2026年广东中考数学二轮复习 热点03 方程、不等式与函数的实际应用(热点专练)(广东专用)

这是一份2026年广东中考数学二轮复习 热点03 方程、不等式与函数的实际应用(热点专练)(广东专用)，共43页。
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 解二元一次方程组
题型02 解分式方程
题型03 解不等式组
题型04 一元二次方程含参数问题
题型05 方程与不等式的综合问题
题型06 方程与一次函数的综合问题
题型07 方程与二次函数的综合问题
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 解二元一次方程组
例1（2025·广东佛山·三模）解方程组：．
【答案】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：，
①②，得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
例2（2025·广东汕头·三模）解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据，得，得出，进而求得，即可求解．
【详解】解：．
，得，
解得：，
将代入②，得，
解方程组的解为．
【变式1】（2024·广东·模拟预测）解方程组：
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．利用加减消元法，解方程组即可．
【详解】解：，
，得：，解得；
把代入①，得：，解得；
∴方程组的解为：．
【变式2】（2024·广东·模拟预测）解方程组：
【答案】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
由得，
解得，
将代入②得：，
解得，
方程组的解为．
题型02 解分式方程
例1（2025·广东清远·三模）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解并检验即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
例2（2024·广东·模拟预测）解方程：
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，同时必须检验所得解是否使原方程分母为零（即排除增根）．
先观察分母，发现，统一分母为；再确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母去分母，转化为整式方程；解整式方程后，将所得解代入最简公分母检验，若分母不为零则为原方程的解，反之则为增根．
【详解】解：原方程可化为，
方程两边同乘（），得，
去括号、整理得，
移项得，
合并同类项得，
检验：当时，，故是原方程的解．
∴原方程的解为．
【变式1】（2024·广东·模拟预测）解分式方程：
(1)；
(2)；
【答案】(1)方程无解
(2)
【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．注意验根．
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验，解分式方程即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验，解分式方程即可．
【详解】（1）解：，
．
方程两边同乘，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
的系数化为，得．
当时，．
∴是这个方程的增根．
∴这个分式方程无解．
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解为．
【变式2】（2025·广东·模拟预测）解分式方程：．
解：方程两边同乘以，得，……第一步
去括号，得，……第二步
移项､合并同类项，得，……第三步
方程两边同除以2，得，……第四步
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________；
②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________；
任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程．
【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析
【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
任务一：①利用等式的基本性质判断即可；
②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可；
任务二：写出分式方程的正确的解即可．
【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误；
故答案为：二，完全平方式展开错误；
任务二：，
，
，
，
，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
题型03 解不等式组
例1（2024·广东·模拟预测）解不等式组
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不了”的原则是解答本题的关键；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：，解得，
由②得：，解得，
∴不等式组的解集为．
例2（2024·广东·模拟预测）解不等式:
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
先求出两个不等式的解集，然后利用同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为 ．
【变式1】（2024·广东·模拟预测）解不等式组．
【答案】
【分析】先分别求出每个不等式的解集，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集；本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握“大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则”是解题的关键．
【详解】解∶
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【变式2】（2024·广东·模拟预测）解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组组的解法，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解答本题的关键．先解出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，即可作答．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集为．
题型04 一元二次方程含参数问题
例1（2024·广东·模拟预测）已知：关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
(2)若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】(1)详见解析
(2)5
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．
（1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）依题意有，则，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．
【详解】（1）证明： ，
∵，
∴，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：依题意有，则，
方程化为，
解得：，
∵等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，
∴的周长．
例2（2024·广东汕头·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系：
（1）用根的判别式即可得到取值范围；
（2）由根与系数的关系得到的值，代入求出的值，留下符合的数即可．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根和，
，
解得：．
（2）解：由根与系数的关系得：，
，
，
将代入得，
解得：或，
，
．
【变式1】（2025·广东惠州·一模）关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)且
(2)不存在，见解析
【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合，列出关于的方程．
（1）由二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；
（2）假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
（2）解：不存在，理由如下：
假设存在，设方程的两根分别为、，则，．
，
．
且，
不符合题意，舍去．
假设不成立，即不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
【变式2】（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若为该方程的两个实数根，且满足．
①求k的值；
②若菱形的一条对角线的长为，另一条对角线的长为，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①②3
【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
（2）利用根与系数的关系，求出的值，进而求出的长，根据菱形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴
，
∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：①∵，为该方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由①知：，
∴，，
∴菱形的面积为．
题型05 方程与不等式的综合问题
例1（2025·广东珠海·三模）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车、A款车每千米行驶费用a元，B款车每千米行驶费用比A款车多元．
(1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用；
(2)设：小明一家年平均行驶里程为x km，A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：元，请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案．
【答案】(1)纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元；
(2)当时，购买燃油车比较划算；当时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当时，购买纯电动汽车比较划算
【分析】（1）利用行驶路程总行驶费用每千米的行驶费用，结合两车在相同路段且行驶里程相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）利用年使用费用行驶费用其它费用，可用含x的代数式表示出纯电动汽车及燃油车的年使用费用，再分，及三种情况，求出x的取值范围或x的值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出纯电动汽车及燃油车的年使用费用
【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元；
（2）纯电动汽车的年使用费用为元，燃油车的年使用费用为元，
当时，，
当时，购买燃油车比较划算；
当时，，
当时，购买纯电动汽车和燃油车均可；
当时，，
当时，购买纯电动汽车比较划算．
答：当时，购买燃油车比较划算；当时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当时，购买纯电动汽车比较划算．
例2（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元．
(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
(2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？
【答案】(1)购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元
(2)至少买乙种快餐20份
【分析】（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元；
（2）解：设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份，
依题意得：，
解得：．
答：至少买乙种快餐20份．
【变式1】（2025·广东东莞·模拟预测）年月日是第个世界读书日，为鼓励同学们积极参加阅读活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品已知同类图书中每本书价格相同，购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元．
(1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？
(2)经过评选有名同学在活动中获奖，学校给每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过元，那么科技类图书最多能买多少本？
【答案】(1)科技类图书每本元，文学类图书每本元
(2)科技类图书最多能买本
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键．
（1）设科技类图书每本元，文学类图书每本元，根据购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元，列出二元一次方程组，即可解答．
（2）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，根据学校用于购买奖品的资金不超过元，列出一元一次不等式，即可解答．
【详解】（1）解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元，依题意得
，
解得
，
答：科技类图书每本元，文学类图书每本元.
（2）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，依题意得，，
整理得，
，
解得
．
所以满足条件的最大整数为．
答：科技类图书最多能买本．
【变式2】（2025·广东韶关·二模）习近平总书记指出：“植树造林是实现天蓝地绿、水净的重要途径，是最普惠的民生工程．”据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶 一年的平均滞尘量的倍少毫克．
(1)若一年滞尘毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘毫克所需的国槐树叶的片数相同，分别求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量．
(2)某公园打算种一批国槐树和银杏树共棵，据估计这批树中，一棵国槐树约有片树叶，一棵银杏树约有片树叶，如果想让这批树一年的滞尘总量至少为千克，那么最多种植多少棵国槐树？千克毫克
【答案】(1)一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22毫克和40毫克
(2)最多种植棵国槐树
【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，根据题意列出方程，解方程即可求解；
（2）设种植棵国槐树，则种植银杏树棵，根据题意列出一元一次不等式，求得最大正整数解，即可求解．
【详解】（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克．
由题意，得
解得：
经检验，是该分式方程的解，且符合题意
∴(毫克)
答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为毫克和毫克
（2）毫克千克，毫克千克
设种植棵国槐树，则种植银杏树棵
由题意，得
解得
∵为正整数，
∴最大取．
答：最多种植棵国槐树．
题型06 方程与一次函数的综合问题
例1（2025·广东汕头·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）．
(1)求出在售价为元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式；
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？
(3)商场能否实现平均每月15000元的销售利润？
【答案】(1)
(2)这种台灯的售价应定为50元
(3)商场不能实现平均每月15000元的销售利润
【分析】本题考查一次函数，一元二次方程在销售问题中的应用，解题关键是根据售价与销售量的关系建立函数及利润方程求解．
（1）根据售价上涨金额与销售量减少的关系，由原销售量列出并化简即可解答．
（2）依据“利润（售价进价）销售量”，代入售价、进价30，量，列出方程，解方程，据售价元的范围，舍去不合题意的解，确定售价．
（3）依“利润（售价进价） 销售量润”列方程，整理方程为，计算判别式，判定方程无解，得出不能实现的结论．
【详解】（1）解：设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）
∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，
∴这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少0个，列方程得
．
（2）解：依题意，得：
，
整理，得：．
解得：，（不合题意，舍去）．
答：这种台灯的售价应定为50元
（3）解：依题意，得：
，
整理，得：．
∵，
∴方程无解．
∴商场不能实现平均每月15000元的销售利润．
例2（2025·广东韶关·一模）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点，某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买、B两种型号直播设备，若购进10台A型设备和18台型设备需共用3000元；若购进20台A型设备和24台B型设备需共用4800元．
(1)求A、B型设备单价分别是多少元；
(2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为W元，求W与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
【答案】(1)型设备单价是元，型设备单价是元．
(2)，最少购买费用是元．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一次函数的应用．熟练掌握根据实际问题列方程组以及利用一次函数的性质解决最值问题是解题的关键．
（1）设型设备单价为元，型设备单价为元，根据“购进台型设备和台型设备需共用元；购进台型设备和台型设备需共用元”这两个等量关系，可列出二元一次方程组，进而求解和的值．
（2）已知购买型设备台，因为两种设备共买台，所以型设备买了台．根据总费用 型设备费用 型设备费用，可得到与的函数关系式．再根据型设备数量不少于型设备数量的一半这一条件，确定的取值范围，最后根据函数的性质求出最少购买费用．
【详解】（1）解：设型设备单价为元，型设备单价为元，由题意得
解得，
答：型设备单价是元，型设备单价是元．
（2）解：由购买型设备台得购买型设备台．
由型设备数量不少于型设备数量的一半，得
解得，
∵，
∴．
在中，，随的增大而增大．
∴当时，有最小值， （元）
综上，与的函数关系式为，最少购买费用是元．
【变式1】（2025·广东珠海·三模）广州增城是著名的荔枝之乡，优质荔枝品种有“挂绿”“桂味”“糯米糍”“仙进奉”等某荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗进行种植，已知每株挂绿荔枝苗的价格比每株糯米糍荔枝苗的价格贵元，且用元购买挂绿荔枝苗的株数与用元购买糯米糍荔枝苗的株数相同．
(1)求购买每株挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗的价格分别是多少元？
(2)该荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗共100株已知挂绿荔枝苗和糯米糍荔枝苗的成活率分别为和，若要使这批荔枝苗的成活率不低于，且购买荔枝苗的总费用最少，则应购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗各多少株？最少费用是多少元？
【答案】(1)每株挂绿荔枝苗的价格是32元，每株糯米糍荔枝苗的价格是12元．
(2)应购买挂绿荔枝苗40株，糯米糍荔枝苗60株，最少费用是2000元．
【分析】此题考查了分式方程、一次函数的应用，准确列出方程和一次函数是关键．
（1）设每株糯米糍荔枝苗的价格是a元，则每株挂绿荔枝苗的价格是元，用元购买挂绿荔枝苗的株数与用元购买糯米糍荔枝苗的株数相同．据此列方程并解方程检验即可；
（2）设购买这批荔枝苗的总费用为y元，购买挂绿荔枝苗x株，则购买糯米糍荔枝苗株．列出函数解析式并求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设每株糯米糍荔枝苗的价格是a元，则每株挂绿荔枝苗的价格是元，
根据题意，得，解得，
经检验，是所列分式方程的根，且符合题意．
（元）．
答：每株挂绿荔枝苗的价格是32元，每株糯米糍荔枝苗的价格是12元．
（2）设购买这批荔枝苗的总费用为y元，购买挂绿荔枝苗x株，则购买糯米糍荔枝苗株．
根据题意，得
．
，
随x的增大而增大．
根据题意，得，
解得，
当时，最小，最小，
（株），
答：应购买挂绿荔枝苗40株，糯米糍荔枝苗60株，最少费用是2000元．
【变式2】（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)．
(1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？
(2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？
【答案】(1)每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元
(2)共有3种租车方案，租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设租用大巴车x辆，则租用小客车辆，根据“需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆”列出一元一次不等式组，解不等式组，即可得到租车方案；写出所有设计方案，再求出每个方案的费用，然后比较即可．
【详解】（1）解：设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元，
由题意得，
解得．
答：每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元；
（2）解：设租用大巴车x辆，则租用小客车辆，
由题意得，
解得．
∵x为整数，
∴x为7或8或9，
∴有三种租车方案；
方案1：租用大巴车7辆，租用小客车13辆，费用为：（元）；
方案2：租用大巴车8辆，租用小客车12辆，费用为：（元）；
方案3：租用大巴车9辆，租用小客车11辆，费用为：（元）；
∵，
∴租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算．
【变式3】（2025·广东肇庆·二模）滚滚西江，浩浩荡荡至此．一座古老的村庄，一座饱经风雨的天主教堂，以及流传了多年的故事，让上清湾村充满了神秘色彩．为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造网红打卡点，推动乡村振兴，上清湾村计划打造特色旅游项目；现需要购买甲、乙两种树苗进行栽植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵元，且用元钱购买甲种树苗的株数与用元钱购买乙种树苗的株数刚好相等．
(1)求甲、乙两种树苗每株的价格；
(2)现上清湾村计划购买甲、乙两种树苗共株．调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为和，要使这批树苗的成活率不低于，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？
【答案】(1)甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元；
(2)购买甲种树苗株，乙种树苗株时费用最低，最低费用是元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程，不等式，函数关系式是解题的关键．
（）设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元，由题意得，然后解方程并检验即可；
（）设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗的费用为元，根据题意得，，然后解出不等式，再根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元，
由题意得，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
∴乙种树苗每株的价格为元，
答：甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元；
（2）解：设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗的费用为元，
由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最低，为（元），
答：购买甲种树苗株，乙种树苗株时费用最低，最低费用是元．
题型07 方程与二次函数的综合问题
例1（2025·广东清远·二模）今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个．
(1)求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率；
(2)今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？
【答案】(1)2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为；
(2)当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和二次函数解析式是解题的关键：
（1）设年平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可；
（2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，求最值即可．
【详解】（1）解：设年平均增长率为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为．
（2）当商品降价元时，则销量为件，每件利润为元．
设总利润为元，依题意，
得．
当时，有最大值．
答：当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
例2（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售．当每千克售价为元时，每天售出荔枝；当每千克售价为元时，每天售出荔枝，通过分析销售数据发现：每天销售荔枝的数量与每千克售价(元)满足一次函数关系，
(1)请直接写出与的函数关系式；
(2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)；
(2)每千克售价定为元时，利润可达到元；
(3)当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元．
【分析】（1）该函数经过点，，利用待定系数法求出与的函数关系式即可；
（2）设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大，根据利润销量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程求出荔枝的售价，把不符合题意的解舍去；
（3）设利润为，可以列出关于的函数解析式为，根据二次函数的图象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为，可知当时，所获得的利润最大，把代入函数解析式求出最大利润．
【详解】（1）解：根据题意可知，该函数经过点，，
设与的函数关系式为，
将代入，
得到：，
解得：，
与的函数关系式为；
（2）解：设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大，
根据题意可得：，
，
整理得：，
分解因式得：，
解得：，，
售价不低于成本价且不超过每千克元，
每千克售价定为元时，利润可达到元；
（3）解：设利润为，
，
函数开口向下，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，
此时，
当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元．
【变式1】（2024·广东·模拟预测）某网店以35元/件的进价购进一批纪念品，当售价为60元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件．
(1)求日销售量的平均增长率．
(2)由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售4件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)将旧款纪念品的售价定为每件52元时，每天可获得最大利润，最大利润是1156元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）设日销售量的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得；
（2）设旧款纪念品降价元，每天可获得的利润为元，建立关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设日销售量的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：日销售量的平均增长率为．
（2）解：设旧款纪念品降价元，每天可获得的利润为元，
由题意得：，
这个二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线，
则当时，取得最大值，最大值为1156，此时售价为（元），
答：将旧款纪念品的售价定为每件52元时，每天可获得最大利润，最大利润是1156元．
【变式2】（2025·广东江门·一模）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位．
(1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m；
(2)设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m
【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意列出正确的不等式是解题关键．
（1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长；
（2）根据（1）结果即可列出自行车车棚面积为关于车棚宽度AB为的一次函数，再求出自变量的取值范围即可；
（3）根据题意可得到不等式组，解不等式组，再结合实际需要进行解答即可．
【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，车棚面积为：，
由题意得到
解得，
∴
（3）解：不能，理由如下：
由（1）可得：
，
即
整理得到，
∴
即或
解得，
当时，
∴机动车停车位向外移动1m；
答：有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m

（20分钟限时练）
一、单选题
1．（2025·广东韶关·二模）不等式组的解集为（ ）
A．无解B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集．
本题考查了解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
故选：D．
2．（2025·广东中山·模拟预测）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键．
根据现在与原计划工作效率间的关系，可得出原计划平均每天生产台机器，利用工作时间、工作总量、工作效率的关系，结合现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天列出关于x的分式方程即可解答．
【详解】解：∵该工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，且现在平均每天生产x台机器，
∴原计划平均每天生产台机器．
根据题意得：．
故选：B．
3．（2025·广东韶关·三模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，且
解得：且
∴的取值范围是且，
故选：D．
二、填空题
4．（2026·广东中山·模拟预测）不等式组的最小整数解是___________．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求解两个不等式，找出解集的公共部分，然后确定最小整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解此题的关键．
【详解】解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∴不等式组的解集为，
∴最小整数解为，
故答案为：．
5．（2025·广东东莞·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，利用根与系数的关系，，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：根与系数的关系得，，
所以
故答案为：
6．（2025·广东惠州·二模）若关于的不等式组无解，则的取值范围为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式中对应不等式的解集，再根据大大小小找不到（无解）的口诀求解即可．
【详解】解：
解不等式②得：，
∵原不等式组无解，
∴，
故答案为：．
三、解答题
7．（2025·广东东莞·模拟预测）解不等式组：
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为：．
8．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下：
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
【答案】见解析
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验．
先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可．
【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立；
小李的解答过程不正确，正确解答如下：
，
，
解得：，
经检验，是增根，
∴原方程无解．
9．（2025·广东梅州·一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为，且为正数，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键：
（1）求出判别式的符号，进行判断即可；
（2）把代入方程，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）把代入，得：，
解得：或；
∵为正数，
∴．
10．（2025·广东茂名·三模）高州荔枝以品种多、品质优、口感佳和历史悠久而驰名中外．在销售挂绿荔枝过程中，每千克售价不低于40元且不高于80元，商家发现销售量y（千克）与每千克售价（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求关于的函数关系式．
(2)设该商家挂绿荔枝的销售额为（元），当每千克售价定为多少元时，销售额最大？最大销售额是多少？
【答案】(1)
(2)当每千克售价定为56元时，销售额最大，最大销售额为3920元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，二次函数的性质，理解题意，正确求得相关函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）销售额等于销售量乘以售价，据此即可列出销售额关于售价的函数关系式，即可解答．
【详解】（1）解：由题图可设，
且该函数图象经过点，
，
解得
关于的函数关系式为；
（2）解：由题意得，
,
当时，w有最大值，最大值为3920．
答：当每千克售价定为56元时，销售额最大，最大销售额为3920元．
11．（2025·广东佛山·三模）某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子销售．经过市场调研，、两种品牌粽子销售较好．已知种品牌粽子的单价比种品牌粽子的单价便宜2元，用480元购买种粽子的数量是用360元购买种粽子数量的2倍．
(1)求品牌粽子的单价为多少元？
(2)如果该超市将种品牌粽子的售价定为6元，种品牌粽子的售价定为10元．超市准备购进两种品牌的粽子共500个进行销售，总利润不低于1800元，问超市至多购进种品牌粽子多少个？
【答案】(1)4
(2)100
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用；
（1）设A品牌粽子的单价为x元，则B品牌粽子的单价为元，根据用480元购买A种粽子的数量是用360元购买B种粽子数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设超市购进A品牌粽子a个，则购进B品牌粽子个，根据总利润不低于1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设A品牌粽子的单价为x元，则B品牌粽子的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：A品牌粽子的单价为4元．
（2）解：由（1）可得，即B种粽子的单价为6元，
设超市购进A种品牌粽子a个，则购进B种品牌粽子个，
由题意得：，
解得，
答：超市至多购进A种品牌粽子100个．
12．（2025·广东深圳·模拟预测）某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y与x的关系式；
②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
【答案】(1)每台A型电脑的销售利润和B型电脑的销售利润分别为100元、150元
(2)①；②商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大
【分析】本题考查二元一次方程组的运用，一元一次不等式的应用和利用一次函数求最值问题，解题关键是根据题意，得出方程和函数关系式．
（1）设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，根据题意列出二元一次方程组并解方程组即可；
（2）①根据题意得出y关于x的函数，②根据题意列出一元一次不等式求解，确定x的取值范围，然后根据函数的增减性判断最大值情况．
【详解】（1）解：设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，
依题意得：，
解得：，
答：每台A型电脑的销售利润和B型电脑的销售利润分别为100元、150元；
（2）解：①根据题意得，即；
②根据题意得，
解得，
∵，，
∴y随x的增大而减小．
∵x为正整数，
∴当时，y取最大值，此时．
答：商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大．
13．（2025·广东珠海·三模）研学旅行作为“行走的课堂”，已经成为推动素质教育的重要抓手．近日学校组织学生参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，在不浪费粮食的前提下，供同学们任意选取．这两种食品每包质量均为g，营养成分表如下．
(1)若小芳同学要从这两种食品中摄入kJ热量和g蛋白质，她应选用A，B两种食品各多少包？
(2)若小明运动消耗大，他对蛋白质的摄入量应更多，他决定选用这两种食品共8包，同时要使每份午餐中的蛋白质含量不低于g，且热量最低，他应如何选用这两种食品？
【答案】(1)应选用A种食品2包，B种食品4包
(2)应选用6包A种食品，2包B种食品
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确理解题意即可；
（1）设应选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意得：，即可求解；
（2）设选用m包A种食品，则选用包B种食品，根据题意得：，
解得：，设摄入的总热量为w KJ，则，即可求解；
【详解】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：，
解得：，
答：应选用A种食品2包，B种食品4包；
（2）解：设选用m包A种食品，则选用包B种食品，
根据题意得：，
解得：，
设摄入的总热量为w KJ，
则，
，
随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，
此时，
答：应选用6包A种食品，2包B种食品．
14．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等．
(1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？
(2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？
【答案】(1)A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元
(2)W的最大值为10562.5元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组与二次函数关系式是解题的关键．
（1）设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，根据每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等，列出方程组，求解即可；
（2）根据利润=每份利润×销售量，列出w关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，
依题意得：
，
解得，
答：A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元．
（2）解：依题意：获得的利润
，
由于A类速食餐每份的利用率不低于，那么
，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴当时，W有最大值，最大值为10562.5，
答：W的最大值为10562.5元．
近三年：根据近几年广东中考试题，“方程、不等式与函数的实际应用”部分的考试方向是突出建模思想与综合应用。试题严格依据课标，高度关注运用函数、方程、不等式解决实际问题的能力，常结合生活情境（如行程、利润、方案设计）或广州本土文化背景设计应用题。在题型上，该板块分布较广：选择题和填空题常考查函数图象与方程、不等式的关联（如利用函数图象解不等式、一元二次方程根的判别式与函数交点问题）；解答题中，实际应用题几乎每年必考，常以一次函数、二次函数或反比例函数为载体，结合方程或不等式进行方案决策与最优化问题求解。此外，函数与几何综合题也常渗透方程思想。
预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在真实情境和跨学科背景下考查模型观念与应用意识。试题可能进一步创新设问方式，例如将函数与方程结合，设计多任务型探究题。考试题型预计保持稳定：选择题中仍会出现函数图象与方程、不等式的综合辨析；填空题可能涉及利用函数模型解决简单实际问题；解答题大概率继续考查函数的实际应用（如利润最值、方案设计），重在检验学生将实际问题抽象为函数、方程、不等式模型并综合运用解决的能力。
解｜题｜策｜略
1. 灵活选择消元法：根据方程组特征选择方法。若同一未知数系数相反或相等，优先用加减消元法；否则可用代入消元法，将方程变形代入求解。
2. 规范步骤求准确：按“消元—解一元一次方程—回代”流程操作，特别注意符号处理和系数化简。
3. 重视检验防增失：将解代回原方程组验证，确保满足每个方程，避免计算失误。
解｜题｜策｜略
1. 转化思想解方程：将分式方程转化为整式方程，去分母时确定最简公分母。若分母是多项式，先因式分解；分子是多项式要看作整体加括号。
2. 规范求解防漏乘：方程两边同乘最简公分母，注意不要漏乘常数项。去括号时若括号前是负号，括号内每一项都要变号。
3. 务必检验防增根：求出整式方程的解后，必须代入最简公分母检验。若最简公分母不为0，则是原方程的解；若为0，则是增根需舍去。
解｜题｜策｜略
1. 先分别求解：准确求出每个不等式的解集，特别注意系数化为负数时不等号方向要改变。
2. 借助数轴定解集：在数轴上表示各解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找”的口诀确定公共部分。
3. 规范表示结果：解集可用不等式形式或在数轴上表示，注意端点用实心点（含等号）或空心圈（不含等号）。
解｜题｜策｜略
1. 紧扣判别式定范围：根据方程根的情况（两个不等实根、相等实根、无实根），利用判别式Δ=b²-4ac建立不等式或等式，求出参数的取值范围。
2. 结合根与系数关系：运用韦达定理表示含参数的对称式（如x₁+x₂、x₁·x₂），再代入条件构造方程求解。
3. 注意分类讨论思想：当二次项系数含参数时，需先讨论系数是否为0（分一元一次方程和一元二次方程两种情况），再运用判别式求解。
解｜题｜策｜略
1. 审题建模抓关键：仔细阅读题目，抓住关键词（如“至少”、“不超过”、“不低于”等），找出隐含的等量关系和不等关系，设出未知数列出方程组和不等式组 。
2. 联立求解定范围：先解方程组求出未知数的表达式，再代入不等式确定参数的取值范围或求最值 。
3. 检验取舍保合理：求出解后，既要检验是否满足方程（组）和不等式（组），又要结合实际情境检验解的合理性（如人数应为整数、价格应为正数等）。
解｜题｜策｜略
1. 求交点建联系：联立方程（组）与一次函数解析式，求出交点坐标。交点坐标同时满足方程和函数关系，是解题的关键桥梁。
2. 利用图象解不等式：根据一次函数与方程（组）的交点，结合函数图象的位置关系（图象在上方则函数值大），确定不等式的解集。
3. 构建模型求最值：在动态问题中，先根据题意建立方程或函数关系，再利用一次函数的增减性（随自变量的变化趋势）求出最值或取值范围。
解｜题｜策｜略
1. 联立方程求交点：将一次函数或方程与二次函数解析式联立，通过解方程组求出交点坐标，这是数形结合的基础。
2. 利用判别式定范围：根据抛物线与直线交点个数，运用判别式Δ建立等式或不等式，确定参数取值范围。
3. 构建模型求最值：在动态问题中，先建立二次函数模型，再利用配方法或顶点坐标公式求出面积、距离等的最值。
第一步：，
第二步：，
第三步：，
第四步：．
第五步：检验：当时，．
第六步：原分式方程的解为．