黑龙江省智研联盟2025-2026学年高三上学期1月第一次联合考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 若复数（为虚数单位），则（ ）
2. 设a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣1）﹣ax2，给出以下结论：（1）f（x）存在唯一零点与a的取值无关；（2）若a=e﹣2，则f（x）存在唯一零点；（3）若a＜e﹣2，则f（x）存在两个零点.其中正确的个数是
3. 在中，，，，则（ ）
4. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为（ ）
5. 已知抛物线，、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
6. 已知偶函数的定义域为且，，则函数的零点个数为（ ）．
7. 已知正四棱锥的所有棱长都相等，是的中点，则，所成角的正弦值为（ ）
8. 对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在是单调的；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是（ ）
二、多选题
9. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

10. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ）
11. 已知函数，则下列结论中错误的有（ ）
三、填空题
12. 已知等差数列{an}的公差为2，若a4是a2，a8的等比中项，则数列{an}的前5项和S5＝________．
13. 若，则等于___________.
14. 7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有_______种不同的排法（用数字作答）；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有_________种不同的排法.（用数字作答）
四、解答题
15. 已知向量 ，，且的最小正周期为
(1)求的值；
(2)若，解方程；
(3)在中，为原点，，，且为锐角，求实数m的取值范围．
16. 设函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的极小值．
17. 如图，在圆台中，四边形为轴截面，上、下底面半径分别为1，3，高为4，位于圆上，，为上的点，连接．
(1)若成等比数列．
①求证：平面；
②求平面与平面夹角的余弦值；
(2)若为的中点，求三棱锥的外接球半径．
18. 某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分：检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表：
(1)从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为良好或优秀的概率；
(2)从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这一件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列、期望.
19. 给定有穷数列、、、，定义数列的绝对差分数列、、、，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列．
(1)直接写出下面两个数列的绝对差分数列，并判断其是否为数列：
①、、、；
②、、、；
(2)已知各项均为整数的数列、、、满足，并且其差分数列是等差数列，若，，求的所有可能值；
(3)已知数列、、、是、、、、的一个排列，若其差分数列、、、满足，求的所有可能值．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
A．
B．1
C．5
D．
A．3
B．2
C．1
D．0
A．
B．
C．
D．
A．，
B．，
C．，
D．，
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．的最小正周期为π
B．的单调递增区间为，
C．的图象向左平移个单位后的函数是偶函数
D．在上有3个零点
A．以线段为直径的圆与轴相切
B．
C．
D．当时，的面积为
A．一定有极大值
B．当时，有极小值
C．当时，可能无零点
D．若在区间上单调递增，则
等级
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
10
90
100
150
150
200
100
100
50
50