专题05 方程与不等式综合-2026年中考数学（安徽地区）二轮专题复习试题（含答案）

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第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一元一次方程的解法与应用
题型02 二元一次方程组的解法与综合应用
题型03 一元二次方程的解法与根的判别式
题型04 分式方程的解法与应用
题型05 一元一次不等式（组）的解法与应用
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01一元一次方程的解法与应用
典例引领
【典例01】解方程：
【典例02】码头到货100t，现有甲、乙两装卸作业组同时开始卸货．甲组卸货at，需要时间为小时；乙组卸货，需要时间为小时．问当他们一起卸完所有的货物时，甲组卸货多少吨？
方法透视
变式演练
【变式01】若关于的方程的解与的解相同，求的值．
【变式02】在综合实践活动课上老师要求用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个正方形侧面和2个等边三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）：
A方法：剪6个侧面
B方法：剪3个侧面和5个底面
现有21张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法．
(1)用含的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是___________，裁剪出的底面的个数是___________．（要求：代数式要化为最简形式）
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【变式03】【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第135页探究1的部分内容．
探究1：销售中的盈亏
（1）一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是________元和________元，卖这两件衣服总的是________（填“盈利”、“亏损”或“不盈不亏”）
【解决问题】：
（2）七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了件，并以每件元的价格销售了一部分，为回笼资金．商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是元，请你算一算降价前共售出多少件？
题型02二元一次方程组的解法与综合应用
典例引领
【典例01】解二元一次方程组：
(1)
(2)
【典例02】对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，．
(1)若，求、的值；
(2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值．
方法透视
变式演练
【变式01】（1）解方程组：．
（2）关于、的方程组，若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值．
【变式02】苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究．
某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1．
(1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________；
(2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，求出当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？
【变式03】2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品．
(1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？
(2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由．
题型03一元二次方程的解法与根的判别式
典例引领
【典例01】解方程：．
解得，．
【典例02】关于的一元二次方程有实数根．求的取值范围；如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
方法透视
变式演练
【变式01】选择适当的方法解方程；
(1)
(2)
解得：．
【变式02】定义：设，是方程的两个实数根，其中．若，则称这个方程为“俏方程”．
(1)方程 ________“俏方程”（用“是”或“不是”填空）；
(2)若关于x的方程是“俏方程”．
①不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为________；
②求m的取值范围．
【变式03】对于实数m，n，定义一种运算“※”为：．
(1)求的值；
(2)如果关于x的方程有两个相等的实数根，求实数a的值．
题型04分式方程的解法与应用
典例引领
【典例01】解方程：．
【典例02】湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！自2016年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力．
2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场．小张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还有30分钟．于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
(1)求小张跑步的平均速度；
(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由．
∴小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场
方法透视
变式演练
【变式01】解方程：
(1)；
(2)．
【变式02】在学习“分式方程的应用”时，王老师给出了如下的例题，小明和小颖两名同学都列出了对应的方程．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)①小明同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：________；
②小颖同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：_________；
(2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．
【变式03】周末骑自行车去郊游成了新的时尚．某骑行社团欲团购一批自行车，已知每辆A型自行车的价格是每辆B型自行车价格的1.2倍，用6000元单独购买A型自行车的辆数比单独购买B型自行车的辆数少1辆．求每辆B型自行车的价格．
甲同学所列的方程为；乙同学所列的方程为．
(1)甲同学所列方程中的x表示________，乙同学所列方程中的y表示________．
(2)请你选择其中一位同学的方法完整地解答这个问题．
∴每辆型自行车的价格是元
题型05一元一次不等式（组）的解法与应用
典例引领
【典例01】明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围．
【典例02】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶．
(1)若
①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点”
②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h
(2)已知两车在P处相遇．
①若P与N重合，求V的值；
②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围．
方法透视
变式演练
【变式01】已知关于x的不等式组
(1)若这个不等式组有解，求a的取值范围．
(2)若这个不等式组无解，求a的取值范围．
【变式02】已知关于x的不等式组
(1)若这个不等式组有解，求a的取值范围．
(2)若这个不等式组无解，求a的取值范围．
【变式03】已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如：
(1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____．
(2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算：
当（单位：千米）时，（元）；
当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整）
(3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围．
故该乘客所行的路程的取值范围：
题●型●训●练
一、单选题
1．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．且C．D．
2．若关于的一个一元一次不等式组的解集为(为常数且)，则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程的解， 则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．下列属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
4．从前有座山，山上有座庙，庙里有60个和尚吃了60个馒头，大和尚一人吃2个，小和尚2人吃一个，大和尚和小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，下列所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．某汽车生产企业上半年生产电动和燃油两种类型的汽车若干辆．已知电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆，燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆．设电动汽车为x万辆，燃油汽车为y万辆．根据题意可列出的方程组是（ ）
A．B．
C．D．
6．股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（ ）．
A．B．C．D．
7．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
8．若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（ ）
A．B．C．2D．4
二、填空题
10．使等式成立的x的值为或；使等式成立的x的值为或；使等式成立的x的值为4或．根据上述材料，则：
（1）使等式成立的x的值为_____；
（2）使等式成立的x的值为_____．
11．已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是_____．
12．已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为______．
13．若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是________．
三、解答题
14．某商店对出售的，两种商品开展促销活动，活动方案如表：
(1)商品降价后的出售价格为_______元．（用含的代数式表示）
(2)小华购买商品20件，商品10件，共花费6000元，求的值．
15．随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元．
(1)求A，B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元；
(2)若该超市计划正好用200元购进A，B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案；
(3)若该超市销售1个型玩具可获利8元，销售1个型玩具可获利5元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润为多少元？
16．为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？
17．有一根直尺短边长，长边长，还有一块锐角为的直角三角形纸板，它的斜边长为，如图，将直尺的短边与直角三角形纸板的斜边重合，且点与点重合．将直尺沿射线方向平移，设平移的长度为，且直尺和三角形纸板重叠部分的面积为．
(1)当直角顶点落在直尺的长边上时，______．
(2)当时，求与之间的函数关系式．
(3)是否存在一个位置，使重叠部分面积为？若存在直接写出的值；若不存在说明理由．
18．如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．()
(1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似?
(2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
19．某班班主任为了表扬表现优秀的学生，在文具店购买了A，B两类笔记本，A类笔记本比B类笔记本每本贵3元，且用60元购买的A类笔记本与用48元购买的B类笔记本数量相同，求A，B两类笔记本的单价．
20．用蒸发的方法可以提高溶液的浓度．某化学实验室里有一瓶质量为40克的食盐水，其中含食盐4克，蒸发掉多少克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍？
21．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？
22．为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元．
(1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？
(2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？
考向解读
核心考查一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），以及简单实际应用（如行程问题、工程问题、计费问题）。考向特点是“基础单一，侧重规范”，难度偏低，是必得分点，但容易因去分母漏乘、移项不变号、实际应用中数量关系找错丢分。
方法技能
核心解法规范（安徽中考重点考查步骤）：① 去分母：两边同乘所有分母的最小公倍数，注意“每一项都要乘”，包括不含分母的项；② 去括号：括号前是负号，括号内各项要变号；③ 移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号；④ 合并同类项：整理为ax=b（a≠0）的形式；⑤ 系数化为1：两边同除以a，注意符号判断。
实际应用技巧：核心是“找等量关系”，先梳理题干中的数量关系（如行程问题：路程=速度×时间；工程问题：工作量=工作效率×工作时间），设未知数（优先设直接未知数，复杂问题设间接未知数），列方程求解，最后检验答案是否符合实际意义（如时间、人数不能为负数）。
易错点规避：去分母漏乘常数项；移项不变号；系数化为1时，符号判断错误；实际应用中，忽略题干中的限制条件，导致答案不符合实际。
考向解读
中考常考，多以解答题（16-17题）形式出现，核心考查二元一次方程组的解法（代入消元法、加减消元法），以及与实际应用、代数式求值、几何问题的综合。考向特点是“解法固定，侧重综合”，难度中等，是基础得分点，常结合行程、工程、利润、几何边长计算等场景考查，需注意方程组的解的意义和实际应用的检验。
方法技能
解法选择：① 代入消元法：适用于其中一个方程能快速用一个未知数表示另一个未知数的情况；② 加减消元法：适用于两个方程中同一未知数的系数互为相反数或成倍数关系，加减前可根据系数特点，将方程两边同乘适当的数，使系数相等或互为相反数。
综合应用核心：① 与代数式求值结合：先解方程组，再将解代入代数式求值，或利用整体代入法；② 与几何结合：根据几何图形的边长、面积关系列方程组，求解线段长度；③ 实际应用：找到两个等量关系，列二元一次方程组，检验答案是否符合实际。
易错点规避：加减消元时，符号出错（如方程两边同乘负数，各项要变号）；代入消元时，代入不彻底；忽略方程组的解的检验（尤其是实际应用中）。
根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎．
考向解读
中考每年必考，多以解答题（17-18题）形式出现，核心考查一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式（Δ=b²-4ac）的应用、根与系数的关系（韦达定理）。考向特点是“解法灵活，侧重综合”，难度中等偏上，是拉开分差的关键，常结合分式、几何问题、二次函数综合考查，需重点突破含参问题。
方法技能
解法选择（适配安徽中考）：① 因式分解法：优先使用，适用于能快速因式分解的方程；② 直接开平方法：适用于形如(x+a)²=b（b≥0）的方程；③ 配方法：安徽中考偶尔考查，适用于二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程，或需要利用顶点式解题的场景；④ 公式法：万能方法，适用于所有一元二次方程，牢记求根公式x=−b±b2−4ac2a（a≠0），计算时注意符号和根号内的取值。
根的判别式应用：① 判断方程根的情况（Δ>0：两个不相等的实数根；Δ=0：两个相等的实数根；Δ