2026年杭州市中考数学终极押题模拟卷三（含答案）

这是一份2026年杭州市中考数学终极押题模拟卷三（含答案），共7页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣73的相反数是（ ）
A．﹣73B．73C．−173D．173
2．（3分）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．70°B．50°C．40°D．140°
3．（3分）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAl新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，用科学记数法表示为（ ）
A．1.75×103B．1.75×1012C．1750×108D．1.75×1011
4．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，如图1出自该著作的“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着一堆粮食，若将这堆粮食看作圆锥的一部分（如图2），则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）已知反比例函数y=3x，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣1，﹣3）
B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜3
D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
6．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（3，﹣4），B（5，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△A′B′O，则点B的对应点为B′，则B′的坐标为（ ）
A．(52，0)B．(−52，0)
C．(52，0)或(−52，0)D．（10，0）或（﹣10，0）
7．（3分）学校组织八年级362名同学去万绿湖研学，现已预备了大客车和轻型客车共10辆，其中大客车每辆可坐乘客55人，轻型客车每辆可坐乘客8人，刚好坐满．若设预备了大客车x辆，轻型客车y辆，依题意列方程组正确的是（ ）
A．x+y=1055x+8y=362B．x+y=108x+55y=362
C．55x+8y=10x+y=362D．8x+55y=10x+y=362
8．（3分）综合题
阅读下面的材料，回答后面的两个问题：
材料一：小雪是二十四节气中的第二十个节气．这时节，色满天，寒凝大地，降水形成由淅沥小雨而凝结成飘飘瑞雪．但此时下雪的几率还小，即便下了，也多是那种飞扬的零星小雪，落到地面很快融化了，小孩子是堆不了雪人、打不成雪仗的．
小雪之后的下一个节气是大雪．月令•七十二侯集解》记载：“大雪，十一月节，至此而雪盛也．“大雪节气的雪量开始增加，晶莹剔透白洁无瑕的雪，总令古代文人墨客们吟诵赞美．
农谚云：“小雪铲白菜，大雪收菠菜．”“小雪不砍菜，必定有一害．”此时，庄户人家开始砍收地里的大白菜，精心盘扎入窑储藏．那一棵棵青青白白的大白菜透着清灵之气，那种清甜清香是寻常人家饭桌上的至美之味．白居易云：“晚来天欲雪，能饮一杯无？”寒风里，约三五好友，温一壶清酒，聊家事国事，赏雪飘雪落．“能饮一杯无？”这千古一问，与岁月温情相拥，用真心温暖寒冬，人生惬意之事，便莫过于此了．
下列对材料一有关内容的概括和分析，正确的一项是（ ）
A．小雪时节，地寒未甚，这个时节的降雪几率不小，但所下的多是飞扬的零星小雪．
B．大雪是阳历十一月份的节气，这个时候的雪量相对小雪时节有所增加．
C．“小雪不砍菜，必定有一害”从反面强调了在小雪时节要抓住时机砍收地里大白菜．
D．白居易通过“能饮一杯无？”这个设问句，表达了他与好友共赏雪落的文人情怀．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径画弧，与线段BD相交于另一点E，连接CE．若∠A＝∠DCE，则∠A的度数为（ ）
A．20°B．30°C．36°D．40°
10．（3分）如图，玻璃水杯截面图的左右轮廓线AC，BD可看作某抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，该抛物线的顶点在y轴上．将盛有部分水的该玻璃水杯倾斜45°时，水面正好经过点B（即∠ABP＝45°）．下列结论中，错误的是（ ）
A．此抛物线的解析式为y＝x2﹣16
B．直线PB的解析式为y＝x﹣4
C．点P到杯口AB的距离为5cm
D．点P到点D的距离为52cm
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算：(−13)−1+(2024−π)0−16= ．
12．（3分）不等式组x−3≤0x+1＞0的解集为 ．
13．（3分）如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°，若CD＝EF＝1.7m，则旗杆AB的高度是 m（精确到0.1m）．（参考数据 ：3≈1.732)
14．（3分）一个不透明的袋子里装有2个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出2个球，是一红一白的概率为 ．
15．（3分）观察下列各式的规律：
(a−b)(a+b)=a2−b2(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4−b4⋯⋯
根据以上规律可得：（a﹣b）（a2018+a2017b+⋯+ab2017+b2018）＝ ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD•BC＝AP•BP．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）先化简再求值：（3y﹣2）（3y+2）﹣9y（y﹣1）+（y﹣2）2，其中y＝﹣2．
18．（8分）解分式方程：2xx2−4−1x−2=15．
19．（8分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE垂线交DE于点P，已知 AE＝AP＝1，PB=5．
（1）求证：△APD≌△AEB；
（2）求正方形ABCD的面积．
20．（8分）共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分学生出行使用共享单车的情况，并整理成如下统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这组数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）若该校某天有2000名学生出行，请你估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人数．
21．（8分）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab+b2
近似计算算术平方根的方法．
例如求67的近似值．
因为64＜67＜81，
所以8＜67＜9，
则67可以设成以下两种形式：
①67=8+s，其中0＜s＜1；
②67=9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求67的近似值的过程如表．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求67的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的67的近似值的精确度更高，请说明理由．
22．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，以CE为直径的⊙O与AB相切于点E．
（1）求∠COD的度数；
（2）若BF＝2DF＝2，求AE的长．
23．（10分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝x+1（1≤x≤2）是有上界函数，其上确界为3；函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×”．
①y＝x（x≤2） ；
②y＝x2+2x+4 ；
③y＝﹣2x2+4x+1 ．
（2）一次函数y＝kx+3（﹣1≤x≤5）是有上界函数，上确界为4，求实数k的值．
（3）如果函数y＝﹣|x2﹣4|+m（0≤x≤m）是以2m2﹣m﹣3为上确界的有上界函数，求实数m的值．
24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，M为AD中点，延长BM交CD的延长线于点E，连接AC，与BM交于点F．
（1）求证：DC＝DE；
（2）如图2，将矩形ABCD改成正方形ABCD，AB＝2，其他条件不变．
（ⅰ）求证：MFBF=EMEB，并求出MF的值；
（ⅱ）如图3，在BC的延长线上取点P，使得CP＝CA，延长PD与BM的延长线交于点Q，连接QA，PA，求证：AD平分∠QAP．
2026年杭州中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣73的相反数是（ ）
A．﹣73B．73C．−173D．173
【考点】相反数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣73的相反数是73．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（3分）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．70°B．50°C．40°D．140°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由平角的定义可得∠BEF＝140°，由角平分线的定义可得∠BEG＝∠FEG＝70°，再利用两直线平行，内错角相等即可求解．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠FEG＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEG＝70°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题关键．
3．（3分）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAl新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，用科学记数法表示为（ ）
A．1.75×103B．1.75×1012C．1750×108D．1.75×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：175000000000＝1.75×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，如图1出自该著作的“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着一堆粮食，若将这堆粮食看作圆锥的一部分（如图2），则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．
【解答】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是直角三角形．
故选：C．
【点评】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C．
故选：C．
5．（3分）已知反比例函数y=3x，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣1，﹣3）
B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜3
D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：∵反比例函数y=3x，
∴图象必经过点（﹣1，﹣3），故选项A不符合题意；
k＝3＞0，图象位于第一、三象限，故选项B不符合题意；
当x＞1时，0＜y＜3，故选项C不符合题意；
当x＜0时，y随着x的增大而减小，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（3，﹣4），B（5，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△A′B′O，则点B的对应点为B′，则B′的坐标为（ ）
A．(52，0)B．(−52，0)
C．(52，0)或(−52，0)D．（10，0）或（﹣10，0）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，B（5，0），
∴B′的坐标为(5×12，0×12)或[5×(−12)，0×(−12)]，
即B′的坐标为(52，0)或(−52，0)，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．（3分）学校组织八年级362名同学去万绿湖研学，现已预备了大客车和轻型客车共10辆，其中大客车每辆可坐乘客55人，轻型客车每辆可坐乘客8人，刚好坐满．若设预备了大客车x辆，轻型客车y辆，依题意列方程组正确的是（ ）
A．x+y=1055x+8y=362B．x+y=108x+55y=362
C．55x+8y=10x+y=362D．8x+55y=10x+y=362
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设预备了大客车x辆，轻型客车y辆，根据学校组织八年级362名同学去万绿湖研学，现已预备了大客车和轻型客车共10辆，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：设预备了大客车x辆，轻型客车y辆，
依题意得：x+y=1055x+8y=362，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（3分）综合题
阅读下面的材料，回答后面的两个问题：
材料一：小雪是二十四节气中的第二十个节气．这时节，色满天，寒凝大地，降水形成由淅沥小雨而凝结成飘飘瑞雪．但此时下雪的几率还小，即便下了，也多是那种飞扬的零星小雪，落到地面很快融化了，小孩子是堆不了雪人、打不成雪仗的．
小雪之后的下一个节气是大雪．月令•七十二侯集解》记载：“大雪，十一月节，至此而雪盛也．“大雪节气的雪量开始增加，晶莹剔透白洁无瑕的雪，总令古代文人墨客们吟诵赞美．
农谚云：“小雪铲白菜，大雪收菠菜．”“小雪不砍菜，必定有一害．”此时，庄户人家开始砍收地里的大白菜，精心盘扎入窑储藏．那一棵棵青青白白的大白菜透着清灵之气，那种清甜清香是寻常人家饭桌上的至美之味．白居易云：“晚来天欲雪，能饮一杯无？”寒风里，约三五好友，温一壶清酒，聊家事国事，赏雪飘雪落．“能饮一杯无？”这千古一问，与岁月温情相拥，用真心温暖寒冬，人生惬意之事，便莫过于此了．
下列对材料一有关内容的概括和分析，正确的一项是（ ）
A．小雪时节，地寒未甚，这个时节的降雪几率不小，但所下的多是飞扬的零星小雪．
B．大雪是阳历十一月份的节气，这个时候的雪量相对小雪时节有所增加．
C．“小雪不砍菜，必定有一害”从反面强调了在小雪时节要抓住时机砍收地里大白菜．
D．白居易通过“能饮一杯无？”这个设问句，表达了他与好友共赏雪落的文人情怀．
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】结合材料逐一进行分析即可得出答案；
【解答】解：A、降雪几率不小，与材料中说的小雪下雪的几率还小，不符，故该选项错误，不符合题意；
B、大雪是农历十一月份的节气，并不是阳历十一月份，故该选项错误，不符合题意；
C、“小雪不砍菜，必定有一害”从反面强调了在小雪时节要抓住时机砍收地里大白菜，分析正确，符合题意；
D、白居易通过“能饮一杯无？”是疑问句，不是设问句，且诗句表达的是邀请共饮，不是人文情怀，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查条形图和扇形图，从统计图中有效的获取信息是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径画弧，与线段BD相交于另一点E，连接CE．若∠A＝∠DCE，则∠A的度数为（ ）
A．20°B．30°C．36°D．40°
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】设∠A＝x°，根据直角三角形斜边上的中线性质可得DC＝DA，从而可得∠A＝∠DCA＝x°，再利用三角形的外角性质可得∠CDE＝2x°，然后利用三角形内角和定理可得∠CED＝180°﹣3x°，再根据题意可得：CD＝CE，从而利用等腰三角形的性质可得∠CED＝∠CDE，进而列出关于x的方程，进行计算，即可解答．
【解答】解：设∠A＝x°，
∵∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，
∴DC＝DA=12AB，
∴∠A＝∠DCA＝x°，
∵∠CDE是△DCA的一个外角，
∴∠CDE＝∠DCA+∠A＝2x°，
∵∠A＝∠DCE，
∴∠A＝∠DCE＝x°，
∴∠CED＝180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣3x°，
由题意得：CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴180﹣3x＝2x，
解得：x＝36，
∴∠A＝36°，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
10．（3分）如图，玻璃水杯截面图的左右轮廓线AC，BD可看作某抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，该抛物线的顶点在y轴上．将盛有部分水的该玻璃水杯倾斜45°时，水面正好经过点B（即∠ABP＝45°）．下列结论中，错误的是（ ）
A．此抛物线的解析式为y＝x2﹣16
B．直线PB的解析式为y＝x﹣4
C．点P到杯口AB的距离为5cm
D．点P到点D的距离为52cm
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】依据题意得A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12），可求抛物线的解析式为y＝x2﹣16，再求出直线PB的解析式，联立即可求出点P坐标，继而可判断结论．
【解答】解：∵杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，
∴A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12），
设轮廓线AC，BD所在抛物线的解析式为y＝ax2+k，
记BP与y轴的交点为E，把A（﹣4，0）、C（﹣2，﹣12）代入得：16a+k=04a+k=−12，
解得：a=1k=−16，
∴y＝x2﹣16，故A说法正确，不符合题意；
∵∠ABP＝45°，
∴∠OEB＝∠ABP＝45°，
∴OB＝OE，
∴E（0，﹣4），
设直线PB的解析式为y＝mx+n，
把B（4，0）、E（0，﹣4）代入得：4m+n=0，n=−4
解得：m=1n=−4，
∴直线PB：y＝x﹣4，故B说法正确，不符合题意；
由x2﹣16＝x﹣4解得x1＝﹣3，x2＝4（舍去），
当x＝﹣3，y＝﹣3﹣4＝﹣7，
∴P（﹣3，﹣7），此时点P到杯口AB的距离为7cm，故C说法不正确，符合题意；
∴PD=(−3−2)2+(−12+7)2=52（cm），故D说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确求出抛物线的表达式是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算：(−13)−1+(2024−π)0−16= ﹣6 ．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣6．
【分析】利用零次幂的性质和负整数指数幂的性质进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣3+1﹣4＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
12．（3分）不等式组x−3≤0x+1＞0的解集为 ﹣1＜x≤3 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣3≤0得：x≤3，
由x+1＞0得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故答案为：﹣1＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°，若CD＝EF＝1.7m，则旗杆AB的高度是 16.1 m（精确到0.1m）．（参考数据 ：3≈1.732)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】15.9
【分析】延长CE，交AB于点G．则∠BGC＝90°．AG＝CD＝EF＝1.7m，设BG＝xm．先证CG＝BG＝xm，则GE＝（x﹣6）m．再由锐角三角函数定义，即可解决问题．
【解答】解：延长CE，交AB于点G．如图所示：
则∠BGC＝90°．AG＝CD＝EF＝1.7m，
设BG＝xm．
在Rt△BGC中，∠BCG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BG＝xm，
∵CE＝6m，
∴GE＝（x﹣6）m．
在Rt△BGE中，∠BEG＝60°，tan∠BEG=BGEG=tan60°=3，
∴xx−6=3，
解得：x＝9+33，
∴AB＝BG+GA＝9+33+1.7≈15.9（m），
故答案为：15.9．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
14．（3分）一个不透明的袋子里装有2个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出2个球，是一红一白的概率为 23 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】23．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸两个球恰好是1个红球1个白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，同时摸两个球恰好是1个红球1个白球有8种情况，
P（一红一白）=812=23，
故答案为：23．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）观察下列各式的规律：
(a−b)(a+b)=a2−b2(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4−b4⋯⋯
根据以上规律可得：（a﹣b）（a2018+a2017b+⋯+ab2017+b2018）＝a2019﹣a2019 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】猜想归纳；整式；运算能力．
【答案】a2019﹣b2019．
【分析】先根据算式结果的特点归纳出此种算式的规律，再运用该规律进行求解．
【解答】解：∵（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4，
…，
∴（a﹣b）（an+an﹣1b+an﹣2b2+…+abn﹣1+bn）＝an+1﹣bn+1，
∴（a﹣b）（a2018+a2017b+⋯+ab2017+b2018）＝a2019﹣b2019，
故答案为：a2019﹣b2019．
【点评】此题考查了整式乘法规律性问题的解决能力，关键是能准确根据归纳出该运算规律．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD•BC＝AP•BP．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】先根据∠DPC＝∠A＝∠B＝90°推出∠APD＝∠BCP，然后判定△APD∽△BCP，用相似三角形的对应边成比例得到比例式，再变成等积式即可．
【解答】证明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，
∴∠APD+∠BPC＝90°，∠BCP+∠BPC＝90°，
∴∠APD＝∠BCP，
∴△APD∽△BCP，
∴ADAP=BPBC，
∴AD•BC＝AP•BP．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定方法和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）先化简再求值：（3y﹣2）（3y+2）﹣9y（y﹣1）+（y﹣2）2，其中y＝﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣6．
【分析】原式利用平方差公式，单项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，合并得到最简结果，把y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝9y2﹣4﹣9y2+9y+y2﹣4y+4
＝y2+5y，
当y＝﹣2时，
原式＝4﹣10＝﹣6．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）解分式方程：2xx2−4−1x−2=15．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝3．
【分析】将原方程去分母化为整式方程，解得x的值后并检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：10x﹣5（x+2）＝x2﹣4，
整理得：x2﹣5x+6＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
检验：当x＝2时，5（x+2）（x﹣2）＝0，
当x＝3时，5（x+2）（x﹣2）≠0，
则x＝2是分式方程的增根，
故原方程的解为x＝3．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
19．（8分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE垂线交DE于点P，已知 AE＝AP＝1，PB=5．
（1）求证：△APD≌△AEB；
（2）求正方形ABCD的面积．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）4+6．
【分析】（1）根据∠BAD＝90°，AE⊥AP得∠PAD＝∠EAB，由此可依据“SAS”判定△APD和△AEB全等；
（2）过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，依题意得△AEP为等腰直角三角形，则EP=2，∠APD＝135°，由△APD≌△AEB得∠APD＝∠AEB＝135°，则∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝90°，由勾股定理可得BE=3，证△BEF为等腰直角三角形，从而得BF＝EF=62，则AF＝AE+EF=62+1，然后在Rt△ABF中由勾股定理得AB2=4+6，据此可得正方形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠PAD+∠PAB＝90°，
∵AE⊥AP，
∵∠PAB+∠EAB＝90°，
∴∠PAD＝∠EAB，
在△APD和△AEB中，
AD=AB∠PAD=∠EABAE=AP，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
（2）解：过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，如图所示：

∵AE＝AP＝1，AE⊥AP，
∴△AEP为等腰直角三角形，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP=AE2+AP2=2，
∴∠APD＝180°﹣∠APE＝135°，
∵△APD≌△AEB，
∴∠APD＝∠AEB＝135°，
∴∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，
∴△BEP为直角三角形，
∵EP=2，BP=5，
由勾股定理得：BE=BP2−EP2=3，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，即BF＝EF，
由勾股定理得：BF2+EF2＝BE2，
∴2BF2＝3，
∴BF＝EF=62，
∴AF＝AE+EF=62+1，
在Rt△ABF中，AF=62+1，BF=62，
由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2=4+6，
∴S正方形ABCD＝AB2=4+6．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
20．（8分）共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分学生出行使用共享单车的情况，并整理成如下统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这组数据的中位数是 3 ，众数是 2 ；
（2）若该校某天有2000名学生出行，请你估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人数．
【考点】众数；用样本估计总体；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）3，2；
（2）520名．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）总人数乘样本中4次及4次以上的学生人数所占比例即可．
【解答】解：（1）这组数据的中位数是第25、25个数据的平均数，而这2个数据分别为3、3，
所以这组数据的中位数是3，众数是2，
故答案为：3，2；
（2）2000×11+250=520（名），
答：估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人数约为520名．
【点评】本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
21．（8分）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab+b2
近似计算算术平方根的方法．
例如求67的近似值．
因为64＜67＜81，
所以8＜67＜9，
则67可以设成以下两种形式：
①67=8+s，其中0＜s＜1；
②67=9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求67的近似值的过程如表．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求67的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的67的近似值的精确度更高，请说明理由．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；推理能力．
【答案】（1）8.22；
（2）用①的形式得出的67的近似值的精确度更高，理由见解析．
【分析】（1）设67=9−t，其中0＜t＜1，则仿照题意可得67＝81﹣18t+t2，t2比较小，将t2忽略不计，则67≈81﹣18t，据此可得t≈79，则67≈9−79≈8.22；
（2）可求出8.18＜67＜8.19＜8.22，据此可得结论．
【解答】解：（1）设67=9−t，其中0＜t＜1，
∴(67)2=(9−t)2，
∴67＝81﹣18t+t2，
∵t2比较小，将t2忽略不计，
∴67≈81﹣18t，
∴t≈81−6718=79，
∴67≈9−79≈8.22；
（2）用①的形式得出的67的近似值的精确度更高，理由如下：
∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，66.9124＜67＜67.0761，
∴8.18＜67＜8.19＜8.22，
∴用①的形式得出的67的近似值的精确度更高．
【点评】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键．
22．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，以CE为直径的⊙O与AB相切于点E．
（1）求∠COD的度数；
（2）若BF＝2DF＝2，求AE的长．
【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）3．
【分析】（1）根据等腰三角形性质得BD＝CD，AD⊥BC，进而得OD是△CBE的中位线，则OD∥AB，再根据切线性质得OE⊥AB，则∠CEB＝90°，然后根据平行线的性质即可得出∠COD的度数；
（2）连接EF，DE，依题意得BF＝2，DF＝1，则BD＝CD＝3，证明OD是线段CE的垂直平分线得DE＝CD＝3，再由勾股定理求出EF=22，BE=23，再证明EF∥AD，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出AE的长．
【解答】解：（1）在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵CE是⊙O的直径，
∴OE＝OC，
∴OD是△CBE的中位线，
∴OD∥AB，
∴∠COD＝∠CEB，
∵AB与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠COD＝∠CEB＝90°；
（2）连接EF，DE，如图所示：
∵BF＝2DF＝2，
∴BF＝2，DF＝1，
∴BD＝CD＝BF+DF＝3，
∵∠COD＝90°，OE＝OC，
∴OD是线段CE的垂直平分线，
∴DE＝CD＝3，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠EFC＝90°，
在Rt△EFD中，由勾股定理得：EF=DE2−DF2=32−12=22，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE=BF2+EF2=22+(22)2=23，
∵∠EFC＝90°，AD⊥BC，
∴∠EFC＝∠ADC＝90°，
∴EF∥AD，
根据平行线分线段成比例定理得：BEAE=BFDF，
∴AE=BE⋅DFBF=23×12=3．
【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
23．（10分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝x+1（1≤x≤2）是有上界函数，其上确界为3；函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×”．
①y＝x（x≤2） √ ；
②y＝x2+2x+4 × ；
③y＝﹣2x2+4x+1 √ ．
（2）一次函数y＝kx+3（﹣1≤x≤5）是有上界函数，上确界为4，求实数k的值．
（3）如果函数y＝﹣|x2﹣4|+m（0≤x≤m）是以2m2﹣m﹣3为上确界的有上界函数，求实数m的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数综合题；新定义；分类讨论；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）√、×、√；
（2）k＝﹣1或15；
（3）m＝1．
【分析】（1）由新定义即可求解；
（2）当k＞0时，y随x增大而增大，当x＝5时，函数有最大值5k+3＝4，解得：k=15；k＜0时，同理可解；
（3）当0≤m＜2时，函数v随x增大而增大，当x＝m时，函数有上确界：2m2﹣m﹣3﹣|m2﹣4|+m＝2m2﹣m﹣3，即可求解；当m≥2时，同理可解．
【解答】解：（1）①当x＝2时，y＝2，
则y≤2，
故①为有上界函数；
②y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，没有上届，
故②不是有上界函数；
③y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3≤3，
故③为有上界函数，
故答案为：√、×、√；
（2）一次函数 y＝kx+3（﹣1≤x≤5）是有上界函数，上确界为4，分两种情况：
当k＞0时，y随x增大而增大，
当x＝5时，函数有最大值5k+3＝4，
解得：k=15；
k＜0时，随x增大而减小，
当x＝﹣1时，函数有最大值﹣k+3＝4，
解得：k＝﹣1
综上可知：k＝﹣1或15；
（3）当0≤m＜2时，函数v随x增大而增大，
当x＝m时，函数有上确界：2m2﹣m﹣3﹣|m2﹣4|+m＝2m2﹣m﹣3，
则2m2﹣m+1＝0，
解得：m＝1；
当m≥2时，
x＝2时，函数有上确界2m2﹣m﹣3，
则m＝2m2﹣m﹣3，
解得m=1+72（舍）或1−72（舍），
综上可知，m＝1．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质，新定义，熟悉函数的性质和分类求解是解题的关键．
24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，M为AD中点，延长BM交CD的延长线于点E，连接AC，与BM交于点F．
（1）求证：DC＝DE；
（2）如图2，将矩形ABCD改成正方形ABCD，AB＝2，其他条件不变．
（ⅰ）求证：MFBF=EMEB，并求出MF的值；
（ⅱ）如图3，在BC的延长线上取点P，使得CP＝CA，延长PD与BM的延长线交于点Q，连接QA，PA，求证：AD平分∠QAP．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答，53；
（3）证明见解答．
【分析】（1）根据矩形的性质及三角形中位线定理，证明△DEM∽△CEB，得到DE=12CE，即可得证；
（2）根据正方形的性质及三角形中位线定理，求出AM，根据勾股定理求出BM，进一步证明△AFM∽△CFB，列出比例式即可解答；
（2）利用勾股定理求出AC，过点Q作QH⊥AD于点H，设AP交CD于点G，求出BP、PD，根据相似三角形的判定与性质及解直角三角形，即可得证．
【解答】证明：（1）∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵M为AD中点，
∴DM=12AD=12BC，DM∥BC，
∴△DEM∽△CEB，
∴DECE=DMCB=12，
∴DE=12CE，
∴CD＝DE；
（2）（ⅰ）∵正方形ABCD，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAD＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM=DM=12AD=1，
在Rt△ABM中，由勾股定理得BM=AB2+AM2=5，
由（1）知△DEM∽△CEB，
∴EMEB=DMCB=12，
∵AD∥BC，
∴△AFM∽△CFB，
∴MFBF=AMCB=12，
∴MFBF=EMEB=12，
∴MF=11+2BM=53；
（ⅱ）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2+BC2=22，
过点Q作QH⊥AD于点H，设AP交CD于点G，如图，
则∠AHQ＝∠DHQ＝90°＝∠PCD，
∵CP=CA=22，
∴PD=CD2+CP2=22+(22)2=23，BP=BC+CP=2+22，
∵AD∥BC，
∴∠ADG∽△PCG，△MDQ∽△BPQ，∠QDH＝∠DPC，
∴DGCG=ADPC=222=22，DQPQ=DMPB，△QDH∽△DPC，
∴DG=22+2CD=12+1×2=22−2，BP•DQ＝DM•PQ，
即(2+22)DQ=1×(23+DQ)，QHDC=DHPC=DQPD，
∴DQ=2322+1=46−237，QH=DQ⋅DCPD=46−237×223=42−27，DH=DQ⋅PCPD=46−237×2223=8−227，
∴AH=AD−DH=2−8−227=6+227，
∴tan∠DAQ=QHAH=42−276+227=22−13+2=2−1，
而tan∠DAP=DGAD=22−22=2−1，
∴∠DAQ＝∠DAP，
∴AD平分∠QAP．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理是解题的关键．使用次数
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人数
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因为67=8+s，
所以67＝（8+s）2，
即67＝64+16s+s2．
因为s2比较小，
将s2忽略不计，
所以67≈64+16s，
即16s≈67﹣64，
得s≈67−6416=316，
故67≈8+316≈8.19．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B．
A
D．
C
D
C
A
C
C
C
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因为67=8+s，
所以67＝（8+s）2，
即67＝64+16s+s2．
因为s2比较小，
将s2忽略不计，
所以67≈64+16s，
即16s≈67﹣64，
得s≈67−6416=316，
故67≈8+316≈8.19．