2026年高考数学复习知识清单(全国通用)专题03外接、内切各类球培优归类(16题型)(学生版+解析)

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题型1 外接球模型：基础思维
1．（24-25高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直四棱柱的底面为矩形，，且该棱柱外接球的表面积为，为线段上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南开封·三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高三下·江西·阶段练习）已知球是正三棱锥的外接球，D是的中点，且，侧棱，则球O的表面积为（ ）
A．12B．8C．32D．48
题型2 外接球模型：对棱补形
1．（23=24高三·安徽阶段练习）如图所示，三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·全国·模拟预测）已知三棱锥的所有棱长都为2，且球为三棱锥的外接球，点是线段上靠近的四等分点，过点作平面截球得到的截面面积为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·辽宁本溪·期末）正六面体部分顶点连线，面的中心连线完美的勾勒出正四面体，正八面体，而正四面体的外接球恰好是正方体的外接球，立体几何中有好多类似的事实存在：若四面体，则该四面体外接球的体积为 ．

题型3 外接球模型：线面垂直型
1．（21-22高三·广西南宁·阶段练习）已知三棱锥中， 平面，，三棱锥外接球的表面积为，则球的体积为 ，异面直线，所成角的余弦值为 .
2．（2022·安徽·模拟预测）已知四棱锥的底面是矩形，其中，侧棱底面，E为的中点，若四棱锥的外接球表面积为，则直线与所成角的余弦值为 .
3．（24-25高三·广东佛山·阶段练习）已知四面体中，，，，平面PBC，则四面体的外接球表面积为 ．
4．（2020·河南·模拟预测）三棱锥中，平面，，为正三角形，，则三棱锥外接球表面积为 .
题型4 外接球模型：面面垂直型
1．（20-21高一下·福建·期中）在三棱锥中，.平面平面，若球O是三棱锥的外接球，则球O的表面积为（ ）.
A．B．C．D．
2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥中， 平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三下·福建宁德·阶段练习）如图，四边形为正方形，四边形为矩形，且平面与平面互相垂直.若多面体 的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·广东·阶段练习）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A．96πB．84πC．72πD．48π
题型5 特殊三角形双线定心型
1．（2023·江苏南通·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，底面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的最大体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（21-22高三上·山西太原·阶段练习）已知三棱锥中，，，的中点为E，DE的中点恰好为点A在平面BCD上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为（ ）
A．B．C．D．
4．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知直三棱柱中，，是边长为的正三角形，点是的中心，则三棱锥外接球球面与侧面的交线所对圆心角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
题型6 二面角型外接球
1．（21-22高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知三棱锥为中点，为直二面角，且为二面角的平面角，三棱锥的外接球表面积为，则平面被球截得的截面面积及直线与平面所成角的正切值分别为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·山西临汾·二模）在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，（ ）
A．B．3C．D．
4．（22-23高三上·全国·专题练习）四棱锥P﹣ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是矩形，二面角P﹣AB﹣C是直二面角，，若四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积是20π，则PA，BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
题型7 动点翻折型外接球
1．（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江西·模拟预测）已知矩形中，，，取线段，的中点，，连接，以线段为折痕进行翻折，使得，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·四川·三模）如图，在梯形ABCD中，，，，将△ACD沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为，则（ ）
A．8B．4C．D．2
题型8 特殊几何体：四棱锥型
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（ ）
A．0B．C．D．
2．（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·四川·模拟预测）体积为8的四棱锥的底面是边长为的正方形，四棱锥的外接球球心到底面的距离为1，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）在正四棱锥中，，，点为四棱锥外接球球面上一点，且点，不在平面的同一侧，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．12B．C．D．36
题型9 特殊几何体：圆锥型
1．（22-23高三上·陕西西安·阶段练习）已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（ ）
A．8B．C．D．2
2．（22-23高三上·广东东莞·期末）圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A．B．C．D．
3．（2024河南洛阳·模拟）设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为，则该圆锥的体积为
A．B．C．D．
4．（24-25高三·广东清远·期末）如图，底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的外接球表面积为 .

题型10 特殊几何体：棱台型
1．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 .
4．（22-23高三上·浙江绍兴·期末）如图，正四棱台，上下底面分别是边长为4，6的正方形，若，则该棱台外接球表面积的取值范围是 ．
题型11 特殊几何体：圆台型
1．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．2B．C．D．3
2．（2024·安徽·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆台上、下底面半径分别为1和2，母线与底面所成角为，则圆台的外接球体积与圆台体积之比为 .

题型12 特殊几何体：不规则型
1．（2023·天津·一模）如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知，则该组合体的体积等于（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高一下·新疆伊犁·期末）在六面体中，已知四边形与都是矩形，平面平面，它们之间的距离为1，，，，，若六面体有外接球，则该六面体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列错误的是（ ）
A．该正八面体结构的外接球表面积为
B．该正八面体结构的内切球表面积为
C．该正八面体结构的表面积为
D．该正八面体结构的体积为
4．（2023·陕西西安·模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，现给出下列四个命题：①二面角的余弦值为；②该截角四面体的体积为；③该截角四面体的外接球表面积为 ④该截角四面体的表面积为，则其中正确命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
题型13 内切球
1．（24-25高三·福建福州·阶段练习）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（ ）
A．B．9C．D．
2．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三·福建龙岩·阶段练习）已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（ ）

B．C．D．
题型14 棱切球
1．（2023·广东肇庆·二模）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江宁波·模拟）点是棱长为的正方体的棱切球上的一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（_____）
A．B．
C．D．
3．（2024·浙江金华·模拟预测）称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球.已知四面体存在棱切球，且，则该四面体的体积为 ，棱切球的半径为 .
4．（23-24高三·黑龙江·阶段练习）点M是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱切球（切于正方体各条棱的球）上的一点，点N是△ACD1的外接圆上一点，则线段MN长度的取值范围是 .
题型15 外接球、内切球与棱切球综合
1．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·吉林·模拟预测）设正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知空间四边形，，，且，，面ABC与面夹角正弦值为1，则空间四边形外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三·吉林·阶段练习）已知正四面体的棱切球（正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球的半径为 ；若动点分别在与的球面上运动，且满足，则的最大值为 ．
5．（22-23高二下·河南·阶段练习）已知棱长均为的多面体由上､下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则 ．

题型16 球:最值范围型
1．（2024·安徽安庆·三模）如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ）
A．这两个球体的半径之和的最大值为
B．这两个球体的半径之和的最大值为
C．这两个球体的表面积之和的最大值为
D．这两个球体的表面积之和的最大值为
2．（2025·河北秦皇岛·三模）已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三·福建厦门·阶段练习）已知正方体的棱长为1，球与正方体的各面均相切，为球上一点，，分别为，上的点，则的最小值为 .
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
特殊形式对应正方体，正方体棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝eq \f(x2＋y2＋z2,8)(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
线面垂直型：
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）
线面垂直型满足条件：
线面垂直；
面可以是任何多边形，多边形外接圆半径，都可以借助多边形上任意三定点所构成的三角形，借助正弦定理来计算（等腰或者等比可以用特殊法计算）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
面面垂直型基本图形
1.面面垂直型基础模图：

面面垂直型基础空间位置关系
垂面型，隐藏很深的线面垂直型，
一般情况下，俩面是特殊三角形。
解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为：
1、寻找一个或两个面的外接圆圆心
2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心；
3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积.
如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法
包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）

等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
（2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
二面角型，多采用 两个外心垂线交线定球心法
(1) 选定一个面，定外接圆的圆心O1
(2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O2；
(3) 分别过O1作该底面的垂线，过O2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O.
锥体求外接球
（1）：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
(2)：算出小圆的半径，算出棱锥的高（即圆锥的高）；
(3)：勾股定理：，解出
类比正棱锥，可以得带圆锥型外接球。
圆锥外接球模型
圆锥求外接球，借助轴截面的对应等腰三角形可求解
正棱台外接球，以棱轴截面为主。
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主

圆台外接圆模型
圆台外接球，即轴截面题型外接圆

椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解
三角形内切圆
类比：三棱锥