黑龙江省哈尔滨市第九中学校2026届高三上学期1月期末阶段性评价考试数学试题（含答案解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学校2026届高三上学期1月期末阶段性评价考试数学试题（含答案解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 集合，.则（ ）
2. 已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（ ）
3. 已知向量，，，设向量与的夹角为，则（ ）
4. 在的展开式中，各项系数之和为（ ）
5. ，，则的取值范围是（ ）
6. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为常数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km），已知距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（ ）
7. 已知，则的值为（ ）
8. 已知点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
二、多选题
9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）

10. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中，依次不放回地随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，D表示事件“第一次取到的球编号为奇数”，E表示事件“两次取到的球编号和为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
11. 已知封闭直三棱柱中，，，，为该三棱柱的外接球球心，则（ ）
三、填空题
12. 记为数列的前项和，满足，且，则___________．
13. 若函数有3个零点，则实数k的取值范围为________．
14. 设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为__________.
四、解答题
15. 某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图.
(1)根据图中数据，能否判断强化训练后跳水队成绩有提高？试选用两种数字特征加以比较并说明理由.
(2)规定学员得分80分以上（含80分）的为“优秀学员”，低于80分的为“非优秀学员”，现采取分层随机抽样的方式，从强化训练后的跳水队中优秀与非优秀学员中共抽取5名，从这5名学员中随机选出3人，求选出这3名队员中优秀人数的分布列.
16. 在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．若
（1）求角B的值；
（2）数列满足，前项和为，求值.
17. 如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
18. 已知函数．
(1)若，求证：关于x的方程有且只有一个实数根；
(2)记，试讨论的单调性；
(3)证明：对任意正整数n，不等式恒成立.
19. 已知椭圆经过点，两个焦点恰好将长轴三等分：
(1)求椭圆的方程；
(2)设两条直线、与椭圆共有四个不同的交点：直线与椭圆交于点与点，直线与椭圆交于点与点，且、、、四点都在以点为圆心的圆上，为坐标原点.
（i）若与交于点，求以、、、四点为顶点的四边形面积的最大值；
（ii）若经过椭圆的左焦点，经过椭圆的右顶点，求证：直线与直线的斜率乘积是定值.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．6
C．－6
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．16
C．32
D．243
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象
A．事件，互为对立事件
B．
C．事件，为相互独立事件
D．事件，为相互独立事件
A．直线与平面所成的角为
B．球的体积为
C．可以放入该直三棱柱的内部的最大球半径为
D．点在四边形及其内部运动，且满足，则最小值为