2026届高三高考总复习讲义 数学（人教B版）第八章 平面解析几何 第2节 两直线的位置关系 含解析

这是一份2026届高三高考总复习讲义 数学（人教B版）第八章 平面解析几何 第2节 两直线的位置关系 含解析，共18页。学案主要包含了知识梳理，诊断自测等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.两条直线的位置关系
直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:
2.直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=x2+y2.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=Ax0+By0+CA2+B2.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地,两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d=|C1-C2|A2+B2.
[常用结论与微点提醒]
1.四种常用对称关系
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y),点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
(3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线 y=b的对称点为(x,2b-y).
(4)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).
2.若直线l1∥l2,则k1=k2或者k1,k2都不存在;若直线l1⊥l2,则k1k2=-1或者k1,k2一个为0,一个不存在.
3.应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中的直线的方程必须是一般式.特别地,在两平行线的距离公式中,两直线方程的一般式中x,y的系数必须对应相等.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)两直线l1,l2有可能重合.
(2)当l1⊥l2时,若l1的斜率k1=0,则l2的斜率不存在,不满足题意.
2.(人教A选修一P102T1(3)改编)与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为( )
A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0
C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0
答案 B
解析 直线3x-4y+5=0的斜率是34,
与x轴交点为-53,0,
因此它关于x轴对称的直线方程是
y=-34x+53,即3x+4y+5=0.
3.(苏教选修一P27T2改编)以点A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.无法判断
答案 B
解析 由A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)可得
kAB=-1-12+1=-23,
kBC=4+11-2=-5,
kAC=4-11+1=32,
从而kAB·kAC=-1,
即AB⊥AC,∠A为直角.
4.(人教B选修一P100T2改编)已知点B(m,6)到直线y=3x+6的距离为3,则实数m的值为 .
答案 ±10
解析 直线化为3x-y+6=0,
d=|3m-6+6|32+(-1)2=3,
解得m=±10.
考点一 两直线的平行与垂直
例1 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
(1)试判断l1与l2是否平行;
(2)当l1⊥l2时,求a的值.
解 (1)法一 由A1B2-A2B1=0,
得a(a-1)-1×2=0,
由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0,
所以l1∥l2⇔a(a-1)-1×2=0,a(a2-1)-1×6≠0
⇒a2-a-2=0,a(a2-1)≠6,可得a=-1,
故当a=-1时,l1∥l2;a≠-1时,l1与l2不平行.
法二 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;
当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,
l1不平行于l2;
当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:
y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),
l1∥l2⇔-a2=11-a,-3≠-(a+1),
解得a=-1,
综上,当a=-1时,l1∥l2;a≠-1时,l1与l2不平行.
(2)法一 由A1A2+B1B2=0,
得a+2(a-1)=0,可得a=23.
法二 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,
l1与l2不垂直,故a=1不成立;
当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,
l1不垂直于l2,故a=0不成立;
当a≠1且a≠0时,l1:y=-a2x-3,
l2:y=11-ax-(a+1),
由-a2·11-a=-1,得a=23.
思维建模 1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
训练1 (1)设λ∈R,则“λ=1”是“直线3x+(λ-1)y=1与直线λx+(1-λ)y=2平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 A
解析 若直线3x+(λ-1)y=1与直线λx+(1-λ)y=2平行,则3(1-λ)-λ(λ-1)=0,
解得λ=1或λ=-3,
经检验,λ=1或λ=-3时两直线平行,
故“λ=1”是“直线3x+(λ-1)y=1与直线λx+(1-λ)y=2平行”的充分不必要条件.
(2)(2025·宁波质检)若a,b为正实数,直线2x+(2a-4)y+1=0与直线2bx+y-2=0互相垂直,则ab的最大值为 .
答案 12
解析 由两直线垂直得4b+2a-4=0,
即2=a+2b≥22ab,ab≤12,
当且仅当a=1,b=12时,等号成立,
故ab的最大值为12.
考点二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)经过两直线l1:2x-y+3=0与l2:x+2y-1=0的交点,且平行于直线3x+2y+7=0的直线方程是( )
A.2x-3y+5=0B.2x+3y-1=0
C.3x+2y-2=0D.3x+2y+1=0
答案 D
解析 法一 由2x-y+3=0,x+2y-1=0,解得x=-1,y=1,
所以直线l1与l2的交点为(-1,1),
设与直线3x+2y+7=0平行的直线为3x+2y+m=0(m≠7),
所以3×(-1)+2×1+m=0,解得m=1,
所以所求直线方程为3x+2y+1=0.
法二 设所求直线方程为2x-y+3+λ(x+2y-1)=0,
即(λ+2)x+(2λ-1)y+3-λ=0,
又该直线与3x+2y+7=0平行,
故(λ+2)·2-3·(2λ-1)=0,解得λ=74,
故所求直线方程为74+2x+72-1y+3-74=0,即3x+2y+1=0.
(2)(2025·九省联考)已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足QP=(1,-3),记P的轨迹为E,则( )
A.E是一个半径为5的圆
B.E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为5
D.E是两条平行直线
答案 C
解析 设Q(-1-2a,a)(a∈R),P(x,y),
故QP=(x+1+2a,y-a)=(1,-3),
所以x+1+2a=1,y-a=-3,整理得x=-2a,y=a-3,
消去a可得x+2y+6=0,
所以轨迹E的方程为x+2y+6=0,
易知E为一条与直线l平行的直线,所以A,B,D错误.
直线x+2y+6=0与直线x+2y+1=0的距离d=|6-1|12+22=5,
因此E上的点到l的距离均为5,故C正确.
思维建模 1.求过两直线交点的直线方程的方法:①先求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程;②利用直线系方程求解.
2.利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.
训练2 (1)(2020·全国Ⅲ卷)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1B.2
C.3D.2
答案 B
解析 设点A(0,-1),直线l:y=k(x+1),
由l恒过定点B(-1,0),
当AB⊥l时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,最大值为2.
(2)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为21313,则c的值是 .
答案 2或-6
解析 由题意得36=-2a≠-1c,
∴a=-4,c≠-2,
则6x+ay+c=0可化为3x-2y+c2=0.
由两平行线间的距离公式得c2+113=21313,
即c2+1=2,解得c=2或c=-6.
直线系方程
1.所谓直线系方程,是指满足某种特征的直线方程的全体.在求与已知直线平行或垂直的直线方程,或过两已知直线交点的直线方程时,利用相应的直线系方程能简化解题过程,提高解题效率.
2.直线系方程的设法
(1)过点(x0,y0)的直线系方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0(其中A,B不全为零);
(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(C≠C0);
(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx-Ay+C0=0;
(4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.
(这个直线系不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0,解题时注意检验l2是否满足题意)
典例 (1)过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为 .
答案 2x+3y+10=0
解析 设所求直线方程为2x+3y+c=0(c≠5),
由题意知2×1+3×(-4)+c=0,解得c=10,
故所求直线方程为2x+3y+10=0.
(2)经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程为 .
答案 x-2y=0
解析 因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+c=0.
又直线过点A(2,1),
所以有2-2×1+c=0,解得c=0,
故所求直线方程为x-2y=0.
(3)已知两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点为P,过点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为 .
答案 4x+3y-6=0
解析 设所求直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,
即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.
因为直线l与l3垂直,
所以3(1+λ)-4(λ-2)=0,所以λ=11,
所以直线l的方程为4x+3y-6=0.
考点三 对称问题
角度1 关于点对称
例3 (1)(2025·宁德质检)直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线方程是 .
答案 x-2y+11=0
解析 设所求直线上任意一点的坐标为(x,y),则其关于M(-2,1)的对称点(-4-x,2-y)在已知直线上,
∴所求直线方程为(-4-x)-2(2-y)-3=0,
即x-2y+11=0.
(2)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为 .
答案 x+4y-4=0
解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a).
由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,
代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,
解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,
所以直线l的方程为x+4y-4=0.
角度2 关于线对称
例4 (1)(2025·大庆模拟)直线y=33x关于直线x=1的对称直线为l,则直线l的方程是( )
A.3x+y-2=0B.3x+y+2=0
C.x+3y-2=0D.x+3y+2=0
答案 C
解析 直线y=33x与直线x=1交于点A1,33,
所以直线l的斜率为-33且过点A1,33,
所以直线l的方程为y-33=-33(x-1),
即x+3y-2=0.
(2)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为 .
答案 6x-y-6=0
解析 设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',
所以b-4a-(-3)·1=-1,-3+a2-b+42+3=0,解得a=1,b=0.
又反射光线经过点N(2,6),
所以所求直线的方程为y-06-0=x-12-1,
即6x-y-6=0.
思维建模 对称问题的类型和处理方法
(1)点关于点对称
利用中点坐标公式找关系求解.
(2)直线关于点对称
①在已知直线上任取两点,利用点关于点对称,求出对称点坐标,利用两点式求出直线方程;
②在已知直线上任取一点,求其对称点,利用关于一点对称的两条直线平行,求出直线方程.
(3)直线关于直线对称
①若直线与对称轴平行,则可在直线上任取一点,求出该点关于对称轴的对称点,然后用点斜式求出直线方程.
②若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后取直线上除交点外一点,求该点关于对称轴的对称点,最后利用两点式求出直线方程.
训练3 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;
(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程;
(3)直线l关于点A对称的直线l'的方程.
解 (1)设A'(x,y),则y+2x+1×23=-1,2×x-12-3×y-22+1=0,
解得x=-3313,y=413,即A'-3313,413.
(2)在直线m上取一点,如M(2,0),
则M(2,0)关于直线l的对称点必在m'上.
设对称点为M'(a,b),
则2×a+22-3×b+02+1=0,b-0a-2×23=-1,
解得a=613,b=3013,即M'613,3013.
设m与l的交点为N,则由2x-3y+1=0,3x-2y-6=0,
得N(4,3).又m'经过点N(4,3),
∴由两点式得直线m'的方程为
9x-46y+102=0.
(3)法一 在l:2x-3y+1=0上任取两点,
如P(1,1),N(4,3),
则P,N关于点A的对称点P',N'均在直线l'上.
易知P'(-3,-5),N'(-6,-7),
由两点式可得l'的方程为2x-3y-9=0.
法二 设Q(x,y)为l'上任意一点,
则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为
Q'(-2-x,-4-y).
∵Q'在直线l上,
∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,
即直线l'的方程为2x-3y-9=0.
一、单选题
1.两条直线l1:x=2和l2:3x+2y-12=0的交点坐标是( )
A.(2,3)B.(-2,3)
C.(3,-2)D.(-3,2)
答案 A
解析 联立x=2,3x+2y-12=0,得x=2,y=3,
所以两条直线的交点坐标为(2,3).
2.(2025·兰州模拟)若直线l1:x-2y+1=0与直线l2:x+ay-1=0平行,则l1与l2间的距离为( )
A.55B.255
C.15D.25
答案 B
解析 易知直线l1的斜率为12,
则直线l2的斜率为-1a=12,即a=-2,
故直线l2:x-2y-1=0,
所以l1和l2间的距离为|-1-1|12+(-2)2=255.
3.若直线a,b的斜率分别为方程x2-4x-1=0的两个根,则a与b的位置关系为( )
A.互相平行B.互相重合
C.互相垂直D.无法确定
答案 C
解析 由根与系数的关系得ka·kb=-1,
则a与b互相垂直.
4.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于( )
A.2B.2-2
C.2-1D.2+1
答案 C
解析 依题意得a-2+3|1+1=1,
解得a=-1+2(a=-1-2舍去).
5.(2025·成都诊断)已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,且有一点D满足CD⊥AB,CB∥AD,则D点的坐标为( )
A.(-1,0)B.(0,-1)
C.(1,0)D.(0,1)
答案 D
解析 设D(x,y),则kCD=y-0x-3=yx-3,kAD=y+1x-1.
由题意得kAB=2+12-1=3,kCB=2-02-3=-2,
∵CD⊥AB,CB∥AD,
∴kCD·kAB=-1,kAD=kCB,∴yx-3×3=-1,y+1x-1=-2,
即x+3y=3,2x+y=1,解得x=0,y=1,即D(0,1).
6.(2025·绍兴模拟)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为( )
A.5B.6
C.23D.25
答案 A
解析 联立y=2x,x+y=3,解得x=1,y=2.
把(1,2)代入mx+ny+5=0可得m+2n+5=0,所以m=-5-2n.
所以点(m,n)到原点的距离
d=m2+n2=(5+2n)2+n2
=5(n+2)2+5≥5,
当n=-2,m=-1时取等号.
所以点(m,n)到原点的距离的最小值为5.
7.光线沿着直线y=-3x+b射到直线x+y=0上,经反射后沿着直线y=ax+2射出,则有( )
A.a=13,b=6B.a=-3,b=16
C.a=3,b=-16D.a=-13,b=-6
答案 D
解析 由题意,直线y=-3x+b与直线y=ax+2关于直线y=-x对称,
所以直线y=ax+2上的点(0,2)关于直线y=-x的对称点(-2,0)在直线y=-3x+b上,
所以(-3)×(-2)+b=0,
所以b=-6,所以直线y=-3x-6上的点(0,-6)关于直线y=-x的对称点(6,0)在直线y=ax+2上,
所以6a+2=0,所以a=-13.
8.(2025·宁波模拟)唐代诗人李欣的诗《古从军行》的开头两句是“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为A(1,1),若将军从山脚下的点B(4,4)处出发,河岸线所在直线l的方程为x-y+1=0,则“将军饮马”的最短总路程是( )
A.36B.34
C.5D.25
答案 D
解析 如图,设B(4,4)关于直线x-y+1=0对称的点为C(a,b).
则a+42-b+42+1=0,b-4a-4=-1,
解得a=3,b=5,即C(3,5).
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|AC|,|AC|=(1-3)2+(1-5)2=25.
二、多选题
9.与(3,-2)关于坐标轴对称的点为( )
A.(-3,-2)B.(-3,2)
C.(3,2)D.(-2,3)
答案 AC
解析 (3,-2)关于x轴对称的点为(3,2),
关于y轴对称的点为(-3,-2).
10.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是( )
A.y=x+1B.y=2
C.y=43xD.y=2x+1
答案 BC
解析 由题意知,当点M到直线的距离不超过4时,符合要求.
对于A,点M(5,0)到直线y=x+1的距离为62=32>4,故不符合;
对于B,点M(5,0)到直线y=2的距离为2-0=24,故不符合.
11.(2025·合肥质检)已知直线l1:4x-3y+4=0,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),则( )
A.直线l2过定点(-3,-1)
B.当m=1时,l1⊥l2
C.当m=2时,l1∥l2
D.当l1∥l2时,两直线l1,l2之间的距离为1
答案 ACD
解析 对于A,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R)变形为m(x-y+2)+2x-y+5=0,
令x-y+2=0,2x-y+5=0,则x=-3,y=-1,
因此直线l2过定点(-3,-1),故A正确;
对于B,当m=1时,l1:4x-3y+4=0,
l2:3x-2y+7=0,
因为4×3+(-3)×(-2)≠0,
所以两直线不垂直,故B错误;
对于C,当m=2时,l1:4x-3y+4=0,
l2:4x-3y+9=0,
因为44=-3-3≠94,所以两直线平行,故C正确;
对于D,当l1∥l2时,
则满足m+24=-(m+1)-3≠2m+54,得m=2,
此时,l1:4x-3y+4=0,l2:4x-3y+9=0,
则两直线间的距离为|4-9|42+(-3)2=1,故D正确.
三、填空题
12.三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3可围成三角形,则a的取值可以是 .
答案 2(a≠±1即可)
解析 直线x+y=0与x-y=0都经过原点,而无论a为何值,直线x+ay=3总不经过原点,因此要满足条件,只需直线x+ay=3与另两条直线均不平行,所以a≠±1.
13.已知点P1(2,3),P2(-4,5)和A(-1,2),则过点A且与点P1,P2距离相等的直线方程为 .
答案 x+3y-5=0或x=-1
解析 当直线与点P1,P2的连线所在的直线平行时,
由直线P1P2的斜率k=3-52+4=-13,
得所求直线的方程为y-2=-13(x+1),
即x+3y-5=0.
当直线过线段P1P2的中点时,
因为线段P1P2的中点坐标为(-1,4),
所以直线方程为x=-1.
综上,所求直线方程为x+3y-5=0或x=-1.
14.(2025·西安调研)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,点A与坐标原点重合,边AB,AD分别在x轴,y轴的正半轴上,将矩形折叠,使点A落在线段DC上,若折痕所在直线的斜率为k,则折痕所在直线的方程为 .
答案 2kx-2y+k2+1=0(-2≤k≤0)
解析 当k=0时,点A和点D重合,此时折痕所在直线的方程为y=12;
当k≠0时,将矩形折叠后点A落在线段DC上的点设为G(a,1)(0