专题02 方程与不等式8大解题技巧-2026年广东广州地区中考数学二轮专题复习试题（含答案）

这是一份专题02 方程与不等式8大解题技巧-2026年广东广州地区中考数学二轮专题复习试题（含答案），共6页。试卷主要包含了 一元一次方程及其解法， 二元一次方程组及其解法， 分式方程的有关概念， 分式方程的解法， 一元二次方程的解法，6万元且不少于7等内容，欢迎下载使用。
内●容●导●航
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
►考向聚焦 ►考查形式 ►能力清单
第二部分 技法清单 构建思维框架，提炼通用解法
►知识必备/二级结论 ►母题精讲&答题技法 ►变式应用
技法 01 解方程（组）与不等式（组） 技法02 与方程、不等式的解有关的问题
技法03 与一元二次方程的根有关的问题 技法04用方程、不等式的知识解决营销问题
技法05 用方程、不等式的知识解决几何图形问题 技法06 用方程、不等式的知识解决方案选择
技法07 用方程、不等式的知识解决行程问题 技法08 用方程、不等式的知识解决动点问题
第三部分 分级实战 分级强化训练，实现能力跃迁
命●题●解●码
技●法●清●单
技法01 解方程（组）与不等式（组）
知识必备
1. 一元一次方程及其解法
(1)解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
2. 二元一次方程组及其解法
(1)基本思想：二元一次方程组 消元 一元一次方程
(2)代入法和加减法
3. 分式方程的有关概念
(1)分式方程：只含分式,或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程
(2)使分式方程无解的原因：方程的根使分式方程的分母为零
4. 分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程
(2)解法：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程,再求根验根
5. 一元二次方程的解法
(1)开平方法：它适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程．
(2)配方法：化二次项系数为1→把常数项移到方程的另一边→在方程两边同时加上一次项系数一半的平方→把方程整理成(x＋a)2＝b的形式→运用开平方法解方程．
(3)公式法：把方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若b2－4ac≥0，则x＝−b±b2−4ac2a.
(4)因式分解法：将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．
6. 一元一次不等式的解法及解集表示
(1)解法步骤：
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
答题技法
解方程（组）需牢记“消元”思想（代入/加减消元法）；解不等式（组）要注意系数化为“1”时，若系数为负数，不等号方向要改变。解得后，务必在数轴上表示解集（实心点表示“≥”或“≤”，空心圈表示“＞”或“＜”），这是检查的关键。
母题精讲
【典例01】（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字．
(1)如果被污染的数字是，请计算的值．
(2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？
变式应用
【变式01】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则_______．
【变式02】（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为______．
【典例02】（2025·山西·一模）解方程组：．
变式应用
【变式01】（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．－1B．7C．1D．2
【变式02】（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________．
【变式03】（24-25七年级下·北京·期中）已知，满足方程组，则的值为______．
【典例03】（2025·辽宁抚顺·一模）解方程
(1)（配方法）；
(2)（公式法）
变式应用
【变式01】（2025·四川广安·一模）对于嘉嘉与淇淇两人解方程的过程，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，淇淇错B．嘉嘉错，淇淇对
C．两人都对D．两人都错
【变式02】（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________．
【典例04】（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程：
变式应用
【变式01】（2025·广东·模拟预测）解分式方程：．
解：方程两边同乘以，得，……第一步
去括号，得，……第二步
移项､合并同类项，得，……第三步
方程两边同除以2，得，……第四步
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________；
②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________；
任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程．
【变式02】（2025·河北石家庄·二模）已知：分式，
(1)计算；
(2)利用（1）的结论，解分式方程．
【典例04】（2025·山西·一模）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
变式应用
【变式01】（2025·江苏·一模）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；
【变式02】（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，．
(1)若输入，则________，________；
(2)若得到，求输入的x值及相应n的值；
(3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？
技法02 与方程、不等式的解有关的问题
知识必备
1.分式方程无解的一般情况：
①未知数的值使分母为0；
②出现0·x＝非零数．
2.分式方程有增根的一般情况：
①未知数的值使分母为0；
答题技法
遇到“增根”，先化为整式方程，再将使分母为零的根代入求参；遇到“解为正/负数”，先解方程（用参数表示解），再根据解的范围列不等式（注意分式方程要剔除增根）；同解方程组问题，可将不含参的方程联立求解，再代入含参方程。
母题精讲
【典例01】（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值．
变式应用
【变式01】（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
【典例02】（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组．
(1)若，求的值；
(2)若均为非负数，求的取值范围；
(3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
变式应用
【变式01】（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解．
(1)求的值．
(2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值．
【变式02】（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解．
(1)求m和n值，
(2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积．
技法03 与一元二次方程的根有关的问题
知识必备
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
(1)根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．
(2)一元二次方程根的情况与判别式的关系：
①b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根；
②b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根；
③b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．
(3)根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ ba，x1·x2＝ca．
答题技法
牢记使用韦达定理的前提是△≥0。对于求对称式（如x₁²+x₂²）的值，通常转化为（x₁+x₂）² - 2x₁x₂求解。遇到两根异号或整数根问题，需结合判别式的取值范围进行整数分析 。
母题精讲
【典例01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当时，直接写出该方程的根．
变式应用
【变式01】（2025·北京朝阳·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为___________．
【典例02】（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)若是“邻根方程”，求的值．
(2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由．
变式应用
【变式01】（2025·四川绵阳·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为（ ）
A．5B．C．5或D．5或
【变式02】（2025·四川广安·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________．
技法04 用方程、不等式的知识解决营销问题
知识必备
一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、利润公式（售价－进价＝利润）、折扣问题、方案设计、整数解的实际意义。
答题技法
第一步设未知数，第二步根据“总价=单价×数量”或利润公式列等式求单价；第三步根据“总资金不超过…”或“利润不少于…”列出不等式组，确定取值范围后，由整数解得到方案数。
母题精讲
【典例01】（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．
(1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？
(2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？
【典例02】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
(2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？
变式应用
【变式01】（2025·河南驻马店·三模）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题：
(1)用含x的代数式表示：
①每个瓷盘的实际利润是______元；
②实际的销售量是______个；
(2)为了赚得10000元的利润而义尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？
【典例03】（2025·重庆·模拟预测）每年五月，学校团委都要举行“五月的鲜花”退队入团仪式．去年五月，小于老师带领的组织部采购了总价为120元的红色花朵和总价为180元的黄色花朵用于节目表演，组织部回来记账时发现单据被弄脏了，看不清单价和数量等信息，只记得红色花朵的单价比黄色花朵的单价少3元，并且购买数量相同．
(1)请你帮组织部算算黄色花朵的单价；
(2)受市场影响，今年五月，同种红色花朵的单价比去年同期上涨了，同种黄色花朵的单价比去年同期上涨了，组织部算了算：若每种花朵的购买数量都比去年少，则总价只比去年少15元，请问a是多少？
变式应用
【变式01】（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
(1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？
【变式02】（2025·山西长治·一模）随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元．
(1)分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价．
(2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为65元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？
【典例04】（2025·湖南长沙·模拟预测）《长沙美食探险计划》你是长沙“烟火夜市”的小记者，需完成一篇关于特色小吃店的深度报道．店主给了你一份挑战任务，只有破解数学谜题才能解锁独家数据！
任务1（密码谜题）：
店主将臭豆腐和糖油粑粑的单价加密成了一道门锁密码．线索如下：
线索卡：周一用“2份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“120元”宝箱；
线索卡：周二用“5份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“170元”宝箱．
你的目标：通过线索卡和，破解两种小吃的单价密码．
任务2（经营策略）：
店主计划优化每日制作计划，需满足以下条件：
1．资源限制：由于人手问题，每天限供臭豆腐和糖油粑粑总量120份．
2．人气保障：店主想提升糖油粑粑销量，每天的糖油粑粑份．
3．营收目标：当日总销售额元（已知单价来自任务1）．
挑战：在满足所有条件的情况下，店主想知道：最多能卖出多少份臭豆腐？此时需搭配多少份糖油粑粑？
变式应用
【变式01】（2025·湖南长沙·模拟预测）近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多0.6万元，花5万元购买种设备和花11万元购买种设备的数量相同．
(1)求两种设备每台各多少万元？
(2)根据单位实际情况，需购进两种设备共18台，总费用不高于14万元，且种设备的数量不超过种设备数量的2倍，请设计一个购进方案使总费用最低，并求出最低费用．
技法05 用方程、不等式的知识解决几何图形问题
知识必备
几何图形的周长、面积、体积公式，勾股定理，相似三角形性质，全等三角形性质，一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，动点问题中的线段表示，分类讨论思想。
答题技法
掌握常见图形的计算公式（如勾股定理、面积公式）。若涉及动点，通常设运动时间为t，用含t的代数式表示线段长度，再根据几何关系（如全等、相似、勾股定理）建立方程求解，注意检验解是否符合图形实际情况。
母题精讲
【典例01】（2025·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转时间为_______秒时，．（G、H为C、B对应点）
变式应用
【变式01】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为_________________（本题中所有角的度数均不超过 ）．
【变式02】（2025·广东·二模）【综合与实践】
主题：制作一个有盖长方体形纸盒．
素材：一张矩形纸板．
操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒．
计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积．
【典例02】（2025·江苏泰州·三模）项目式学习：
主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图1）制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图2，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图3所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为，则收纳盒的底面的边的长为（_____________）的长为（_____________）；（均用含的代数式表示）
任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高．
变式应用
【变式01】（2025·天津·一模）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）根据以上素材，思考并完成任务：
变式应用
【变式01】（2025·河北石家庄·三模）如图，平面直角坐标系中，有一动点和正方形，其中，．

(1)求直线的解析式；
(2)当时，判断点是否在正方形内（含边界）；
当点运动到轴上时，求的面积；
(3)若点在内部（含边界，直接写出的取值范围．

技法06 用方程、不等式的知识解决方案选择问题
知识必备
一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数（费用函数）、分段函数、方案比较（通过方程或不等式求临界值）、实际问题的整数解。
答题技法
分别用代数式表示出两种方案的费用y₁和y₂（常为分段函数或一次函数）。通过解不等式y₁ ＞ y₂、y₁ = y₂、y₁ ＜ y₂，找到临界值，再结合自变量取值范围（如人数整数、车辆整数）确定最优选择。
母题精讲
【典例01】（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下：
(1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？
(2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？
变式应用
【变式01】（2025·河南驻马店·三模）某商店举行优惠促销活动，现有如下两种优惠方案可供选择（二选一）．
方案一：花费120元购买会员卡，之后若商品总价格在800元以内（包括800元），直接按商品总价格的八五折结算；若商品总价格超过800元，直接按商品总价格的七五折结算；
方案二：不购买会员卡，一律按商品价格的九五折结算．
已知小敏活动前不是该商店的会员，本次商品原总价为元．
(1)当时，分别求出两种方案的最终结算价；
(2)当时，选择两种方案的最终结算价是否可能相等？（需说明理由）
(3)若采用方案一更合算，直接写出此时的取值范围．
【典例02】（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲．
(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？
(2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？
变式应用
【变式01】（2025·黑龙江·二模）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围．
技法07 用方程、不等式的知识解决行程问题
知识必备
路程、速度、时间关系（s=vt），相遇问题，追及问题，水流（顺逆）问题，分式方程（可能涉及增根），一元一次方程，一元一次不等式，单位换算，检验解的合理性。
答题技法
行程问题的核心是画线段图帮助理解。对于分式方程应用题，找准等量关系（如“时间差=…”），解后务必双检：一是检验是否为增根，二是检验是否符合实际（如速度为正数）。
母题精讲
【典例01】（2026·江苏苏州·模拟预测）苏州金鸡湖环湖步道是市民健身的热门场所．小苏和小州分别以步行和骑自行车的方式沿步道行进（视为直线），小苏步行速度为，小州骑自行车速度为．
(1)小苏提前0.5小时从起点出发步行，小州骑车从起点追赶，则小州出发后经过________小时首次追上小苏，此时两人距起点________千米．
(2)若小苏提前出发15分钟（即0.25小时），小州才从起点追赶，求小州出发后多少分钟首次追上小苏？
(3)由于景区调度，小州需在距起点6千米的李公堤站或距起点8千米的东方之门站接听电话（两站点均在路径上）．若小苏提前出发10分钟（即小时），小州需选择其中一站停车通话1分钟（即小时）后再继续追赶，小州应选择哪一站通话，才能确保通话后追上小苏所用时间最少？请通过计算说明理由．
变式应用
【变式01】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是．
(1)用含的代数式表示：
①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ；
②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ．
(2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求的值．
【典例02】（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米．
(1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？
(2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
变式应用
【变式01】（2025·浙江·模拟预测）暑假实践活动，小姜和小杨想要共同完成一项夏日杭州文化旅游攻略，其中一项攻略方案如下：
【典例03】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
【典例04】（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料：
在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值．
阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，．
(1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m）
(2)求出发后，甲、乙速度相等的时间；
(3)求出发后，甲、乙相遇的时间．
变式应用
【变式01】（2025·广东佛山·三模）年佛山公里徒步活动，约万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了个签到点，签到点与起点的距离如下表：
求：小明从第签到第签的平均速度是起点到第签的平均速度的倍，且他从第签到第签比起点到第签少用，求的值．
【变式02】（2025·陕西西安·模拟预测）2025年2月20日西安市教育局印发《2025年西安市初中学业水平体育与健康考试工作方案》，《方案》就“体育与健康”的考试项目、计分方法等进行了规定，某校初三学生小明（男）和小红（女）近期参加完“体育与健康”考试，小明在“耐力、心肺功能”选择的是1000米，若跑进3分57秒，则项目分值为100分，小红在“耐力、心肺功能”选择的是800米，若跑进3分47秒，则此项目分值为100分．已知小明跑1000米的速度是小红跑800米速度的1.5倍，若他俩同时起跑小红跑完800米比小明跑完1000米多用了40秒，请通过计算帮助小明判断这个项目他能否得100分．
技法08 用方程、不等式的知识解决动点问题
知识必备
几何图形性质（三角形、四边形等），动点问题中线段长度的代数表示，一元一次方程，一元二次方程（可能），勾股定理，相似三角形，分类讨论思想，时间取值范围，函数思想。
答题技法
掌握“化动为静”原则，画出不同时刻的图形。通常分三步：一设（设时间为t），二表（用t表示相关线段），三列（根据面积公式或全等条件列方程）。注意考虑动点运动范围，可能需要分情况讨论（如点在线段上或延长线上）。
母题精讲
【典例01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度．
(1)填空： ______， ______；
(2)求几秒后，，之间相距个单位长度；
(3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由．
变式应用
【变式01】（2025·黑龙江佳木斯·二模）几何综合题
如图，在四边形中，，，cm，cm，cm，点Q从点A出发以2cm/s的速度沿向点D运动，点P从点B同时出发以1cm/s的速度沿向点C运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．

(1)当t为何值时，以P，Q，B，D为顶点的四边形是平行四边形？
(2)是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于原四边形面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
母题精讲
【典例01】（2024·福建泉州·二模）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为．
(1)直接填空：的长为___________；
(2)当是等腰三角形时，求的值．
变式应用
【变式01】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当时，求的面积；
(2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
实●战●演●练
巩固提升
1．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____．
2．（2025·上海·模拟预测）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是______．
3．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________．
4．（2025·福建泉州·三模）（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
5．（2025·山东潍坊·三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)若两个实数根和满足，求的整数值．
6．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下：
(1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？
7．（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗）
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？
(2)若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？
8．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
(2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
9．（2025·湖南岳阳·一模）定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
(1)直接写出方程的衍生点的坐标为______；
(2)已知关于的方程．
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点的坐标；
10．（2025·重庆·模拟预测）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的．
(1)求两种羽毛球拍每副的进价；
(2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值．
11．（2025·吉林长春·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度．
12．（2025·安徽安庆·模拟预测）图案设计
活动1：在数学活动课上小明提出利用边长相等的等边三角形和正方形设计出一些图形如图①．
观察上面的图形，填写表格：
活动2：同学们观察小明的图形后，发现小明的设计有些参差不齐，于是他们动手设计图形，小芳利用等边三角形和正方形设计出自己称心的图形如图②．
小芳为了探究自己设计的图形中正方形和等边三角形个数的关系，也设计如下表格：
问题解决：根据以上活动完成下列问题：
(1)_____，_____（用含的代数式表示）；
(2)直接写出关于（为正整数）的函数关系式；
(3)若小明的某个图形比小芳的某个图形的等边三角形多23个，正方形的个数和为100个，求，的值．
冲刺突破
1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（ ）
A．7组B．21组C．28组D．42组
2．（2025·四川绵阳·一模）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8B．14C．18D．38
4．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________
5．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
6．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答．
①解方程：；
②解不等式组：．
（2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解．
7．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元
(1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率．
(2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？
8．近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍．
(1)求甲种光伏板的单价是多少？
(2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元?
9．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务．
(1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数；
(2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数．
10．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
11．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元．
(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
考向聚焦
技法01 解方程（组）与不等式（组）：主要考查基本解法及数形结合思想。通常以选择题、填空题形式出现，考查等式基本性质、解法步骤及不等式解集的数轴表示，一般不单独考查，常融合于应用题中。
技法02 与方程、不等式的解有关的问题：考查逆向思维与分类讨论思想。常见题型包括：已知分式方程有增根或无解求参数；已知方程组解满足的关系（如互为相反数）求参数；二元一次方程组整数解问题等。
技法03 与一元二次方程的根有关的问题：重点考查判别式（△）和韦达定理（根与系数关系）的深层应用。如：判断根的情况、求参数取值范围、求与根有关的代数式值（如两根平方和）、构造一元二次方程等。
技法04 用方程、不等式的知识解决营销问题：命题趋势贴近生活，考查模型观念与应用意识。常结合利润、折扣、进货范围等热点，通常为第一问列方程求价格，第二问列不等式（组）求进货方案或求最值。
技法05 用方程、不等式的知识解决几何图形问题：重点考查数形结合与几何直观。通常以三角形、长方形为背景，利用边长关系、周长面积公式建立方程，或通过动点形成特殊图形（如等腰三角形）求时间或线段长。
技法06 用方程、不等式的知识解决方案选择：命题强调应用意识与决策能力。常见类型包括“哪种购票方式更划算”、“选择哪家商场优惠”、“租车方案”等，通常需要列出两种方案的费用表达式进行比较。
技法07 用方程、不等式的知识解决行程问题：重点考查相遇、追及及水流问题。通常结合分式方程考查“提速前后时间差”问题，或结合不等式考查“速度至少为多少才能按时到达”，需要理解速度、时间、路程三量关系。
技法08 用方程、不等式的知识解决动点问题：这是代数与几何的综合压轴点，考查动态思维与分类讨论。通常在几何图形中，点在线段或折线上运动，设运动时间t，用含t代数式表示线段，求面积关系或特殊位置时t的值。
考查形式
方程与不等式是中考数学的主干知识，通常呈现“基础+应用+综合”的考查层次。基础题直接考查解法（技法01）和方程解的概念（技法02、03）；中档题以实际生活为背景（技法04、06、07），考查建模能力；压轴题则与几何结合（技法05、08），考查综合运用能力。命题趋势上，阅读量增大，与函数结合更紧密。
能力清单
运算求解能力：运算求解能力：准确解各类方程、不等式，特别是含参运算。
建模能力： 从实际问题中抽象出数学模型，找出等量或不等关系。
逻辑推理能力：涉及增根讨论、方案选择、分类讨论时的逻辑严密性。
几何直观与数形结合能力：将几何图形中的数量关系用代数式表示，或将代数问题转化为图形分析。
分数
0
1
2
3
4
5
人数
4
7
10
8
嘉嘉：两边同时除以，得，解得．
淇淇：移项，得．
因式分解，得．
于是得，或，
解得，．
文字说明
图示说明
素材1
如图，某校原有矩形停车场，含垂直和平行停车位，每个车位形状大小相同，停车场宽9米，停车场可容纳9辆小型客车．
素材2
学校计划新建一个矩形无围墙停车场（如图），该矩形停车场一边长33米，行车通道宽为米，现在向师生征集设计方案．
素材3
九（5）班数学学习小组拟定新方案，采用垂直和斜列停车位相结合的设计方案，方案的部分图示如图．
方案说明：①四边形为矩形，图中每个矩形停车位完全一致，且形状大小与原停车位相同；②四边形为平行四边形，，图中每个平行四边形停车位完全一致；③，．
任务1
请你计算出原停车场上的每个停车位的长和宽．
任务2
请你根据拟定的设计方案，分别计算出一排垂直停车位的数量和斜列停车位的数量．
任务3
据调查发现，每天进出停车场车辆至少62辆，学校要求斜列停车位排数比垂直停车位少一排，且每排间留行车通道，求该矩形停车场另一边至少多长才满足车辆停放？（结果保留一位小数，参考数据：，）
你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？
我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案：
①一次性累计购买个及以上九五折优惠
②一次性累计购买个及以上九折优惠
文化背景：白居易《忆江南》中写道“山寺月中寻桂子，郡亭枕上看潮头”
接待点A：西溪湿地
景点B：法镜寺（游山寺）
景点C：猪头角坝（观江潮）
从点A出发骑自行车匀速骑行至点B，B点游玩后乘坐大巴匀速行驶至点C，C点游玩后返回点A．
旅游路线：

设从接待点A出发后时间为，总路程为．y关于x的函数图象如右图所示．已知：大巴车速度是自行车速度的8倍．
行程函数图象：

（1）方案梳理
分别求出自行车骑行段的路程A→B和大巴车行驶段的路程B→C；
（2）回程规划
求b的值；
（3）行程思考
求本项方案中，游客在景点游玩的总时长．
起点
第签
第签
第签
第签
第签
第签
终点
电视塔
升平里
欧C工业园
悦城峯境
绿岛湖
智慧公园
青年公园
世纪莲
y
2
x
a
b
x（元/个）
…
52
53
54
55
…
y（个）
…
760
740
720
700
…
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
正方形个数
1
2
3
4
5
…
三角形个数
4
7
10
13
…
正方形个数
4
6
8
10
…
三角形个数
2
4
6
8
…