
解：设，则，
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴；
当为直角边时，则，
∴，
解得，
∴；
综上所述，或。
21. 如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案．
甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区；
乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）．
（1）请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程）
（2）甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明．
【答案】（1）是直角三角形；
（2）甲方案所搭建的传送带较短．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形是解决问题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；
（2）由的面积求出，得出，即可得出结果．
【小问1详解】
解：是直角三角形；
理由如下：
∴，，
∴，
∴是直角三角形，；
【小问2详解】
解：甲方案所搭建的传送带较短；
理由如下：
∵是直角三角形，
∴的面积，
∴（m），
∵，，
∴，
∴甲方案所搭建的传送带较短．
22. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【答案】（1）米；（2）8米
【解析】
【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理计算即可得到结论．
【详解】解：（1）由题意得，，米，米，
在中，由勾股定理，可得：（米，
（米．
答：线段的长为米．
（2）如图，当风筝沿方向再上升12米，
所以米，
在中，，米，
由勾股定理，可得（米，
则应该再放出（米，
答：他应该再放出8米长的线．
23. 已知，在中，，，点D为的中点．点E、F分别为射线上的点，且于点．
（1）观察猜想
如图①，当点E，F分别为边上的点，且于点D，则线段与的数量关系式是 （不需要说明理由）；
（2）类比探究
如图②，若点E、F分别为延长线上的点，且于点D，请写出与的数量关系式，并说明理由；
（3）解决问题
若则线段的长为 ．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．
（1）连接．只要证明可得结论；
（2）结论成立，证明方法类似（1）；
（3）连接，分两种情况讨论，利用（1）或（2）的结论，利用勾股定理求出即可解决问题．
【小问1详解】
解：，
理由：如图①中，连接．
，，点D为的中点，
，，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：．
理由：如图②中，
，，点D为的中点，
，，，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：连接，
当点E，F分别为边上的点时，
由（1）得，∴，∵，∴；
当点E、F分别为延长线上的点时，
由（2）得，∴，∵，∴；
综上，线段的长为或．
故答案为：或．
活动课题
风筝离地面垂直高度探究
问题背景
风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型
小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米．
问题产生
经过讨论，兴趣小组得出以下问题：
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．
（2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？
问题解决
……