黑龙江省哈尔滨市第三中学2026届高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第三中学2026届高三上学期期末考试数学试题（含答案解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）．
2. 双曲线的焦点坐标为（ ）．
3. 的展开式中的系数为（ ）
4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）．
5. 某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（ ）．
6. 已知函数的部分图像如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）．

7. 如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为（ ）．
8. 已知函数对任意，成立，则（ ）．
二、多选题
9. 下列命题为真命题的是（ ）．
10. 已知i为虚数单位，复数，则（ ）．
11. 若数列对任意，有，则称数列为“速减数列”，则（ ）．
三、填空题
12. 已知，，则______．
13. 椭圆的一个光学性质是从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C的两个焦点为，，从发出的光线经上点P反射后经过．C与l有公共点，当椭圆C的短轴最短时C的标准方程为______．
14. 已知函数，，，的零点分别为，，则______．
四、解答题
15. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，且平面平面，，，E为中点．

(1)求证：平面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．
16. 数列的前n项和，数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和．
17. 如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．

(1)若，求的距离；
(2)求面积的最小值．
18. 已知函数．
(1)当时，求曲线过点的切线方程；
(2)若函数有2个极值点，，且．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
19. 已知抛物线的准线与圆相切．
(1)求抛物线E的方程；
(2)依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点．

（ⅰ）求数列和的通项公式；
（ⅱ）记的面积为，当时，求证：．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．﹣448
B．﹣56
C．56
D．448
A．
B．
C．
D．
A．72种
B．66种
C．42种
D．36种
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．空间内三点确定一个平面
B．垂直于同一个平面的两条直线互相平行
C．若向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量
D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
A．
B．
C．
D．的虚部为
A．数列为“速减数列”
B．数列为“速减数列”
C．数列为“速减数列”，且任意项，，，，则k的最大值为63
D．已知项数为的数列是“速减数列”，且数列的所有项的和等于k，则