2026年安徽中考数学二轮复习 专题02 方程(组)与不等式(组)(复习讲义)

这是一份2026年安徽中考数学二轮复习 专题02 方程(组)与不等式(组)(复习讲义)，共37页。
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
TOC \ "1-1" \n \h \z \u 方程（组）与不等式（组）
TOC \ "1-1" \n \h \z \u 方程（组）与不等式（组）
\l "_Tc188350728" 题型01 解一元一次方程
1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴
∴
故选C．
2．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则__________．
【答案】4
【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于的方程的解为，
∴，
解得：，
故答案为：4．
3．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则______．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答．
【详解】解：∵是方程的解，
∴把代入，得，
∴，
∴，
故答案为：2
4．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（）
A．1斗B．斗C．斗D．斗
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒斗，根据题意列方程解应用题即可．
【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗，
，
解得：，
故答案为：B．
\l "_Tc188350728" 题型02 解二元一次方程组
1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（）
A．8B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
，得：，
∴的平方根是；
故选：C．
2．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______．
【答案】1
【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解．
【详解】解：
得，，
解得，
将代入得，，
解得，
该方程组的解为，
∴，，
，
故答案为：1．
3．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
得：，
解得，
把代入②得：，
∴方程的解为．
\l "_Tc188350728" 题型03 解分式方程
1．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：．
检验：当时，，
∴原方程的解为．
故选：C
2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零．
【详解】∵ ，
去分母得，，
，
解得，
检验：当时，，满足条件．
故方程的解为．
故选：B．
3．（2025·陕西·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．
利用解分式方程的步骤进行求解即可．
【详解】解：
，
．
经检验，是原方程的解．
4．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下：
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
【答案】见解析
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验．
先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可．
【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立；
小李的解答过程不正确，正确解答如下：
，
，
解得：，
经检验，是增根，
∴原方程无解．
\l "_Tc188350728" 题型04 解一元二次方程
1．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（）
A．B．C．20D．25
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴．
故选：C
2．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断根的情况
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况．
【详解】解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（）
A．0B．25C．26D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可．
【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故选：C．
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
【答案】，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
或，
∴，
\l "_Tc188350728" 题型05解一元一次不等式（组）
1．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式组的解集，分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集是；
故选：A．
2．（2025·四川乐山·中考真题）解不等式组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
分别求出不等式的解集，然后根据 “同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．
【详解】解：
由①得，；
由②得，，
∴原不等式组的解集为：．
3．（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集．
【答案】，画图见解析
【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空心点的区别．分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
则不等式组解集为．
4．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：，0，1，2，3．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得
原不等式组的解集是
整数解为，0，1，2，3
题型06一次方程（组）的实际应用
1．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个
(2)每天乙文创产品增加的数量是个
【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键．
（1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可；
（2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可．
【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个．
，
解得：，
则甲文创产品数量为个，
答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个．
（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个．
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：每天乙文创产品增加的数量是个．
2．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元．
(1)求种文创产品每件的进价；
(2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？
【答案】(1)种文创产品每件的进价为元
(2)小张最多可以购进50件种文创产品
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键：
（1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；
（2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元，
由题意，得：，
解得：，
答：种文创产品每件的进价为元；
（2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元，
由题意，得：，
解得：；
答：小张最多可以购进50件种文创产品．
3．4．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
(2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？
【答案】(1)
(2)注水5小时可供发电万千瓦时．
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键．
（1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可；
（2）根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式．
（2）解：根据题意，得，
解得．
答：注水5小时可供发电万千瓦时．
4．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键．
设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可．
【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，
由，可得：，解得：；
所以这只风筝的骨架的总高．
答：这只风筝的骨架的总高．
题型07 二元一次方程组的实际应用
1．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元．
(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元
(2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元
【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元；
（2）解：设购买本型相册，则购买本型相册，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，
∴该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本型相册，5本型相册；
方案2：购买11本型相册，4本型相册；
方案3：购买12本型相册，3本型相册．
选择购买方案1所需费用为（元）；
选择购买方案2所需费用为（元）；
选择购买方案3所需费用为（元），
，
∴方案1所需费用最少．
答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元．
2．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？
【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元，
根据题意得：，
解得：．
答：每杯饮料元，每杯饮料8元．
3．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解．
【答案】，
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得方程组
，得③
，得．
把代入②，得
，
．
∴这个方程组的解是
4．（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元．
(1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确；
(2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法．
【答案】(1)每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；该销售经理的估计正确；
(2)解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量等关系，并据此列出方程组，进行求解
（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，
根据题意可列出方程组，
解得：
∴每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；
该销售经理的估计正确；
（2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
5．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．
【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可．
【详解】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，
由题意得：，
解得：，
答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒．
题型08一元二次方程的实际应用
1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）．
(1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？
(2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？
【答案】(1)三边长分别为
(2)三边长分别为
【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键．
（1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可；
（2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长，
则
解得：，
当时，（不符合题意，舍去）
当时，（符合题意）
三边长分别为：．
（2）解：设矩形围栏的面积为．
则有
当时．有最大值
当时，（符合题意）
三边长分别为：．
2．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【答案】(1)15米；
(2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键．
（1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解．
（2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
根据题意得，
解得
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为，
根据题意得
∴
∵，
∴当时，有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
3．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)3元
(3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键；
（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；
故答案为：；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：，
整理可得：，
解得：，
由于要让利于游客，舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则
，
∵，
∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
4．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为
(2)最少购进甲种商品40件
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
题型09 分式方程的实际应用
1．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？
【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元
(2)4种
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价；
（2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案．
【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元；
（2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为，，，，
∴共有4种进货方案．
答：该超市共有4种进货方案．
2．（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？
【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨
【分析】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可．
【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，
根据题意，得
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：浇水方式改进后平均每天用水1吨．
3．（2025·山西·中考真题）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．
根据题意得：．
解得：．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里．
4．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．
(1)求型、型两种机器人的单价；
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元
(2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键：
（1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可；
（2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
所以，．
所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元．
（2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，
根据题意，得，
解得，
∵要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数
∴的取值为1，2，3，共有3种方案：
方案一：型机器人1台，型机器人9台；
方案二：型机器人2台，型机器人8台；
方案三：型机器人3台，型机器人7台．
题型10不等式或不等式组的实际应用
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．
(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
【答案】(1)甲型6元，乙型8元
(2)20盏
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元，
由题意，得
，
解得，
答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元．
（2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏，
由题意，得
解得，，
答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯．
2．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元．
(1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？
(2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？
【答案】(1)购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元
(2)至少购买A款材料包份
【分析】（1）设购买一份A款材料包和一份B款材料包各是元和元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设购买A款材料包份，根据题意列出不等式求解即可．
本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式．
【详解】（1）解：设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元，
则，解得，
答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元．
（2）解：设购买A款材料包份，
，
解得，
∵a为整数，
∴a最小为，
答：至少购买A款材料包份．
3．（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗）
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？
(2)若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？
【答案】(1)A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元
(2)要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可．
（1）设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，由题意得即可求解；
（2）设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，由题意得．即可求解；
【详解】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，
由题意得解得
答：A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元．
（2）解：设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，
由题意得．
解得，
答：要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克．
4．（2025·湖南·中考真题）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等．
(1)求种材料和种材料的单价；
(2)若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？
【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
(2)最多能购买种材料20件．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用．
（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，
依题意，
解得，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
（2）解：设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，
依题意得：．
解得．
∴m的最大值为20．
答：最多能购买种材料20件．
知识 1 一元一次方程
定义：只含1 个未知数，未知数次数为1，整式方程。
标准形式：ax+b=0(a≠0)
解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1。
解：x=−ba
知识 2 二元一次方程组
定义：含2 个未知数，次数为 1，两个方程组成。
解法：
代入消元法：用一个未知数表示另一个，代入求解。
加减消元法：同乘系数，使某一未知数系数相等 / 相反，加减消元。
解：一组(x,y)值。
知识 3 分式方程
定义：分母中含未知数的方程。
解法：去分母→化成整式方程→求解→检验。
关键：必须检验，使分母为 0 的解是增根，舍去。
知识 4 一元二次方程
定义：只含 1 个未知数，最高次数为2，整式方程。
一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)
解法：
直接开平方法
配方法
公式法：x=−b±b2−4ac2a​​​
因式分解法
判别式：Δ=b2−4ac
Δ>0：两个不等实根
Δ=0：两个相等实根
Δ0：两个不相等的实数根；
Δ=0：两个相等的实数根；
Δ4解得x>−2（正确应为x”在数轴上混淆，导致答案中是否包含端点出错。
整数解问题：求整数解时，需注意边界是否包含，并准确列出所有整数。
一般步骤：
审：读懂题意，找出已知量和未知量，明确等量关系。
设：设未知数（通常直接设，也可间接设）。
列：根据等量关系列出一元一次方程。
解：解方程。
验：检验解是否符合方程和实际意义。
答：写出答案（单位要统一）。
常见类型：
行程问题：路程=速度×时间，注意相遇、追及、环形跑道等。
工程问题：工作量=工作效率×工作时间，常把总工作量看作1。
利润问题：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%。
分配问题：和差倍分关系。
数字问题：设多位数的各位数字表示。
单位不统一：如速度单位是km/h，时间单位是分钟，未换算导致错误。
等量关系找错：对题意理解偏差，如“比……多”误为“比……少”。
设未知数不明确：设的未知数与方程中的量不对应，或忘记带单位。
解出后未检验合理性：如人数不能为负数或分数，需检查。
答案表述不清：漏写单位或答非所问。
步骤：与一元一次方程类似，但需设两个未知数，列两个方程。
常见问题：
鸡兔同笼、配套问题：如螺母与螺栓数量关系。
行程问题：涉及两个物体运动，可设速度等。
数字问题：设两个数字或数位。
方案问题：如购买不同商品。
等量关系寻找：通常有两个独立条件，分别转化为方程。
设元不清晰：两个未知数含义混淆，或忘记注明单位。
方程列错：等量关系对应错误，如“甲比乙的2倍多3”误写为2x+3=y（正确应为y=2x+3或x=2y+3需根据设的未知数）。
解方程组出错：虽然列对方程，但解的过程出现计算错误。
忘记检验：解出的值是否满足所有条件（如人数为整数，非负等）。
忽略隐含条件：如物品数量为正整数，需舍去非整数解。
增长率问题：基数为a，平均增长率为x，两次后为a(1+x)2。
面积问题：如矩形长宽变化，常涉及长方形、三角形面积公式。
利润问题：总利润=单件利润×销售量，常涉及涨价或降价引起的销售量变化。
动态几何问题：点运动形成图形面积或长度关系。
解题关键：根据题意建立一元二次方程，注意根的取舍（一般有两个根，需结合实际意义舍去一个）。
忽略实际意义：解出的根若为负数或超出合理范围，未舍去。
增长率问题中基数错误：如“连续两次降价”每次降价百分率相同，但第一次降价后基数变了。
面积问题中边长关系混淆：如篱笆围矩形，一边靠墙时，长宽关系易错。
单位不一致：如长度单位是米，面积是平方米，但计算时未统一。
二次项系数为0的讨论：在含参数的实际问题中，需注意二次项系数不能为0，但实际问题通常不会出现。
方案一
方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃．
如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
常见类型：
工程问题：工作效率用分式表示，如单独完成需时间tt，则效率为1tt1​。
行程问题：涉及速度、时间关系，常出现分式方程，如水流问题。
销售问题：单价、数量、总价关系，可能涉及折扣。
步骤：同分式方程解法，但需特别注意验根时既要验是否为增根，又要验是否符合实际（如时间、速度为正数）。
忘记验根：解出整式方程后未代入最简公分母检验，导致增根混入。
等量关系复杂：如“提前完成任务”等，容易列错方程。
单位换算：如速度单位km/h与时间小时需一致。
分母不为0隐含条件：在设未知数时，如设速度为x，则x≠0，但可能忽略。
解出后未考虑实际意义：如时间不能为负数，速度不能为0等。
常见问题：
方案选择：如“哪种方案更省钱”，需列不等式比较。
最值问题：如“至少需要多少”“不超过多少”，求取值范围。
分配问题：如物品分给若干人，有剩余或不足。
步骤：
审题，找出不等关系（关键词：大于、小于、至少、最多、不超过等）。
设未知数，列不等式（组）。
解不等式（组），得到解集。
根据实际意义确定答案（如人数为整数，取整）。
注意：在解集中选取符合实际的值，通常需要整数解或正整数解。
不等号方向错误：将“至少”误用为“≤”等。
忽略实际意义：如人数、物品数量应为非负整数，解集中需取整，但可能遗漏。
解不等式组时取交集错误：如多个条件需同时满足，但取并集。
边界值取舍：如“不超过”包括等于，需用“≤”，但有时误用“