2026年武汉市中考数学终极押题模拟卷一（含答案）

这是一份2026年武汉市中考数学终极押题模拟卷一（含答案），共7页。
A．B．
C．D．
2．（3分）以下事件中，必然发生的是（ ）
A．打开电视机，正在播放体育节目
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．正五边形的外角和为180°
D．掷一次骰子，向上一面是5点
3．（3分）古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构．榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）人工智能正在迅速侵蚀我们生活的方方面面，似乎势不可挡．预计到2030年，人工智能技术的增长有可能为全球经济贡献15.7万亿美元．其中15.7万亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.157×1013B．1.57×1013
C．1.5×1012D．1.57×1011
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a3＝a3B．a4﹣a3＝aC．a4•a3＝a7D．（a4）3＝a7
6．（3分）小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）3张分别标有数字2，3，4的卡片，背面都一样，背面朝上洗匀，从中随机摸两次（第一次摸出卡片后记下数字，再放回洗匀），两次数字之和为奇数的概率是（ ）
A．12B．13C．49D．23
8．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（ ）
A．60°B．72°C．36°D．90°
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，以边BC为直径作⊙O，与线段CA，BA的延长线分别交于点D，E，则DE的长为（ ）
A．3πB．2πC．3πD．23π
10．（3分）如图①所示，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（ ）
A．92B．143C．5D．42
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）孔子出生于公元前551年，可以用﹣551年表示，那么欧阳修出生于公元1007年可表示为 年．
12．（3分）函数y1=ax2+bx+c与y2=kx的图象如图所示，当y1，y2均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）方程2x−3=1的解为 ．
14．（3分）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，无人机与楼之间的水平距离为120m，则这栋楼的高度是 m．（结果保留根号）
15．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：①PC+PQ≥AQ；②AE+DE＝BC；③PC+PQ的最小值是245；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．其中正确的是 ．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（1，0），（﹣2，t）两点，其中t＜0，对称轴为x＝﹣1．下列四个结论：①bc＜0；②c＝t；③点A（s，y1）、B（s+1，y2）在抛物线上，当s＜﹣1时，y1＞y2；④已知关于x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，若关于x的方程ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）有整数根，则其根为﹣4和2；其中正确的结论是 （填写序号）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解不等式组：4x−6≤x+37+x＜6+2x．
18．（8分）如图，已知，点C、E、B、F在同一直线上，CE＝BF，AC∥DF，且AC＝DF．猜想：AB和DE位置关系，并证明你的猜想．
19．（8分）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）m的值是 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 ，并补全条形统计图．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CFB=22，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，1），B（4，5），C（1，1）均在格点上．
（1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
22．（10分）某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心A处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心O为坐标原点，过原点的水平线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度OA为1m，测得当飞行的水平距离为1m时，飞机的飞行高度为2.8m；当飞行的水平距离为3m时，飞机的飞行高度为5.2m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求飞机飞行的最大高度及最远距离．
23．（10分）在学习了相似三角形后，某数学兴趣小组对四边形中的一类旋转型全等和相似进行了层层深入的探究．
在▱ABCD中，点E为边AB上的一点，连接DE，以DE为边作∠EDF＝∠ADC，边DF交BC的延长线于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当▱ABCD是正方形时，求证：DE＝DF．
【深入探究】
（2）如图2，当▱ABCD是矩形时，AB＝4，BC＝6，连接AF，分别交DE和DC于点M、N，若点E为AB的中点，求DMDF的值．
【拓展探究】
（3）如图3，在▱ABCD中，tanB=43，当AE=518AB时，AF⊥CD，求DFDE的值．
24．（12分）如图，已知抛物线y=−13x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）若∠PBA＝∠ACO，直接写出点P的坐标．
2026年 武汉中考数学终极押题密卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2024年3月30﹣31日，高安市巴夫洛生态谷举行了“春风作伴放纸鸢”大型风筝放飞活动．以下风筝图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：根据轴对称图形的定义，选项A、C、D中的图形都能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故A、C、D不符合题意；
选项B中的图形不是轴对称图形，符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（3分）以下事件中，必然发生的是（ ）
A．打开电视机，正在播放体育节目
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．正五边形的外角和为180°
D．掷一次骰子，向上一面是5点
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据必然事件的定义逐项判断即可．
【解答】解：因为打开电视机，正在播放体育新闻节目是随机事件，所以A不符合题意；
因为任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，所以B符合题意；
因为正五边形的外角和是180°是不可能事件，所以C不符合题意；
因为掷一次骰子，向上一面是5点是随机事件，所以D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了必然事件的判断，掌握定义是解题的关键．即必然事件是在一定条件下一定能发生的事件．
3．（3分）古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构．榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：它的主视图是：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）人工智能正在迅速侵蚀我们生活的方方面面，似乎势不可挡．预计到2030年，人工智能技术的增长有可能为全球经济贡献15.7万亿美元．其中15.7万亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.157×1013B．1.57×1013
C．1.5×1012D．1.57×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：15.7万亿＝15700000000000＝1.57×1013．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a3＝a3B．a4﹣a3＝aC．a4•a3＝a7D．（a4）3＝a7
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a4÷a3＝a，则A不符合题意，
a4与a3不是同类项，无法合并，则B不符合题意，
a4•a3＝a7，则C符合题意，
（a4）3＝a12，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．（3分）小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】B
【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【解答】解：该汽车经历：加速﹣匀速﹣减速到服务区﹣加速﹣匀速，
加速：速度增加，
匀速：速度保持不变，
减速：速度下降，
到站：速度为0．
观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B选项符合．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
7．（3分）3张分别标有数字2，3，4的卡片，背面都一样，背面朝上洗匀，从中随机摸两次（第一次摸出卡片后记下数字，再放回洗匀），两次数字之和为奇数的概率是（ ）
A．12B．13C．49D．23
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次数字之和为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次数字之和为奇数的结果有：（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共4种，
∴两次数字之和为奇数的概率是49．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（ ）
A．60°B．72°C．36°D．90°
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A，则∠ABC＝∠C＝∠BED＝∠EDF+∠A＝2∠A，所以2∠A+2∠A+∠A＝180°，求得∠A＝36°，则∠ABC＝72°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A，
∴∠BED＝∠EDF+∠A＝2∠A，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∵∠ABC+∠C+∠A＝180°，
∴2∠A+2∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
∴∠ABC＝2∠A＝72°，
故选：B．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠ABC＝∠C＝2∠A是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，以边BC为直径作⊙O，与线段CA，BA的延长线分别交于点D，E，则DE的长为（ ）
A．3πB．2πC．3πD．23π
【考点】弧长的计算；解直角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OD、OE、OA，根据等腰三角形的性质对称∠B＝∠C＝30°，AO⊥BC，利用圆周角定理得出∠BOD＝∠COE＝60°，即可得出∠DOE＝60°，解直角三角形求得半径，然后利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OD、OE、OA，
在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵OB＝OC，
∴AO⊥BC，
在Rt△ABO中，∠B＝30°，AB＝6，
∴OB=32AB＝33，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BOD＝∠COE＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∴DE的长为：60π×33180=3π．
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，求得圆心角和圆的半径是解题的关键．
10．（3分）如图①所示，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（ ）
A．92B．143C．5D．42
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】几何动点问题；函数及其图象；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由图②可得，当x＝2时，y＝AP＝6cm，即此时A、O、P共线，则圆得半径为3cm，当x＝0时，AB＝AP=32cm，由勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°，进而得到当x＝2时，点P走过的角度为90°，算出P走过的弧长为3π2cm，点P的运动速度为3π4cm/s，当x＝m时，AP＝3cm，此时△AOP为等边三角形，点P走过的角度为210°，算出P走过的弧长为=7π2cm，最后利用时间的路程÷速度即可求出m．
【解答】解：由图②可得，当x＝2时，y＝AP＝6cm，即此时A、O、P共线，
则圆得半径为12AP＝3（cm），
当x＝0时，y＝AP=32cm，
此时AB＝AP=32cm，
∵OA＝OB＝3cm，AB=32cm
∴AB2＝OA2+OB2，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
当x＝2时，点P运动到点C，如图，
则点P走过的角度为90°，
∴点P走过的弧长为90360×2π×3=3π2（cm），
∴点P的运动速度为3π2÷2=3π4（cm/s），
当x＝m时，y＝AP＝3cm，如图，
此时，△AOP为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴点P走过的角度为90°+（180°﹣60°）＝210°，
∴点P走过的弧长为210360×2π×3=7π2（cm），
∴m=7π2÷3π4=143．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、等边三角形的判定、勾股定理的应用、弧长的计算，理解函数图象中的点在不同时刻所代表的实际意义是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）孔子出生于公元前551年，可以用﹣551年表示，那么欧阳修出生于公元1007年可表示为 +1007 年．
【考点】正数和负数．
【专题】实数；数感．
【答案】+1007．
【分析】先根据孔子出生于公元前用负表示，确定公元用正号，从而求解．
【解答】解：∵由题意公元前用“负”表示，
∴公元用“正”表示．
∴欧阳修出生于公元1007年可表示为+1007年．
故答案为：+1007．
【点评】本题主要考查正数和负数，掌握正负数的有关规定是解决本题的关键．
12．（3分）函数y1=ax2+bx+c与y2=kx的图象如图所示，当y1，y2均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 x＞1 ．
【考点】反比例函数的性质；二次函数的图象；二次函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】x＞1．
【分析】利用图象法即可求解．
【解答】解：观察图象可知，当y1，y2均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解题的关键是学会利用图象法解决问题．
13．（3分）方程2x−3=1的解为x＝5 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝5．
【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，再检验即可．
【解答】解：2x−3=1，
2＝x﹣3，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣3＝2≠0，
∴原方程的解为x＝5．
故答案为：x＝5．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握接分式方程的步骤是关键．
14．（3分）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，无人机与楼之间的水平距离为120m，则这栋楼的高度是 1603 m．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】1603．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AD＝120m，然后分别在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：AD＝120m，
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD＝AD•tan30°＝120×33=403（m），
在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，
∴CD＝AD•tan60°＝1203（m），
∴BC＝BD+CD＝403+1203=1603（m），
∴这栋楼的高度是1603m，
故答案为：1603．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：①PC+PQ≥AQ；②AE+DE＝BC；③PC+PQ的最小值是245；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．其中正确的是 ①②④ ．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称﹣最短路线问题；三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】①②④
【分析】①根据等腰三角形的性质得出BD垂直平分AC，得出AP＝PC，根据三角形三边关系即可得出结论；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明∠EDB＝∠EBD，∠ADE＝∠BAD，得出EB＝ED，EA＝ED，即可得出结论；
③过点A作AM⊥BC于点M，当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ＝AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，根据等积法求出AM即可；
④过点P作PN⊥AB于点N，得出PN＝PD，求出S△APDS△APB=ADAB=610=35，即可求出结果．
【解答】解：①∵BA＝BC＝10，BD是△ABC的角平分线，
∴BD⊥AC，AD＝CD，
∴BD垂直平分AC，
∴AP＝PC，
∴PC+PQ＝AP+PQ，
∵AP+PQ＞AQ，
∴PC+PQ≥AQ，故①正确；
②∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠ADE＝∠ACB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴EA＝ED，
∴AE=DE=BE=12AB=12BC，
∴AE+DE＝BC，故②正确；
③根据解析①可知，PC+PQ＝AP+PQ，
∴当AP+PQ最小时，PC+PQ最小，
过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ＝AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，
∵BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴BD=AB2−AD2=8，
∵S△ABC=12AC×BD=12BC×AM，
∴AM=AC×BDBC=12×810=485，
即PC+PQ的最小值是485，故③错误；
④过点P作PN⊥AB于点N，如图所示：
∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，
∴PN＝PD，
∴S△APDS△APB=ADAB=610=35，
∵S△APD+S△APB=S△ABD=12×6×8=24，
∴S△APD=35+3×S△ABD=38×24=9，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，故B正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（1，0），（﹣2，t）两点，其中t＜0，对称轴为x＝﹣1．下列四个结论：①bc＜0；②c＝t；③点A（s，y1）、B（s+1，y2）在抛物线上，当s＜﹣1时，y1＞y2；④已知关于x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，若关于x的方程ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）有整数根，则其根为﹣4和2；其中正确的结论是 ①②④ （填写序号）．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】利用二次函数的图象及性质，系数间的关系和一元二次方程的关系即可求解．
【解答】解：∵抛物线过（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴图象必过（﹣3，0），
又∵过点（﹣2，t）（t＜0），
∴开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，故①对；
∵（0，c）与（﹣2，t）到对称轴等距，
∴c＝t，故②对；
∵s＜﹣1，无法判断点A（s，y1）、B（s+1，y2）与对称轴是同侧还是异侧，
也就无法判断点A、B与对称轴为直线x＝﹣1的距离的大小，故无法比较y1与y2的大小，故③错；

∵方程ax2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣3，
又x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，而抛物线的对称轴为x＝﹣1，由对称性得另一个根为﹣5，
观察图象，得关于x的方程ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）整数根为﹣4和2，故④对，
故答案为：①②④．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解不等式组：4x−6≤x+37+x＜6+2x．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1＜x≤3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由4x﹣6≤x+3得：x≤3，
由7+x＜6+2x得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）如图，已知，点C、E、B、F在同一直线上，CE＝BF，AC∥DF，且AC＝DF．猜想：AB和DE位置关系，并证明你的猜想．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】AB∥DE，证明见解答．
【分析】观察图形，可猜想AB∥DE，由CE＝BF，推导出BC＝EF，由AC∥DF，得∠C＝∠F，而AC＝DF，可根据“SAS”证明△ABC≌△DEF，得∠ABC＝∠DEF，即可证明AB∥DE．
【解答】解：AB∥DE，
证明：∵点C、E、B、F在同一直线上，CE＝BF，
∴CE+BE＝BF+BE，
∴BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠C＝∠F，
在△ABC和△DEF中，
BC=EF∠C=∠FAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥DE．
【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出BC＝EF，∠C＝∠F，进而证明△ABC≌△DEF，得∠ABC＝∠DEF，则AB∥DE．
19．（8分）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）m的值是 100 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 72° ，并补全条形统计图．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
【考点】条形统计图；中位数；众数；统计量的选择；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）100；72°；补全条形统计图如下：
（2）520人；
（3）选众数：
∵1分有2人，2分有10人，3 分有36人，4分有32人，5分有20人，
∴众数为3分，实际意义为：参加竞赛的学生中，得3分的人数最多．
【分析】（1）用得3分的人数除以其所占的百分比即可求出m的值，计算出得5分的人数补全条形统计图，用360°乘以得“5分”的人数的占比即可求解；
（2）用1000乘以成绩超过3分的学生人数的占比即可求解；
（3）根据众数或中位数的意义进行作答即可．
【解答】解：（1）m＝36÷36%＝100（人），则得5分的人数为100﹣2﹣10﹣36﹣32＝20（人），
“5分”对应的扇形的圆心角为360°×20100=72°．
补全条形统计图如下：
故答案为：100；72°；
（2）用1000乘以成绩超过3分的学生人数的占比可得：
1000×32+20100=1000×52100=520（人）．
答：估计成绩超过3分的学生人数约为520人．
（3）选众数：
∵1分有2人，2分有10人，3 分有36人，4分有32人，5分有20人，
∴众数为3分，实际意义为：参加竞赛的学生中，得3分的人数最多．
【点评】本题考查了条形统计图、用样本估计整体，熟练掌握以上知识点是关键．
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CFB=22，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】平移、旋转与对称；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠OCF＝∠E＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）2π﹣4．
【分析】（1）证连接OC，根据垂直的定义得到∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据折叠的性质得到∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，根据平行线的性质得到∠COF＝∠E＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到∠CFB＝45°，求得∠COF＝∠CFO＝45°，得到CD＝OD=22OC＝22，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠OCF＝∠E＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵sin∠CFB=22，
∴∠CFB＝45°，
∵∠OCF＝90°，
∴∠COF＝∠CFO＝45，
∴CF＝OC=12AB=4，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠COD＝45°，
∴CD＝OD=22OC＝22，
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△COD面积=45⋅π×42360−12×22×22=2π﹣4．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，折叠的性质，解直角三角形，扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，1），B（4，5），C（1，1）均在格点上．
（1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点B1的坐标为（﹣4，5）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
由图可得，点A2的坐标为（1，﹣5）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
22．（10分）某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心A处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心O为坐标原点，过原点的水平线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度OA为1m，测得当飞行的水平距离为1m时，飞机的飞行高度为2.8m；当飞行的水平距离为3m时，飞机的飞行高度为5.2m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求飞机飞行的最大高度及最远距离．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣0.2x2+2x+1；
（2）最大高度为6m，最远距离为(5+30)m．
【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意，抛物线经过点（0，1），（3，5.2），（1，2.8），
设y＝ax2+bx+c（a≠0），
则c=1a+b+c=2.89a+3b+c=5.2，
解得c=1a=−0.2b=2，
∴y＝﹣0.2x2+2x+1；
（2）由y＝﹣0.2x2+2x+1＝﹣0.2（x﹣5）2+6，
∴当x＝5时，y有最大值，最大值为6；
令y＝0，由0＝﹣0.2（x﹣5）2+6得
x1=5+30，x2=5−30（不符合题意，舍去），
答：飞机飞行的最大高度为6m，最远距离为(5+30)m．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求出抛物线的解析式是解答的关键．
23．（10分）在学习了相似三角形后，某数学兴趣小组对四边形中的一类旋转型全等和相似进行了层层深入的探究．
在▱ABCD中，点E为边AB上的一点，连接DE，以DE为边作∠EDF＝∠ADC，边DF交BC的延长线于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当▱ABCD是正方形时，求证：DE＝DF．
【深入探究】
（2）如图2，当▱ABCD是矩形时，AB＝4，BC＝6，连接AF，分别交DE和DC于点M、N，若点E为AB的中点，求DMDF的值．
【拓展探究】
（3）如图3，在▱ABCD中，tanB=43，当AE=518AB时，AF⊥CD，求DFDE的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，
∵∠EDF＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∠A=∠DCF=90°AD=CD∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF；
（2）2729；
（3）18−3265．
【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得线段CF，利用勾股定理求得DF，DE，利用相似三角形的判定与性质求得DM，代入化简运算即可得出结论；
（3）过点E作EG⊥AD，交DA的延长线于点G，设CD，AF交于点H，利用平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理得到设GE＝4k，则GA＝3k，则AE=GA2+GE2=5k，可求线段AB＝CD＝18k，利用直角三角形的边角关系定理得到设FH＝4m，则CH＝3m，则CF=CH2+FH2=5m，可得BC＝BF﹣CF＝30k﹣5m，DH＝DC﹣CH＝18k﹣3m，利用相似三角形的判定与性质求得m=18−3265k，再利用相似三角形的性质解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，
∵∠EDF＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∠A=∠DCF=90°AD=CD∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF；
（2）解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，∠BAD＝∠DCF＝90°，
∵∠EDF＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴AECF=ADCD，
∴AECF=64=32，
∵点E为AB的中点，
∴AE=12AB＝2，
∴CF=43．
∴DF=DC2+CF2=4103．
∵AD∥BC，
∴△ADN∽△FCN，
∴ADCF=DNCN，
∴643=DN4−DN，
∴DN=3611，
∵AB∥DC，
∴△AEM∽△NDM，
∴AEDN=EMDM，
∴DM=1829DE，
∵DE=AE2+AD2=210，
∴DM=361029，
∴DMDF=3610294103=2729．
（3）解：过点E作EG⊥AD，交DA的延长线于点G，设CD，AF交于点H，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠GAE＝∠B，
∴tan∠GAE＝tanB=43=GEGA，
设GE＝4k，则GA＝3k，
∴AE=GA2+GE2=5k，
∵AE=518AB，
∴AB＝18k，
∴CD＝AB＝18K，
∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
∴tanB=AFAB=43，
∴AF＝24k，
∴BF=AB2+AF2=30k，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠B，
∴tan∠DCF＝tanB=43=FHCH，
设FH＝4m，则CH＝3m，
∴CF=CH2+FH2=5m，
∴BC＝BF﹣CF＝30k﹣5m，DH＝DC﹣CH＝18k﹣3m，
∴AD＝BC＝30k﹣5m，
∴DG＝AD+AG＝30k﹣5m+3k＝33k﹣5m，
∵∠EDF＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠EGD＝∠DHF＝90°，
∴△EGD∽△FHD，
∴EGGD=FHHD，
∴4k33k−5m=4m18k−3m，
∴5m2﹣36km+18k2＝0，
∴m=18−3265k或m=18+3265k（不合题意，舍去），
∵△EGD∽△FHD，
∴DFDE=FHEG=4m4k=mk=18−3265．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握岁数大了与性质是解题的关键．
24．（12分）如图，已知抛物线y=−13x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）若∠PBA＝∠ACO，直接写出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=−13x2+13x+4
（2）点P的坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）点P的坐标为(−34，5716)或(−214，−11116)．
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y=−13x2+bx+c，即可求解；
（2）先求出S△OAC＝6，则S△BOP＝12，设P(t，−13t2+13t+4)，可得12×4×|−13t2+13t+4|=12，即可求P点坐标；
（3）设PB交y轴于点Q，利用正切函数求得OQ＝3，利用待定系数法求得直线PB的解析式，联立求得即可；当直线PB经过点Q关于原点的对称点Q1时，也符合题意，同理求解即可．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y=−13x2+bx+c，
∴−3−3b+c=0−163+4b+c=0，
解得b=13c=4，
∴y=−13x2+13x+4；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴S△OAC=12×3×4=6，
∵S△BOP＝2S△AOC，
∴S△BOP＝12，
设P(t，−13t2+13t+4)，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∴12×4×|−13t2+13t+4|=12，
解得t＝6或t＝﹣5，
∴点P的坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）设PB交y轴于点Q，
∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），
∴OA＝3，OC＝OB＝4，
∵∠PBA＝∠ACO，
∴tan∠PBA＝tan∠ACO，
∴OQOB=OAOC，即OQ4=34，
∴OQ＝3，
设直线PB的解析式为y＝kx+3，
∴0＝4k+3，
解得k=−34，
∴直线PB的解析式为y=−34x+3，
联立y=−34x+3y=−13x2+13x+4，
解得x=4y=0或x=−34y=5716，
∴点P的坐标为(−34，5716)；
当直线PB经过点Q关于原点的对称点Q1时，也符合题意，同理求得直线P1B的解析式为y=34x−3，联立y=34x−3y=−13x2+13x+4，
解得x=4y=0或x=−214y=−11116，
∴点P的坐标为(−214，−11116)；
综上，点P的坐标为(−34，5716)或(−214，−11116)．
【点评】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正切函数的定义．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
B．
C
B
C
B
C
B
2
3
4
2
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，2）
（4，3）
（4，4）