期末复习专题05 方程与解一元一次方程（3知识点+10大题型+思维导图+过关检测） 2025-2026学年人教版七年级数学上册期末备考 习题+答案

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc17414" 【题型1 判断各式是否为方程】 PAGEREF _Tc17414 \h 1
\l "_Tc15241" 【题型2 列方程】 PAGEREF _Tc15241 \h 3
\l "_Tc21063" 【题型3 判断是否是方程的解】 PAGEREF _Tc21063 \h 4
\l "_Tc19880" 【题型4 已知方程的解，求参数】 PAGEREF _Tc19880 \h 6
\l "_Tc13925" 【题型5 判断是否是一元一次方程】 PAGEREF _Tc13925 \h 8
\l "_Tc24189" 【题型6 等式的性质】 PAGEREF _Tc24189 \h 9
\l "_Tc9845" 【题型7 解一元一次方程】 PAGEREF _Tc9845 \h 11
\l "_Tc6206" 【题型8 已知一元一次方程的解，求参数】 PAGEREF _Tc6206 \h 14
\l "_Tc1667" 【题型9一元一次方程的解的关系】 PAGEREF _Tc1667 \h 18
\l "_Tc20167" 【题型10 绝对值方程】 PAGEREF _Tc20167 \h 21
知识梳理
【知识点1 一元一次方程的概念】
方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。
两个关键要素：① 是等式（有等号 “=”）；② 含有未知数（常用字母x 表示）。
方程的解与解方程
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
一元一次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
三个限定条件：① 未知数个数：一个；② 未知数次数：1（系数不为 0）；③ 方程形式：整式方程（分母不含未知数）。
标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；
【知识点2 等式的性质】
等式的基本性质（解方程的依据） 等式的基本性质是解一元一次方程的核心依据，所有步骤都围绕性质展开。
性质 1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
性质 2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，结果仍相等。
【知识点3 解一元一次方程】
解一元一次方程的步骤：
1.去分母
两边同乘最简公分母
2.去括号
（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号
（2）乘法分配律应满足分配到每一项
注意 ：特别是去掉括号，符合变化
3.移项
（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；
（2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ．
4. 合并同类项
（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax= b ”的形式（ a≠ 0 ）；
（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．
5. 系数化为 1
（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 x=ba；
（2）注意：分子、分母不能颠倒
6. 方程的检验（可选但推荐）
把解得的未知数的值代入原方程，验证左右两边是否相等。
解题技巧与易错点总结
解题技巧
技巧 1：判断一元一次方程的 “三步法”① 看分母：分母是否含未知数？含则不是；② 看未知数个数：是否只有一个未知数？③ 看未知数次数：未知数的最高次数是否为 1？三者都满足，才是一元一次方程。
技巧 2：解方程的 “简化技巧”① 去分母前，先观察分母的最小公倍数，避免乘错数；② 移项前，先把方程整理成 “含未知数的项在左，常数项在右” 的思路，减少移项次数；③ 系数化为 1 时，若系数是分数，可两边乘其倒数，简化计算。
技巧 3：复杂方程的 “分步拆解”遇到含多层括号的方程，从内到外逐步去括号；遇到小数系数的方程，可先把小数化为整数。
2.易错点警示
题型精讲
【题型1 判断各式是否为方程】
【典例】．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【跟随训练1】．下列式子是方程的是（ ）
A．B．C．D．
【跟随训练2】．下面是方程的选项是（ ）
A．B．C．D．
【跟随训练3】．下面不是方程的是（ ）
A．B．C．D．
【题型2 列方程】
【典例】．某数的3倍比它的2倍多1，设某数为x，则列方程为（ ）
A．B．C．D．
【跟随训练1】．根据“x的3倍与4的和等于x的一半”可以列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【跟随训练2】．根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（ ）
A．B．C．D．
【跟随训练3】．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【题型3 判断是否是方程的解】
【典例】．是下列哪个方程的解（ ）
A．B．C．D．
【跟随训练1】．当x的取值不同时，整式（其中，是常数，）的值也不同，具体情况如表所示．则关于的方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【跟随训练2】．下列方程中，解为的是（ ）
A．B．C．D．
【跟随训练3】．是下列哪个方程的解（ ）
A．B．5C．6D．3
【题型4 已知方程的解，求参数】
【典例】．若关于的方程的解是，则的值为（ ）.
A．B．1C．D．
【跟随训练1】．若是方程的解，则a的值是（ ）．
A．－1B．1C．D．2
【跟随训练2】．关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．2
【跟随训练3】．若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（ ）
A．B．3C．D．2
【题型5 判断是否是一元一次方程】
【典例】．在方程①，②，③，④中，一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【跟随训练1】．下列方程为一元一次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【跟随训练2】．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（ ）
A．2或0B．0C．2或D．2
【跟随训练3】．若关于x的方程是一元一次方程，则k的值为（ ）.
A．0B．C．1D．
【题型6 等式的性质】
【典例】．下列等式变形正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【跟随训练1】．已知，下列变形不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【跟随训练2】．如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．左边两架天平处于平衡状态，若要使第三架天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）个三角形
A．4B．5C．6D．7
【跟随训练3】．根据等式的性质，下列各式变形错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【题型7 解一元一次方程】
【典例】．解方程：.
【跟随训练1】．解方程：
(1)；
(2)．
【跟随训练2】．解方程：
(1)
(2)
【跟随训练3】．解方程：
(1)；
(2)．
【题型8 已知一元一次方程的解，求参数】
【典例】．关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【跟随训练1】．已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【跟随训练2】．已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求m、n的值；
(2)若关于x的一元一次方程的解与关于x的一元一次方程的解互为倒数，求的值．
【跟随训练3】．我们规定x的一元一次方程的解恰好等于，则称该方程是“差解方程”，例如：，解得：，因为，所以方程是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
(1)下面方程中是差解方程的是______．
①；②；③；④
(2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，它的解为a，求的值．
(3)已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值．
【题型9一元一次方程的解的关系】
【典例】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【跟随训练1】．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．若关于y的方程是“和解方程”，则m的值为 ．
【跟随训练2】．关于的方程与的解互为相反数，求的值．
【跟随训练3】．如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就说这两个方程为“和美方程”，例如，和是“和美方程”
(1)若关于的方程与是“和美方程”，求的值．
(2)若两个“和美方程”的解的差为4，且有一个方程为，求的值．
(3)关于的方程与是“和美方程”，且关于，的多项式的值恒为定值，求的值及，满足的关系式．
【题型10 绝对值方程】
【典例】．若为有理数且，则的取值是（ ）
A．B．C．或2D．
【跟随训练1】．，那么 ．
【跟随训练2】．关于的方程（k为常数，）的解为 ．（用含的代数式表示）
【跟随训练3】．【阅读与思考】
在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论：
当时，原方程化为，解得；
当时，原方程化为，解得．
所以，方程()的解为或．
【理解与应用】
利用上述方法解方程：．
思维导图
过关检测
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C．D．
2．下面不能用方程“”来表示的是（ ）．
A．B．
C．D．
3．下列方程的解为的是（ ）
A．B．C．D．
4．关于的方程的解是，则的值是（ ）
A．B．C．1D．7
5．已知方程是一元一次方程，则的值为（ ）
A．2B．C．D．无法确定
6．是下列哪个方程的解（ ）
A．B．C．D．
7．关于x的方程变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．定义新运算：，若，则
9．小军在解关于的方程去分母时，方程左边的没有乘，因而求得方程的解为，则这个方程的正确解为 ．
10．已知为常数，关于的方程，无论为何值它的解总是，则的值为 ．
11．已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ．
12．解方程：
(1)；
(2)．
13．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
14．已知关于x的一元一次方程的解为正整数，且满足条件的所有整数a的和为m，求m的值．
15．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为，则称这两个方程互为“归一方程”．
(1)若方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值；
(2)若关于的方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值．
16．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”．
(1)若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值；
(2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为，若其中一个方程的解为，求的值；
(3)若关于的一元一次方程和是“阳光方程”，求关于的一元一次方程的解．
17．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．
如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．
[例]解方程：．
解：根据绝对值的意义，得或．
解这两个一元一次方程，得或．
根据以上材料解决下列问题：
(1)解方程：；
(2)拓展延伸：解方程．
18．材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）．
（1）计算：________，________；
材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下：
（2）求出满足该等式的：；
（3）当为何值时，．易错环节
易错点
纠正方法
去分母
漏乘不含分母的项
去分母时，方程两边的每一项都要乘最小公倍数
去分母
分子是多项式时，忘记加括号
分子是多项式，去掉分母后，分子整体加括号
去括号
括号前是“-”，忘记变号
牢记“负号变号”，逐项检查符号
移项
移项不变号
移项的本质是等式性质1”，移到等号另一边必须变号
系数化为1
除以系数时，符号出错
系数为负时，除以负数，等号两边的符号都要改变