2026年高考数学复习知识清单(全国通用)专题03向量线性运算与性质培优归类(12题型)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学复习知识清单(全国通用)专题03向量线性运算与性质培优归类(12题型)(原卷版+解析)，共6页。

题型1 向量夹角：坐标型
1．（24-25高三·上海·阶段练习）函数的图象（随着的增大）（ ）
A．先上升后下降B．先下降后上升
C．先上升后下降再上升D．先下降后上升再下降
2．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知向量，，则（ ）
A．30°B．150°C．60°D．120°
3．（2024·陕西·模拟预测）若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为
A．B．C．D．
题型2 向量夹角：模与数量积型
1．（21-22高一下·全国·单元测试）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·吉林松原·期末）设向量的夹角为，定义：.若平面内互不相等的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
3．（21-22高三 ·河南南阳·阶段练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·四川广安·模拟预测）已知，，，，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．

题型3 线性运算：“中点型”
1．（25-26高二上·浙江·开学考试）在中，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）如图，在梯形中，点在线段上，．若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（24-25高三·海南·阶段练习）如图，在中，是的中点，点满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三·湖北孝感·期末）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（ ）

A．1B．C．D．5
题型4 线性运算：“定比分点型”
1．（23-24高三·广东广州·模拟）如图，在中，，点是的中点.设，，则为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三·山西临汾·模拟）如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三·四川成都·模拟）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三·河南郑州·阶段练习）如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 线性运算：内线交点型
1．（24-25高三·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，设，则（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高一下·四川广安·期中）如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三广东惠州·阶段练习）如图，在中，点D是的中点，点E在边上，且满足，交于点F，设，则（ ）
A．B．C．D．1
4．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）如图，点D、E分别在的边BC、AC上.且，，BE与AD交于点M，若，则（ ）
A．B．
C．D．

题型6 线性运算：面积比值型
1．（21-22高三上·河南平顶山·阶段练习）已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A．B．
C．2D．3
2．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．
3．（22-23高一下·安徽六安·阶段练习）所在平面上一点，满足且，若的面积为4，则的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．16
4．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（ ）
A．5:6B．1:4C．2:3D．1:2
题型7 线性运算：勾股弦图型
1．（24-25高三·江西赣州·阶段练习）勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，某同学绘制的赵爽弦图，在正方形和中，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影数量为
2．（2025高三·全国·专题练习）赵爽是我国古代数学家，大约在222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出（ ）
A．B．C．0D．
2．（21-22高一上·青海海南·期末）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，则，则（ ）．

A．B．C．D．
题型8 投影向量
1、．（2022·上海金山·一模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
2．（24-25高三·河南信阳·阶段练习）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·安徽·模拟预测）向量与在上的投影向量均为，，当最大时，则（ ）
A．B．6C．12D．16
4．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（ ）
A．8B．5C．D．

题型9 基底几何意义
1.（2010高三·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量， ，若且，则点所有可能的位置所构成的区域面积是 ．
2．（23-24高三·上海·阶段练习）如图，点P是线段OB及AB的延长线、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则x的取值范围是 ．

3.（20-21高一上·江西宜春·期末）如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（ ）
①当时，
②当P是线段的中点时，，
③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
④的最大值为
A．1B．2C．3D．4
4.（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是
A．B．C．D．
题型10 模最值型
1．（2025高三·全国·专题练习）已知是的重心，，那么 ；若，，则的最小值是 .
2．（24-25高三·四川成都·专题练习）已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为 ．
3．（24-25高三·河北·阶段练习）已知平面直角坐标系中两点关于轴对称，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 ．
4．（2025高三全国·专题练习）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是 .
题型11 数量积型范围最值
1．（24-25高一下·上海宝山·期末）如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为 .
2．（24-25高三上海·阶段练习）在中，是所在平面内任意一点，则的最小值是 ．
3．（24-25高一下·北京·期中）梯形中，已
（1）
（2）若点分别是边上的动点，则的最大值是 .
4．（24-25高三·山东青岛·阶段练习）已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是 .

题型12 范围最值型：向量建系法
1．（24-25高三·山西临汾·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则 ；的外接圆的圆心是，则的最大值为 ．
2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，是边的两个三等分点，分别交于分别交于、，则 ．（注：）

2．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，若对于任意的向量，均有的最小值为，则的取值范围是 ．
3．（24-25高一下·四川·期中）在平面四边形中，，，则的取值范围为 ．
结束
求平面向量夹角的方法（坐标型）：
坐标法：若非零向量、，则.
求平面向量夹角的方法模长型）：
定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
“中点”型，也是“特殊定比分点型”，是向量线性运算基础：
若D点在BC线段上，且满足,则有
线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得.
重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点，
则.
证明：，则，
则.
向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.
变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：.
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
．

a在b方向上的投影向量为：

向量求模运算公式：
1.|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
2.
平面向量数量积公式有两种形式：
a⋅b=abcsθ。
a⋅b=x1x2+y1y2。
主要应用以下几个方面:
（1）求向量的夹角， csθ=a·ba·b （此时a·b往往用坐标形式求解）；
（2）求投影，a 在b 上的投影是a⋅bb；
（3）a,b向量垂直，则a⋅b=0;(4)求向量ma+nb 的模（平方后需求a⋅b）.