专题 二次函数的应用（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测 习题+答案

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题型1 利润最值问题
【例1】（2026·广东深圳·一模）综合与实践
问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究．
信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数80.15，
∴王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，
此时，当y=0时，即−0.2x−0.82+0.45=0，
解得x=2.3或x=−0.7（舍去），
∴点D的坐标为2.3,0；
（3）解：∵抛物线L':y=−0.8x+p2+1.352经过点D2.3,0，
∴0=−0.8×2.3+p2+1.352，解得p=−1（舍去）或p=−3.6，
∴y=−0.8x−3.62+1.352，
∴对称轴为直线x=3.6，
∵D2.3,0，
∴抛物线L'与x轴的另一个交点坐标为3.6−2.3+3.6,0，即4.9,0，
∴CE的最大值为4.9−OC=4.9−0.63+2.74=1.53（米)，
当y=0.2时，即−0.8x−3.62+1.352=0.2，
解得x=2.4（舍去）或x=4.8，
当x=4.8时，CE=4.8−0.63+2.74=1.43（米)，
∴1.43米≤CE≤1.53米．
题型5 图形运动问题
【例5】（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？
(1)【特例尝试】
如图1，Rt△ABC是一张直角三角形卡纸，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P是边AB上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段PM为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答）
(2)【拓展延伸】
一块长为6cm，宽为4cm的矩形卡纸如图2所示，沿线段AE裁切后得到五边形ABCDE，其中，AB=1cm，DE=3cm，再沿着曲线EF（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为ABCFE，小明用这块余料裁出矩形MNPQ，其中边MN在BC上，点Q在线段AE上，点P在曲线EF上．请你直接写出矩形MNPQ面积的最大值．
【答案】(1)剪出的矩形的最大面积是3cm2，示意图见详解
(2)矩形MNPQ面积的最大值是10cm2
【分析】（1）分情况进行讨论，作出不同情况下的示意图后利用正弦、余弦及正切的定义及勾股定理求得对应边长的值，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果；
（2）以点B为原点建立平面直角坐标系，根据题意求得点A和点E的坐标，通过待定系数法求得直线AE的解析式和反比例函数的解析式，从而求得点F的坐标，设Qm,m+1，则P12m+1,m+1m≥1，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果，此时需注意m的取值．
【详解】（1）解：如图1，过点P作PM⊥AB，点M在AC上，以线段PM为边，作矩形PMNQ，
∵AC=4cm，BC=3cm，∠C=90°，
∴AB=AC2+BC2=5cm，
∴sinA=BCAB=MPAM=35，
设MP=3a，则AM=5a，
∴CM=AC−AM=4−5a，
∵MN∥AB，
∴∠CMN=∠A，
∴cs∠A=cs∠CMN=CAAB=CMMN=45，
∴MN=54CM=544−5a=5−254a，
∴S矩形PMNQ=PM⋅MN=3a5−254a=−754a2+15a=−754a−252+3，
当a=25时，S矩形PMNQ有最大值，最大值为3cm2；
如图2，过点P作PM⊥AB交AC于点M，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，
∴四边形PMCQ为矩形，
∵tanA=BCAC=MPAM=34，
设PM=3t，则AM=4t，
∴CM=4−4t，
在Rt△AMP中，AP=AM2+MP2=5t，
∴S矩形PMCQ=CM⋅MP=3t4−4t=−12t2+12t=−12t−122+3，
当t=12时，S矩形PMCQ有最大值，最大值为3cm2，即AP=52cm．
（2）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系，
∵矩形卡纸的长为6cm，宽为4cm，AB=1cm，DE=3cm，
∴A0,1，E3,4，
设直线AE的解析式为y=kx+b，
将点A，E代入得：1=b4=3k+b，
解得k=1b=1，
∴直线AE的解析式为y=x+1，
∵曲线EF是反比例函数的一部分，
设反比例函数的解析式为y=ax，
将点E代入得：4=a3，解得a=12，
∴反比例函数的解析式为y=12x，
∴F6,2，
设Qm,m+1，则P12m+1,m+1m≥1，
∴PQ=12m+1−m，QM=m+1，
∴S矩形MNPQ=12m+1−mm+1=12−m2−m=−m+122+494，
当m=1时，S矩形MNPQ的最大值为−1+122+494=10cm2．
【变式5-1】（2026·四川绵阳·一模）如图，已知锐角△ABC的边BC的长为6，面积为12，PQ∥BC，点P在AB上，点Q在AC上，四边形RPQS为正方形（RS与A在PQ的异侧），其边长为x，正方形RPQS与△ABC的公共面积为y．
(1)当正方形RPQS的边RS恰好落在BC上时，求边长x．
(2)当RS不落在BC上时，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．（可以将图形画在备用的图形中）
(3)求y的最大值．
【答案】(1)2.4
(2)y=x20