专题03 圆的综合-2026年中考数学（安徽地区）二轮专题复习试题（含答案）

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第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 圆的基本性质
题型02 切线的判定与性质
题型03 圆与三角形的综合
题型04 圆与四边形的综合
题型05 切线长定理与弦切角定理
题型06 弧长与扇形面积的计算
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 圆的基本性质
典例引领
【典例01】如图，是半的直径，，点，分别在半径和弦上，且，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【典例02】如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点．
(1)求证：．
(2)若，的半径为1，求弦的长．
方法透视
变式演练
【变式01】如图，是的直径，点E在弦上，且平分，过点B作，交的延长线于点D，延长交于点F．
(1)求证：．
(2)若的半径为2，，求的长．
【变式02】如图，是的直径，弦于点，连接，

(1)求证：．
(2)作于点，若的半径为，，求的长．
【变式03】如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．

(1)求的半径长；
(2)连接，作于点F，求的长．
题型02 切线的判定与性质
典例引领
【典例01】如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的面积．
【典例02】如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)已知，，求的长．
方法透视
变式演练
【变式01】如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求直径的长．
【变式02】如图，在中，，以为直径作，交于点，是的切线且交于点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式03】如图，已知是的直径，，垂足为C，弦，直线、相交于点B．
(1)求证：直线是的切线．
(2)当时，求的值．
题型03圆与三角形的综合
典例引领
【典例01】如图，是圆的直径，是圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交圆于点，连结．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【典例02】已知是等边三角形，点O是的内心，E，F分别是和边上的点，且，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，平分交于点D，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当点E，F分别位于和的延长线上时，请探究线段，和D之间的数量关系，并说明理由．
方法透视
变式演练
【变式01】如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交半圆于点，连结．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式02】如图，内接于，于，交于，于．
(1)若，，，求的长；
(2)连接，求证．
【变式03】如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
题型04圆与四边形的综合
典例引领
【典例01】如图，为的直径，弦交于点E，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，F为的中点，求的长．
【典例02】已知四边形内接于，与直径交于点，平分．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，点在的延长线上，连接，，，求的长．
方法透视
变式演练
【变式01】如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，连接并延长交于点，连接并延长交延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式02】如图，在中，以为直径的经过的中点，且与的延长线交于点，连接．
(1)若，求的长．
(2)过点E作，交于点，连接，交于点．求证：．
【变式03】如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，是弧的中点，与延长线的交点为，连接对角线，作交于点，垂足为点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的半径为，且，求的长．
题型05 切线长定理与弦切角定理
典例引领
【典例01】如图，为圆外一点，、分别切圆于、．连接，交圆于点，延长，交圆于点．连接，．连接并延长，交于点．
(1)证明：点是的中点．
(2)若点是的中点，求的度数．
【典例02】如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E，交的延长线于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
方法透视
变式演练
【变式01】如图，在RtABC中，，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．
(1)若，⊙O的半径为3，求AC的长．
(2)过点E作弦EF⊥AB于G，连接AF，若．求证：四边形ACEF是菱形．
【变式02】如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E，交的延长线于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式03】如图，，是的切线，切点分别为A，B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D，．
(1)求的长．
(2)连接，求证：．
题型06 弧长与扇形面积的计算
典例引领
【典例01】如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为E．设，，求图中阴影部分的面积．
【典例02】如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，连接，相交于点E，过点A作的切线交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求长．
方法透视
变式演练
【变式01】如图，为的直径，为上一点，且为的切线交的延长线于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求劣弧的长．
【变式02】如图，是的外接圆，且是直径．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接、，若，，求阴影部分的面积．
【变式03】如图，在中，为边上一点，与边相切于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求劣弧的长度．（结果保留）
题●型●训●练
一、单选题
1．如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，AC为⊙O的直径，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在边长为1的等边中，以顶点A为圆心，一定长为半径画弧，恰与底边相切，且分别交于点D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，内接于，．若 ，则弧的长为（ ）
A．πB．C． D．
6．如图，在四边形中，，，，为边上一点（不与点，重合），连接，，，且，，为的中点，连接，，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则四边形的周长为33.6
C．的面积最大为25
D．的面积恒为12
7．如图，为的弦，，交于点C，点D为上一点，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
8．如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，若，则的度数为______．
9．如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为______．
10．如图，的半径为5，圆周角，则劣弧的长为_______．
11．如图，在扇形中，，C为中点，过C作交于点D．则阴影部分面积为______
12．如图，是的直径，是的弦．若，，则_________．
三、解答题
13．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．
(1)求证：CE是⊙O的切线：
(2)连接BE，若⊙O的半径长为5，OF=3，求EF的长，
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在边AC上取一点D，使得DE＝AD，连接OD、OE．
（1）求证：①△AOD≌△EOD；
②DE是⊙O的切线；
（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．
15．如图，延长的直径，交直线于点，．射线自出发绕点逆时针旋转，旋转角为；同时，线段从出发绕点逆时针旋转，旋转角为，直线与射线交于点，与直线交于点，其中且．
(1)当α＝20°时，的长为 ；
(2)当AF⊥DG时，求旋转角α，并证明射线DM是⊙O的切线；
(3)当tan∠BAC＝时，求线段HF的长度；
(4)直接写出线段OH的最大值．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E．
（1）证明：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝2，求BC的长．
17．已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：
（3）若，，求的长．
18．在RtABC中，∠B＝90°，CE平分∠BCA交AB于点E，在AC上取一点O，以OC为半径的圆恰好经过点E，且分别交AC，BC于点D，F，连接DE，EF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，OC＝3；
①求AEC的面积；
②求EF的长．
19．如图，是的直径，，是上的点，是上一点，连接并延长交于点，延长，交于点，，，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径长．
20．如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点．
(1)求证：是的切线；
(2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积．
21．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
22．如图，是半圆O的直径，D是半圆O上的一点（不与A，B重合），连接，点C为弧的中点，过点C作，交的延长线于点F．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
考向解读
中考每年必考，多以小题（选择题、填空题）形式出现，偶尔作为解答题第一问铺垫，核心考查圆心角、弧、弦、弦心距的关系，圆周角定理及其推论，垂径定理。考向特点是“基础且灵活”，题干多结合简单图形（三角形、线段），设问多为“求角度”“判断线段关系”“求弦长”，难度偏低，是必得分点，需注意隐含条件的挖掘
方法技能
核心性质应用：牢记“三量关系”——在同圆或等圆中，圆心角相等⇔所对的弧相等⇔所对的弦相等⇔弦心距相等；圆周角定理（圆周角等于它所对圆心角的一半）及推论（同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角、90°的圆周角所对的弦是直径）是角度计算的核心工具。
垂径定理技巧：遇“弦长、弦心距、半径”三者之一，优先构造直角三角形（由半径、弦心距、弦的一半组成），利用勾股定理求解；垂径定理的核心是“垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧”，注意“弦不是直径”的隐含条件（若弦是直径，垂直于它的直线不一定平分弦所对的弧）。
易错点规避：区分“同弧”与“等弧”（同弧是同一条弧，等弧是长度相等且度数相等的弧）；圆周角的顶点必须在圆上，避免误将圆内接四边形的内角与圆周角混淆。
考向解读
中考解答题核心考查内容，每年必考，多结合三角形、四边形、圆的基本性质综合考查，设问常为“证明直线是圆的切线”“利用切线性质求线段长度/角度”。考向核心是“切线的判定逻辑”和“性质的灵活联动”，难度中等偏上，是拉开分差的关键，也是二轮复习的重点突破点
方法技能
切线判定（两大核心方法）：① 连半径，证垂直（最常用）——若直线与圆有明确公共点，连接圆心与公共点，证明该半径与直线垂直（可通过全等、等腰三角形三线合一、平行线性质等证明垂直）；② 作垂直，证半径——若直线与圆无明确公共点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。
切线性质应用：切线垂直于过切点的半径（核心性质），可直接用于角度转化（如切线与半径垂直得直角，结合三角形内角和、圆周角定理求角度）、构造直角三角形（利用勾股定理求线段长度），常与全等、相似综合使用。
辅助线核心：判定切线必连半径或作垂线，性质应用必连切点与圆心，将切线问题转化为直角三角形问题，简化计算和证明过程；注意证明切线时，需完整书写“半径+垂直”两个条件，缺一不可。
考向解读
中考常以解答题形式考查，核心是圆的性质（圆周角、切线）与三角形（等腰三角形、直角三角形、全等/相似三角形）的联动，设问多为“证明线段相等/角相等”“求线段长度/面积”“探究图形关系”。考向特点是“图形复杂但有规律”，常涉及“圆内接三角形”“切线与三角形的结合”，难度中等，需掌握“转化思想”，将圆的问题转化为三角形问题求解
方法技能
圆内接三角形：牢记“圆内接三角形的一个外角等于它的内对角”，可快速转化角度；若三角形为直角三角形，其斜边必为圆的直径（圆周角推论），可直接利用直角三角形性质求解。
切线与三角形综合：切线与三角形的边相切时，优先连半径得直角，结合三角形全等/相似证明线段关系；若三角形为等腰三角形，且底边为圆的弦，可结合垂径定理、等腰三角形三线合一，实现线段和角的转化。
技巧总结：遇圆与三角形综合，优先找“直角”（切线与半径的直角、直径所对的圆周角），构造直角三角形，利用勾股定理、三角函数或全等/相似求解，同时挖掘圆的基本性质中的隐含条件（如弧相等对应角相等）。
考向解读
中考常考题型，核心是圆的性质（切线、圆周角）与特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的综合，侧重考查“图形的性质联动”“探究性问题”，设问多为“证明四边形是特殊四边形”“求线段长度/角度”“探究线段的数量关系”。考向难度较高，需要学生具备较强的图形识别能力和辅助线构造能力，是二轮复习的难点突破方向。
方法技能
圆内接四边形：牢记“圆内接四边形的对角互补”“圆内接四边形的一个外角等于它的内对角”，这是角度转化的核心工具；若四边形为特殊四边形（如矩形），则矩形的对角线为圆的直径（矩形的对角线相等且平分，结合圆的性质可快速判定共圆）。
切线与四边形综合：正方形、菱形的边与圆相切时，可利用“切线长定理”（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等）转化线段长度；矩形的边与圆相切时，圆心到边的距离等于半径，可结合矩形的边长关系求解。
辅助线技巧：优先连半径（切线问题）、连对角线（四边形问题），将四边形转化为三角形，同时利用圆的性质和特殊四边形的性质，实现线段、角的相互转化；探究性问题可先猜想结论，再通过证明（全等、相似）验证。
考向解读
中考多以小题形式考查，偶尔作为解答题的辅助工具，核心考查切线长定理的应用、弦切角定理的应用。考向特点是“简洁但实用”，设问多为“求线段长度”“求角度”，难度中等，掌握这两个定理可快速简化计算和证明过程，提升解题效率。
方法技能
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角；常用于线段长度的转化（如求三角形的边长、四边形的周长），尤其适用于“多条切线”的问题，可快速找到相等线段。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；核心用于角度转化，可快速将切线与弦的夹角转化为圆周角，简化角度计算，常与圆周角定理、三角形内角和综合使用。
易错点：切线长定理中，“切线长”是“从圆外一点到切点的线段长度”，而非切线的长度；弦切角的顶点必须在切线上，且一边与切线重合，另一边与圆相交，避免误判弦切角。
考向解读
中考每年必考，多以小题形式出现，偶尔结合解答题（如切线、旋转问题）考查，核心考查弧长公式、扇形面积公式的应用，常结合圆心角、半径、弦长等条件。考向特点是“计算性强”，难度偏低，是必得分点，但需注意公式的准确运用和计算的精准性，避免因公式混淆、计算失误丢分
方法技能
核心公式：① 弧长公式：l=nπr180（n为圆心角的度数，r为圆的半径）；② 扇形面积公式：S扇形=nπr2360或S扇形=12lr（l为弧长，r为半径），优先根据题干条件选择公式（已知弧长用后者，已知圆心角用前者）。
关键技巧：求弧长或扇形面积时，先确定“圆心角n”和“半径r”，若题干未直接给出，需通过圆的性质（圆周角定理、切线性质）、三角形性质求出圆心角和半径；若涉及“阴影部分面积”，常用“割补法”（扇形面积-三角形面积、整体面积-空白面积）求解。
易错点规避：注意圆心角的单位是“度”，公式中无需转化为弧度；计算时，π的取值按题干要求），避免因取值错误导致计算失误；区分“扇形面积”与“圆的面积”，避免公式混淆。