2026年高考数学一轮复习专题训练 椭圆及其性质（2份，原卷版+解析版）

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知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
【解题方法总结】
（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为，距离的最小值为．
（2）椭圆的切线
①椭圆上一点处的切线方程是；
②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；
③椭圆 与直线 相切的条件是．
题型一：椭圆的定义与标准方程
【例1】已知椭圆E：（），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为，的面积为，则E的标准方程为 .
变式1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，，则的标准方程为 .
变式2．已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点（异于M、N），的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为 .
【解题方法总结】
（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.
②与椭圆共焦点的椭圆可设为.
③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.
题型二：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例2．如图，过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于A，B两点，则的内切圆面积可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式3．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式4．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
题型三：椭圆上两点距离的最值问题
例3．已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（ ）
A．64B．16C．8D．4
变式5．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式6．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．5D．6
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化.
题型四：椭圆上两线段的和差最值问题
例7．设实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
变式7．已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（ ）
A．3B．6
C．D．
变式8．已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解题方法总结】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
题型五：离心率的值及取值范围
例5．设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式9．已知椭圆C的左右焦点分别为，，P，Q为C上两点，，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
变式10．已知为坐标原点，是椭圆上一点，F为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解题方法总结】
求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
题型六：椭圆的简单几何性质问题
例6.已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为 ．
变式11．AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个动点，且，M是AB的中点，则的取值范围是 ．
变式12．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为 .

椭圆及其性质 随堂检测
1．已知离心率为的椭圆的方程为，则（ ）
A．2B．C．D．3
2．比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点，若平行光与桌面夹角为，球的半径为，则点到球与桌面切点距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，若，则P到x轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6.已知椭圆的左､右焦点分别为.若点关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆的左､右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，点是椭圆上位于第一象限内的点，且为坐标原点，则椭圆的离心率为 .
8．已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
9．已知椭圆，焦点，，．若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是 ．
10．已知，是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为 .
11．已知是椭圆的左，右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，设的内切圆圆心为，则的最大值为 .
12．直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面的切点F为一个焦点的椭圆.若椭圆的长轴为，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为 .
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长，短轴长
长轴长，短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆
的关系
切线方程
（为切点）
（为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积
①，（为短轴的端点）
②
③
焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径
左焦半径：
又焦半径：
上焦半径：
下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，，，
则弦长
（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）