黑龙江省智研联盟2026届高三上学期1月第一次联合考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省智研联盟2026届高三上学期1月第一次联合考试数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．若复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．1C．5D．
2．设a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣1）﹣ax2，给出以下结论：（1）f（x）存在唯一零点与a的取值无关；（2）若a=e﹣2，则f（x）存在唯一零点；（3）若a＜e﹣2，则f（x）存在两个零点.其中正确的个数是
A．3B．2C．1D．0
3．在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．已知抛物线，、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知偶函数的定义域为且，，则函数的零点个数为（ ）．
A．B．C．D．
7．已知正四棱锥的所有棱长都相等，是的中点，则，所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在是单调的；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．的最小正周期为π
B．的单调递增区间为，
C．的图象向左平移个单位后的函数是偶函数
D．在上有3个零点
10．已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与轴相切
B．
C．
D．当时，的面积为
三、单选题
11．已知函数，则下列结论中错误的有（ ）
A．一定有极大值B．当时，有极小值
C．当时，可能无零点D．若在区间上单调递增，则
四、填空题
12．已知等差数列{an}的公差为2，若a4是a2，a8的等比中项，则数列{an}的前5项和S5＝ ．
13．若，则等于 .
14．7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有 种不同的排法（用数字作答）；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有 种不同的排法.（用数字作答）
五、解答题
15．已知向量 ，，且的最小正周期为
(1)求的值；
(2)若，解方程；
(3)在中，为原点，，，且为锐角，求实数m的取值范围．
16．设函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的极小值．
17．如图，在圆台中，四边形为轴截面，上、下底面半径分别为1，3，高为4，位于圆上，，为上的点，连接．
(1)若成等比数列．
①求证：平面；
②求平面与平面夹角的余弦值；
(2)若为的中点，求三棱锥的外接球半径．
18．某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分：检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表：
(1)从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为良好或优秀的概率；
(2)从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这一件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列、期望.
19．给定有穷数列、、、，定义数列的绝对差分数列、、、，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列．
(1)直接写出下面两个数列的绝对差分数列，并判断其是否为数列：
①、、、；
②、、、；
(2)已知各项均为整数的数列、、、满足，并且其差分数列是等差数列，若，，求的所有可能值；
(3)已知数列、、、是、、、、的一个排列，若其差分数列、、、满足，求的所有可能值．
参考答案
1．A
【详解】，
.
故选：A.
2．C
【详解】由题,令f（x）=0,即,令（x＞0）,
则,当x∈（0,e2）时,,当x∈（e2,+∞）时,,
∴g（x）在（0,e2）单调递增,在（e2,+∞）单调递减,
∴,
当时,；当时,,
∴当 时, 有一个零点；当时,没有零点；当时,有两个零点；当时,有一个零点.
所以只有（2）正确,
故选:C
3．A
【详解】因为在中，，，，
所以．
故选：A．
4．A
【详解】因为数据，，，的平均数是，方差为，
则新数据，，，的平均数为：，方差为，
因为数据，，，，的平均数是，方差是，
则，，，，，的平均数是，
方差为，
故选：A．
5．A
【详解】抛物线的准线方程为，易知点，
不妨设点在第二象限，则轴，且，故为等腰直角三角形，
所以，故点，
所以点在直线上，可得，解得，
因此双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
6．D
【详解】令得，
作出和在上的函数图象如图所示，
由图像可知和在上有个交点，
∴在上有个零点，
∵，均是偶函数，
∴在定义域上共有个零点，
故选．
7．C
【详解】由于正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，故不妨设棱长为a．
取SC的中点F，连接EF，则EF∥BC，EF=BC，
取AD的中点H连接HF则可得EF∥HA，EF=HA，
故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥HF．
再取DC中点G，连接HG，则FG∥SD，
所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角．
∵HF=AE=a，FG=a，HG==A，
∴cs∠HFG=＞0．
即AE、SD所成的角的正弦值为．
故选C．

8．D
【详解】因为函数在单调递增，
若函数存在“倍值区间”，
则，且，
故，是方程的两个不等的实数根，
即在上有两个不等的实根，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
故当时，取最小值，
又因为当时，，且，
所以若在上有两个不等的实根，则，
故选：D.
9．ABC
【详解】由图象可知，
因为，根据正弦函数的周期公式，由可得，
又，解得，所以；
把代入得，即，
因为，所以，解得，则；
由前面计算已经得出，所以的最小正周期为，选项A正确；
令，
​先解不等式，移项可得，即，解得，
再解不等式，移项可得，即，解得，
所以的单调递增区间为，选项B正确；
的图象向左平移个单位，根据“左加右减”原则，得到 ，
对于函数，，所以是偶函数，选项C正确；
令，则，解得，
当时，时，；时，，
所以在上有个零点，选项D错误.
故选：ABC.
10．ABD
【详解】设，，如图：

对于A：由抛物线定义知：，则线段中点的横坐标，
即线段的中点到轴的距离是，所以以线段为直径的圆与轴相切，故A正确；
对于B：由题意知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，
所以，，
由，得，
所以，，
因为，，所以，所以，故B正确；
对于C：
所以，故C错误；
对于D：当，可得即，又，所以，
则，所以，可得三点共线，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11．ABC
【详解】由函数，可得，
若，则恒成立，即在定义域上单调递增，无极值，故A错误；
若，令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，所以B错误；
若，由上知在定义域上单调递增，当时，，当时，，故使得，故C错误；
若在区间上单调递增，由时，恒成立，满足题意；
当时，则满足，即，综上可得，故D正确.
故选：ABC.
12．30
【详解】解：依题意，，即
解得a4＝8，故a1＝2，a5＝10，.
13．
【详解】解：因为
所以
故答案为：
14． 1440 960；
【详解】甲、乙两人必须相邻，甲、乙相邻全排有(种)
然后把甲、乙看成一个整体全排，共有（种）；
甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，把甲、乙看成一个整体全排，
然后把甲、乙看成一个整体，插在与丙均不相邻的空中，
共有（种）.
故答案为：1440；960

15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1），
因为的最小正周期为，，所以，解得．
（2）由得，，即，
所以，或，，
所以，或，，
又，所以.
（3）因为，，所以，
因为为锐角，所以，解得.
若向量，共线，则，即，解得.
所以向量，不共线时，.
综上，m的取值范围为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
得，且，．
所以，曲线在点处的切线方程是，
整理得
（2）若，则，则．
令，解得或
当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且．
17．(1)①证明见解析；②
(2)
【详解】（1）①在圆台中，，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，即，
在中，因为成等比数列，
所以，即，
所以与相似，所以，
因为，平面，所以平面．
②分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由已知得，
所以，即平面的法向量为，
又，所以，
设平面的法向量为，
所以，设，则，
所以平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
（2）因为，所以的外心为的中点，
所以可设三棱锥外接球的球心为，
由已知得，
因为，所以，解得，
所以三棱锥的外接球半径为．
18．(1)
(2)分布列见解析，期望.
【详解】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件B：产品的评分为良好
根据统计学原理，可以用样本来估计总体，
由统计表得，，
因为A，B互斥，所以可以估计这件产品评分为良好或优秀的概率为.
（2）由（1）知，评分为优秀的概率为，由题意得，的可能值为，
则，
，，
，，
.
所以的分布列为
.
19．(1)①、、，不是数列；②、、，是数列
(2)或
(3)或
【详解】（1）解：①数列的绝对差分数列为、、，不是数列；
②数列的绝对差分数列为 、、，是数列．
（2）解：设数列数列的差分数列为、、、，并且其公差，
因为，
所以，其差分数列满足，
因为数列各项均为整数，所以，数列的各项也均为整数，
累加得，
当时，，即，所以，，
考虑，所以，或者，
若，，则，，
若，，则，．
（3）解：当时，，因此不成立；
当时，数列，数列，满足题意；
当时，数列，数列，满足题意；
当时，考虑，
又因为且，
所以，数列有以下三种可能：或或，
当数列为时，因为各项不同，因此数列的前项为公差为或的等差数列，
若公差为，则有，且或，
与的整数连续性矛盾，与的互异性矛盾，
类似地，可证明若公差为的情况；
类似地，可以证明或也不可能，
因此时不成立，等级
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
10
90
100
150
150
200
100
100
50
50
X
0
1
2
3
4
P