黑龙江省智研联盟2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份黑龙江省智研联盟2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析），共2页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数，则下面结论中不正确的是（ ）
A．最小正周期为B．函数关于对称
C．函数在区间有最大值为D．函数在区间单调递增
3．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．当时，函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．设函数的定义域是，对于以下四个命题：
①若是奇函数，则也是奇函数；
②若是严格增函数，则也是严格增函数；
③若是严格减函数，则也是严格减函数；
④若存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．
其中正确命题的个数是（ ）．
A．B．C．D．
7．函数（）的图象关于直线对称，在区间上任取三个实数，，，总能以，，的长边构成三角形，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8．对，不等式恒成立，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知，，，则
B．若正数，满足，则的最小值为
C．函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为
D．
10．对任意两个实数，，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．方程有三个解
C．函数有4个单调区间D．函数有最大值为1，无最小值
11．已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为10
三、填空题
12．函数的定义域是
13．若时，取得最大值，则 ．
14．给出下列4个命题，其中正确命题的序号 .
①；
②函数有个零点；
③函数的图象关于点对称．
④已知，函数的图象过点，则的最小值是.
四、解答题
15．（1）计算的值；
（2）若，求的值．
16．已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若为锐角，，求的值．
17．已知正数，，满足.
求证：（1）；
（2）.
18．一家污水处理厂有两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.
（1）池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）
（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）
19．已知函数，.
（1）当时，求函数的值城
（2）若关于的方程有两个不等根，求的值；
（3）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，，，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由.
1．C
直接利用集合的关系、集合的交并补集的定义求解.
【详解】解：由题得，所以选项A错误；
，所以选项B错误；
，所以选项C正确；
，所以选项D错误.
故选：C
2．D
利用二倍角公式、两角差的余弦、正弦公式化简函数，然后结合正弦函数的性质判断各选项．
【详解】
，
因此其最小正周期是，A正确；
时，，是其图象的一条对称轴，B正确；
时，，，
在上递减且，在上递增，
所以时，取得最小值，时，取得最大值，C正确，D错误，
故选：D．
3．C
通过中间值即可比较大小.
【详解】易知，
，
，
所以，
故选：C
4．B
由分析知的值域为，当时，，要使的值域为，则，且，即可求出a的取值范围.
【详解】因为的值域为，所以的值域为.
当时，.
当时，①若，即，，此时不满足条件.
②若，即，，此时的值域不可能为.
③若，即，，要使的值域为，则，即
解得：或，又因为，所以.
故选：B.
5．B
由二倍角公式降幂，然后由两角和的正弦公式化简函数为一个角一个三角函数形式，再利用正弦函数性质可得最小值．
【详解】，
当时，，
所以，即时，．
故选：B．
6．B
【详解】对于①，为奇函数，，
，为奇函数，①正确；
对于②，是严格增函数，是严格增函数，
由复合函数单调性可知：是严格增函数，②正确；
对于③，是严格减函数，是严格减函数，
由复合函数单调性可知：是严格增函数，③错误；
对于④，对于（4），比如函数，的零有无数个，但是函数没有零点，即(4)不正确.
故选：B.
7．D
任取三个实数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，从而2f（x）min＞f（x）max且f（x）max＞0，由此能求出实数h的取值范围．
【详解】函数（）的图象关于直线对称
即
,当时， ，即由三角函数的单调性可知在区间上，
则在区间上任取三个实数，，，总能以，，的长边构成三角形，
且 ，即
故选D.
8．D
【详解】由得，
对于选项A、B，若，可令，不等式可化为，
当时，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
∴，
当时，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
∴，
∴，
当时，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
∴，
综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误.
对于选项C、D，若，
∵
∴，
∴，
要使不等式恒成立，则需，
∵函数在为增函数，
∴函数有相同的零点，
由得，由得，，
∴，即，
∴，
∴，选项D正确.
故选D.
9．ABD
【详解】对于选项A，因为，令 ，
易知的定义域为，关于原点对称，又，
所以为奇函数，
所以，又，
所以，故选项A正确；
对于选项B，因为正数，满足，则，
当且仅当，即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C，由，得到，
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又为减函数，所以的增区间为，
所以，解得，所以选项C错误；
对于选项D，因为，
所以选项D正确，
故选：ABD.
10．ABCD
写出函数解析式，结合函数图象即可得解.
【详解】根据题意可得：，
作出函数图象可得：

所以该函数是偶函数，有三个零点，四个单调区间，当x=±1时取得最大值为1，无最小值.
故选：ABCD
11．ACD
【详解】画出的图象如下图所示，
由于关于的方程有四个不等实根，，，，
由图可知，故A选项正确.
由图可知关于直线对称，故，
由解得或，
所以，
，当时，，所以B选项错误.
令，，，
，是此方程的解，
所以，或，
故
，
当且仅当时等号成立，故D选项正确.
由图象可知，
，，，
由，解得或，
由，解得或，
所以，
①.
令或，
所以①的等号不成立，即，故C选项正确.
故选：ACD
12．,且
【详解】依题意有，解得且，
故函数的定义域为，且.
故答案为：,且.
13．
【详解】
（其中，），
当取最大值时，，∴
，
∴．
故答案为：
14．②③
①分别判断三个数的取值范围进行比较；
②利用函数零点与方程的关系转化为两个函数图象交点问题进行判断；
③判断函数的奇偶性，利用图象平移进行判断；
④利用基本不等式的性质进行求解判断.
【详解】①lg0.53＜0，1，0＜（）0.2＜1，
∴lg0.53＜（）0.2，故①错误，
②函数f（x）＝lg4x﹣2sinx有5个零点；
由f（x）＝lg4x﹣2sinx＝0得lg4x＝2sinx，
作出函数y＝lg4x和y＝2sinx的图象如图：
由图象两个函数有5个交点，即函数f（x）有5个零点，故②正确，
③由0得x（x﹣4）＜0，得0＜x＜4，
则lgx﹣lg（4﹣x），
则f（x+2）＝lg（x+2）﹣lg（4﹣x﹣2）＝lg（x+2）﹣lg（2﹣x），
设g（x）＝lg（x+2）﹣lg（2﹣x），
则g（﹣x）＝lg（2﹣x）﹣lg（2+x）＝﹣（lg（x+2）﹣lg（2﹣x））＝﹣g（x），
即g（x）是奇函数，关于原点对称，则函数的图象关于点（2，0）对称．故③正确，
④已知a＞0，b＞0，函数y＝2aex+b的图象过点（0，1），
则2a+b＝1，
则（）（2a+b）＝2+13+23+2，
当且仅当，即b时取等号，即的最小值是3+2，故④错误，
故正确的是②③，
故答案为②③
15．（1）；（2）．
【详解】（1）原式；
（2）由已知可得，且，则，
即，也即，
因为，则，于是有，即．
16．(1)
(2)
（1）利用三角变换公式可得，利用整体法可求单调减区间.
（2）利用两角差的余弦可求的值.
【详解】（1），
令，则，
故函数的单调递减区间为.
（2）由可得，
因为锐角，故，而，
故，所以，
而.
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；
（1）根据正数加法的性质，结合基本不等式进行证明即可；
（2）运用分析法，结合已知等式的变形、三个正数的均值不等式进行证明即可.
【详解】（1）因为，，为正数，且，所以，
，故.
（2）分析法：要证：，
只需要证：，
即要证：，
即要证：，①
而，②
，③
将②③两式相乘，即得待证的①式.
以上每步均可逆，所以原不等式得证.
18．（1）7小时；（2）17小时
【详解】解：（1）池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的，剩余原来的，
设池要用小时才能把污物的量减少一半，
则，可得，
则池要用7小时才能把污物的量减少一半；
（2）设、两池同时工作，经过小时后把两池水混合便符合环保规定，
池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的，剩余原来的，
可得，即，
可得，
可得．
则、两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．
19．（1）；（2）；（3）存在，，
【解析】（1）将函数化简再根据单调性即可得函数的值域；
（2）根据的解析式，将代入化简，即可得到的值.
（3）令，，，根据得出的取值范围，由题意可得关于的方程在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围，再结合（2）知，的取值范围.
【详解】（1）在区间单调进减，
而，，故函数的值域为．
（2）因为在单调递减，在单调递增，
，则有，即
故，所以
（3）令，由（1）知
令，因为在单调减，在单调递增，
且，，
则当时，方程有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1；
当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1.
令，由二次函数与的图象特征，原题目等价于：
对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，
且有两个不等根，只有一个根，则必有
结合二次函数的图象，则有，解之得，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
B
B
B
D
D
ABD
ABCD
题号
11









答案
ACD