2025年高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-讲义【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-讲义【含答案】，共9页。


1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是__________．
当______时，a与b垂直，记作a⊥b；
当______时，a与b共线且同向；
当______时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
规定：0·a＝__．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b____，A1B1叫做向量a在向量b上的________，记为____________________．
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cs θbb＝a·bbb2.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝__________________．
(2)模：|a|＝a·a＝__．
(3)夹角：cs θ＝a·bab＝__．
(4)a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔______________________．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔x1x2+y1y2≤x12+y12·x22+y22.
6．平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(3)a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的取值范围是0，π2．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数．( )
(3)若a·b＝a·c，则b＝c．( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为( )
A．6365 B．65 C．135 D．13
2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________.
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则AB·AC＝________．
考点一 平面向量数量积的运算
[典例1] (1)(2024·吉林四平模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为π6，则(a＋b)·(2a－b)＝( )
A．6 B．8 C．10 D．14
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________，DE·DC的最大值为________．
[四字解题]
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
[跟进训练]
1．(1)已知△ABC是边长为1的正三角形，BD＝2DC，AB+AC＝2AE，则AE·AD＝( )
A．34 B．32 C．38 D．1
(2)(2024·山东济南模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，则a·b＝________，a在b上的投影向量是________．
考点二 平面向量数量积的应用
求向量的模
[典例2] (2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
[听课记录]



向量的夹角问题
[典例3] (1)若e1，e2是夹角为π3的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为( )
A．π6 B．π3
C．2π3 D．5π6
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
向量的垂直问题
[典例4] (2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
[听课记录]



1．求平面向量模的方法
(1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝x2+y2.
(2)利用|a|＝a2.
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cs θ＝a·bab，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cs θ＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22.
(3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中．
[跟进训练]
2．(多选)(2024·烟台模拟)已知点A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，则下列说法正确的是( )
A．|AB|＝5
B．若AB⊥BC，则m＝－2
C．若AB∥BC，则m＝－12
D．若BA，BC的夹角为锐角，则m<2且m≠－12
考点三 平面向量的应用
[典例5] (多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝F2，F1与F2的夹角为θ.给出以下结论，其中正确的是( )
A．θ越大越费力，θ越小越省力
B．θ的取值范围为[0，π]
C．当θ＝π2时，|F1|＝|G|
D．当θ＝2π3时，|F1|＝|G|
[听课记录]


用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
[跟进训练]
3．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cs θ等于( )
A．－215 B．－25
C．－35 D．－45
参考答案
梳理·必备知识
1．[0，π] θ＝π2 θ＝0 θ＝π
2．|a||b|cs θ 0
3．投影 投影向量 |a|cs θ e
5．(1)x1x2＋y1y2 (2)x12+y12
(3)x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22 (4)x1x2＋y1y2＝0
激活·基本技能
一、(1)× (2)√ (3)× (4)×
二、1．A [|a|＝32+42＝5，|b|＝52+122＝13，
a·b＝3×5＋4×12＝63.
设a与b的夹角为θ，则cs θ＝635×13＝6365.]
2．－34e [向量b在向量a上的投影向量为a·bae＝－34e.]
3.23 [a·b＝|a||b|cs 60°＝1，|a＋2b|＝a2+4b2+4a·b＝4+4+4＝23.]
4.8 [取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，AM＝12AB，所以AB·AC＝|AB||AC|·cs∠BAC＝|AB||AM|＝12|AB|2＝8.]
考点一
典例1 (1)B (2)1 1 [(1)由|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为π6，所以(a＋b)·(2a－b)＝2a2＋a·b－b2＝2|a|2＋|a|·|b|csπ6－|b|2＝2×22＋2×3×32－32＝8．故选B.
(2)法一(投影法)：设向量DE，DA的夹角为θ，则DE·CB＝DE·DA＝|DE|·|DA|cs θ，由图可知，|DE|cs θ＝|DA|，所以原式等于|DA|2＝1．要使DE·DC最大，只要使向量DE在向量DC上的投影向量的长度达到最大即可，因为DE在向量DC上的投影向量的长度最大为|DC|＝1，所以(DE·DC)max＝|DC|2＝1.
法二(基向量法)：因为DE＝DA＋AE且DA⊥AE，所以DE·CB＝(DA＋AE)·DA＝|DA|2＝1，DE·DC＝(DA＋AE)·AB＝AB·AE＝|AB||AE|＝|AE|，所以要使DE·DC最大，只要|AE|最大即可，显然随着E点在AB边上移动，|AE|max＝1，故(DE·DC)max＝1.
法三(坐标法)：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以DE＝(x，1)，CB＝(0，1)，可得DE·CB＝1．因为DC＝(1，0)，所以DE·DC＝x，因为0≤x≤1，所以(DE·DC)max＝1.]
跟进训练
1．(1)A (2)－2 −12，12 [(1)由AB＋AC＝2AE，可知E为BC中点，
所以AE⊥BC，AE＝32.
AD在向量AE上的投影向量为AE，
所以AE·AD＝|AE|2＝34.
(2)∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)，
∴a·b＝1×2＋2×(－2)＝－2，
∵|a|＝12+22＝5，|b|＝22+(−2)2＝22，设向量a，b的夹角为θ，∴cs θ＝a·b|a|·|b|＝−25×22＝－1010，则a在b上的投影向量是|a|·cs θ·bb＝5×−1010×122(2，－2)＝−12，12.]
考点二
考向1 典例2 3 [由|a－b|＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2－2a·b＝0，所以a2－(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝3.]
考向2 典例3 (1)C (2)−∞，−92∪−92，3 [(1)由题意可得e1·e2＝1×1×cs π3＝12，
故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e12＋e1·e2＋2e22＝－6＋12＋2＝－72，|a|＝(2e1+e2)2＝4e12+4e1·e2+e22＝7，|b|＝(−3e1+2e2)2＝9e12−12e1·e2+4e22＝7，
故cs〈a，b〉＝a·b|a||b|＝−727×7＝－12，
由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝2π3.
(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，
所以4k－6－6<0，所以k<3．若2a－3b与c反向共线，则2k−32＝－6，解得k＝－92，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是－∞，－92∪－92，3.]
考向3 典例4 D [因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．故选D.]
跟进训练
2．AC [因为A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，
所以AB＝(2，－1)，BC＝(1，m)(m∈R)，
选项A：|AB|＝22+(−1)2＝5，故A正确；
选项B：因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0，所以2－m＝0，即m＝2，所以B错误；
选项C：因为AB∥BC，所以2×m＝(－1)×1，所以m＝－12，所以C正确；
选项D：因为BA，BC的夹角为锐角，且BA＝(－2，1)，
所以BA·BC=−2+m>0，1−2≠m1，解得m>2，所以D错误.故选AC.]
考点三
典例5 AD [对于A，由G＝－(F1＋F2)，所以|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cs θ＝2|F1|2(1＋cs θ)，解得|F1|2＝G|22(1+csθ).由题意知θ∈(0，π)时，y＝cs θ单调递减，所以|F1|2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力，A正确；对于B，由题意知，θ的取值范围是(0，π)，故B错误；对于C，当θ＝π2时，|F1|2＝G|22，所以|F1|＝22|G|，故C错误；对于D，当θ＝2π3时，|F1|2＝|G|2，所以|F1|＝|G|，故D正确.故选AD.]
跟进训练
3．B [由题意知(v1＋v2)·v2＝0，有|v1||v2|·cs θ＋v22＝0，即10×4cs θ＋42＝0，所以cs θ＝－25.]
读
想
算
思
正方形ABCD且E是AB边上的动点； 求DE·CB，DE·DC的最大值
数量积的求解方法
投影法
数量积的几何意义
数形结合
基向量法
数量积的运算
三角形法则
坐标法
建系，求相关点的坐标，建立函数
几何问题代数化，函数思想