专题03 集合培优归类（题型清单）（原卷版）2026高考数学一轮复习知识清单（全国通用）

这是一份专题03 集合培优归类（题型清单）（原卷版）2026高考数学一轮复习知识清单（全国通用），共11页。

题型1 判断集合元素个数
1．（2024-2025年陕西名校教育联盟）已知数列满足，，记数列的前n项和为，设集合，对恒成立，则集合N的元素个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（24-25高三下·上海·开学考试）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合出下列四个命题.
①若与均为等差数列，则中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素.
则上述命题中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2025高三·四川八省联盟适应性模拟卷）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1B．3C．5D．7
4．（24-25高三上·上海杨浦·期中）设集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1011B．1012C．2022D．2023
5．（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）集合且，集合且，用表示集合X中的元素个数，则（ ）
A．100B．200C．260D．300
题型2 集合元素个数最值型
1．（23-24高一上·上海浦东）已知与是集合的两个子集，满足：与的元素个数相同，且为空集，若时总有，则集合的元素个数最多为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·北京朝阳·期中）数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三·湖南长沙一中模拟）设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（ ）
A．14B．15C．16D．18
4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 ．
5．（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知集合，记集合的元素个数为.当时， （用数字表示）；当（且）时， .（用含有的式子表示）.

题型3 异构同集型
1．（24-25高一下·北京·开学考试）已知集合，．则（ ）
A．B．是的真子集
C．D．
2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．，B．，
C．， D．，
4．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．（2025·河北·模拟预测）已知集合或，若，则 ．
题型4 异构同集型最值与求参（难点） 5空
1．（24-25高三上·上海·期末）对于函数 ，定义.
（1）且，则实数a的取值范围是 ；
（2），且且，则实数a的取值范围是 .
2．（24-25高三·上海·阶段练习）已知，若，则的最小值为 .
3．（24-25高三·上海虹口·模拟）设，若非空集合满足，则实数的取值范围是 .
4．（24-25高一上·上海·期中）已知，记集合，．若，则a的取值范围为 ．
5．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知非空集合，.若，则的值 .
题型5 子集型最值与求参 5单
1．（24-25高三·辽宁辽阳·模拟）我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ）
A．128个B．127个C．256个D．255个
2．（2025·江西萍乡·三模）已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一上·山东烟台·阶段练习）若集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．

题型6 交集型最值与求参 5单
1．（2025·福建厦门·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三下·广西·开学考试）已知集合，现将中的元素从小到大依次排列，则第20个元素为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的值域为，的值域为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（20-21高一上·四川眉山·阶段练习）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．16B．9C．8D．4
5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设集合，，若只含一个元素，则（ ）
A．B．C．D．
题型7 并集型最值与求参
1．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高一上·全国·专题练习）若集合A满足对任意，，都有，则称A为“S集”．若，，，为四个S集，且，则正整数的最大可能值为（ ）
A．66B．67C．68D．69
5．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
题型8 全集与补集型最值与求参
1．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型9 韦恩图应用
1．（24-25高三·上海浦东新·阶段练习）定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（ ）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件
2．（24-25高三上·上海·阶段练习）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都是真命题B．只有甲是真命题
C．只有乙是真命题D．甲乙都不是真命题
3．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ）
A．人B．人C．人D．人
4．（24-25高三上·上海·阶段练习）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合为全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型10 交并补集综合型
1．（2025高三·全国·专题练习）已知满足（且）的有序集合组（A，B）的个数为32，则 ．
2．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 .
3．（23-24高三上·浙江金华·阶段练习）从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合，则在的条件下，恰有1个元素的概率为 .
4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，集合．当时， ；若，则实数的取值范围是 ．
5．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 .
题型11 集合新定义型综合
1．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合，若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为 .
2．（2015高三·全国·练习）已知有限集（）．如果A中的元素（）满足，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合是“复活集”； ②若，且是“复活集”，则；
③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且．
其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）
3．（2023·安徽合肥·模拟预测）设，定义的差分运算为.用表示对a进行次差分运算，显然，是一个维数组.称满足的最小非负整数的值为的深度.若这样的正整数不存在，则称的深度为.
（1）已知，则的深度为 .
（2）中深度为的数组个数为 .
4．（2025高三·全国·专题练习）我们把一些向量构成的集合称为线性空间，设是线性空间到自身的一个变换，将中所有能被变换为零向量的向量组成的集合称为变换在上的核，记作．已知线性空间，对任意，变换满足，则中的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2021·北京东城·一模）设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若具有性质P，且，则具有性质P；
③若具有性质P，则具有性质P；
④若A具有性质P，且，则不具有性质P.
其中所有真命题的序号是 .


集合的元素个数，和其他知识结合的较多，属于中等偏难的题型，解决此类题型，要从集合的基本概念、基本性质以及集合元素的不同形式的表述入手，主要是三种形式：
1.数集；2.点集（有序数对）；3.抽象型（韦恩图型）

集合中元素个数：
1.点集多是图像交点，与函数图象或者圆锥曲线图象等有关。
2.数集，多涉及到一元二次方程根、一元二次不等式以及分式不等式指数对数等不等式的解集。
集合元素个数型最值与参数，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关基础知识的积累和应用。
以集合定义为核心的“异构同集”型，也就是集合“相同”的概念应用。立足于集合的基本性质，需要从以下几方面来综合考虑、比较与计算：
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
异构同集型最值与求参，涉及到集合定义与集合关系的研究。
1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无关）
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有，则要讨论集合B 是否是空集。
所以思考子集，要有“从空集开始到自身结束”这个“顺序感”：
子集是从“从空集开始，到自身结束”

交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质：
①A∩B_A；
②A∩BB；
③A∩A＝A；
④A∩＝；
⑤A∩B=B∩A.
．
并集：
集合并集运算的一些基本性质：
(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．
(2)集合运算常用的性质：
A∪B＝B⇔A⊆B；
全集与补集运算的性质：
韦恩图：
（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.