2024版人教版七年级上册数学专题08 一元一次方程及其解法7大题型（期末复习专项训练含答案）

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题型1 一元一次方程的辨析及求值
题型5 方程看错或遮挡（重）
题型2 已知方程的解或无解求参数（重）
题型6 解含绝对值的一元一次方程
题型3 整体代入求值
题型7 定义新运算
题型4 解一元一次方程（重）
题型1 一元一次方程的辨析及求值
1．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】A．是一元一次方程；
B．中，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程；
C．中含有两个未知数，不是一元一次方程；
D．中没有未知数，不是方程．
故选：A．
2．下列是一元一次方程的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
【详解】解：∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程；
选项A：，不是整式方程，不符合题意；
选项B：，未知数次数为2，不符合题意；
选项C：，含两个未知数，不符合题意；
选项D：，只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，符合题意；
故选：D．
3．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】解：方程①：，右边为分式，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义；
方程②：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义；
方程③：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义；
方程④：，含项，次数为2，不符合一元一次方程的定义；
方程⑤：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义；
方程⑥：，含两个未知数x和y，不符合一元一次方程的定义；
综上，符合条件的一元一次方程为②、③、⑤，共3个，
故选：B．
4．已知是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】
【详解】解：由原方程，得，
解得或，
，
，
解得．
故答案为：．
5．若是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴且
∴．
故答案为：．
6．若方程是关于的一元一次方程，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴且，
解得，
故答案为：．
题型2 已知方程的解或无解求参数
7．如果，那么关于x的方程的解有（ ）
A．只有一个解B．只有一个解或无解
C．只有一个解或无数个解D．无解
【答案】C
【详解】解：当，时，方程有无数个解；
当，时，方程只有一个解．
综上所述，方程的解只有一个解或无数个解．
故选：C．
8．小颖碰到一道解方程的题目：，她在方程的两边除以，竟然得到，其错误的原因是（ ）
A．没有考虑时的情况B．方程无解
C．方程本身是错的D．小于
【答案】A
【详解】解：小颖碰到一道解方程的题目：，
她在方程的两边都除以x，竟然得到，
原因是：没有考虑时的情况．
故选A．
9．已知是方程的解，则的值为 ．
【答案】
【详解】解；把代入方程，
得，即，
移项，得，即，
两边同时除以，得．
故答案为：．
10．已知是关于的方程的解，则的值是 ．
【答案】
【分析】
【详解】解：将代入方程，得：，
即，
解得．
故答案为：．
11．如果是方程的解，那么的值是 ．
【答案】0
【详解】解：是方程的解，
，
解得：
，
故答案为：0．
12．若是关于的方程的解，则的值为 ．
【答案】3
【分析】
【详解】解：因为是关于的方程的解，
所以将代入方程，得，
因此，．
故答案为 3．
13．如果关于的方程无解，那么实数 ．
【答案】1
【详解】解：∵方程无解，
∴，，
∴，
故答案为：1．
题型3 整体代入求值
14．如果是关于的方程的解，求的值为（ ）
A．1B．C．21D．5
【答案】C
【详解】解：∵是方程的解，
∴，即，
∴；
故选：C．
15．已知，均是关于的整式，其中，，且当时，，则代数式的值为 ．
【答案】
【详解】解：当 时，，，
，
，
整理得： ，
即 ，
，
将 代入，
得：原式
故答案为：
16．若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解，
∴，
∴，
故答案为：．
17．关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值，则关于的方程的解为 ．
【答案】
【详解】解：当时，，，即，
所以方程的解为．
故答案为：．
18．如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是 ．
【答案】
【详解】解：把代入方程，
，
，
，
，
由题意得：，
解得：，
，
故答案为：．
19．已知，为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：把代入关于的方程 得：
，
，
，
，
，
∵无论为何值，它的解总是
∴无论为何值，恒成立，
，
解得：，
，
故答案为：．
题型4 解一元一次方程
20．下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（ ）
A．方程，移项得
B．方程，去括号得
C．方程，去分母得
D．方程，系数化为1得
【答案】A
【详解】解：A. 方程，移项得，步骤正确；
B. 方程，去括号时右边应为（即），但选项写为（即），去括号错误；
C. 方程，去分母时应两边同乘，得，但选项右边仍为，未乘，步骤错误；
D. 方程，系数化为1时，应得，但选项直接写，计算错误；
故选：A．
21．方程，去分母得到了，这个变形（ ）
A．分母的最小公倍数找错了
B．漏乘了不含分母的项
C．分子中的多项式没有添加括号，符号不对
D．正确
【答案】B
【详解】解：方程，
左右两边同乘12，去分母得：，
去括号得：，
题中的变形漏乘了不含分母的项．
故选：B．
22．解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2），
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（3），
将方程中的分子、分母中的系数化为整数，得，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
23．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）解：
解得；
（2）解：
解得．
24．小娜同学在解方程时，将常数项移项时忘记改变符号，得出，则原方程正确的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵小娜移项时忘记改变符号，得出错误方程：，并解得，
∴代入错误方程：，即，解得，
将代入原方程：，
移项得：，即，
∴
故原方程正确的解为
故选：A．
25．解方程：．
【答案】
【详解】解：，
方程化为：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：．
26．解下列一元一次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）解：，
去中括号，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得；
（2）解：，
由分数的基本性质，得，即，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得．
题型5 方程看错或遮挡
27． 某同学解方程时，把□处数字看错解得，他把□处看成了（ ）
A．3B．C．8D．
【答案】C
【分析】
【详解】解：设把□处数字看成，
把代入得：，
解得：，
故选：C．
28．方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【详解】解：把代入方程■得：
■，
解得：■，
故选：D．
29．小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数字被墨水污染了：，是被污染的内容，是哪个数字呢？他很着急，翻开练习册看后面的答案，发现这道题的解是，很快补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应该是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】
【详解】解：设，
将代入方程，得，
得，
故选C．
30．某同学在解关于的方程时，误将“”看成“”，从而得到方程的解为，则原方程正确的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
【详解】解：由题意，将代入得，，
解得：，
将代入得，，
解得：，
故选：D．
31．同学小明在解关于的方程（ ）时，把（ ）处的数看错，得错解，则小明把（ ）处看成了 ．
【答案】9
【详解】解：设（ ）内的数为，则错解的方程为，
依题将代入得：
解得：．
故答案为：9．
32．嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡．
(1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值；
(2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？
【答案】(1)
(2)遮挡的常数是19
【分析】
【详解】（1）解：由题意得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
设遮挡的常数为a，
把代入方程得，
解得．
故遮挡的常数是19．
33．某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字．
(1)如果被污染的数字是，请计算的值．
(2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？
【答案】(1)
(2)3
【分析】
【详解】（1）解：．
（2）解：设被污染的数字为，
由题意得，
解方程得3．
所以被污染的数字为3．
34．某同学在解方程时，因看错了前面的符号，将“”看成“”，得到方程的解为，试求的值并正确地解方程．
【答案】
【分析】
【详解】解：将代入可得：，
解得：，
所以原方程为。
．
．
题型6 解含绝对值的一元一次方程
35．若是关于x的一元一次方程，则m等于 ．
【答案】2或1
【详解】解：是关于x的一元一次方程，
或，
解得或，
故答案为：2或1．
36．解方程：．
【答案】或
【详解】解：∵
∴或
解得或．
37．解方程：．
【答案】
【详解】解：若，则，
解得，
此时，符合题意；
若，则，
解得，
此时，与假设不符，
所以不符合题意，舍去；
所以方程的解为：．
38．解方程．
【答案】
【详解】，
根据绝对值的意义，得：或，
当时：
当时：
检验：因为绝对值的结果为非负数，
所以，解得
当时，不满足，是增根，应舍去；
当时，满足，
故原方程的解为．
39．解方程：
【答案】或
【详解】解：∵，
，
∴或，
∴或（不合题意，舍去），
∴，
∴或
∴或（不合题意，舍去），
或．
题型7 定义新运算
40．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程和为“和1方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“和1方程”，求m的值；
(2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为n，求n的值；
【答案】(1)
(2)n的值为0或1
【分析】
【详解】（1）解：解方程得：；
解方程得：；
∴，
解得：；
（2）解：设另一个方程的解为m，由题意得：，则有，
当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得；
当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得；
综上所述：n的值为0或1．
41．定义：对于一个非0自然数，如果这个自然数分别除以自然数、（、为互质数）有相同余数（余数不为0），那么自然数叫做、的“友好数”．例如：
，，所以11是2和5的“友好数”；
，，所以23是3和7的“友好数”．
(1)判断：84、37是否为5和8的“友好数”，请说明理由；
(2)求100以内4和9的所有“友好数”．
【答案】(1)84是5和8的“友好数”，37不是5和8的“友好数”，理由见解析；
(2)100以内4和9的所有“友好数”为1，2，3，37，38，39，73，74，75
【分析】
【详解】（1）解：，，
84是5和8的“友好数”，37不是5和8的“友好数”；
（2）解：不妨设是4和9的所有“友好数”，
的余数与的余数相同，且余数可以为1，2，3，
根据余数的不同取值可知、、是4和9的倍数，
互质，
、、是36的倍数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
100以内4和9的所有“友好数”为1，2，3，37，38，39，73，74，75．
42．现定义一种新运算“☆”：对于任意有理数a，b，有．例如：．求
(1)的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）解：根据题意得，
；
（2）解：∵
，
又∵，
∴，
解得．
43．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”．
(1)若关于的方程与方程是“致真方程”，求的值；
(2)若关于的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解．
【答案】(1)
(2)方程的解为，方程的解为
【分析】
【详解】（1）解：
；
；
∵方程与方程是“致真方程”，
∴，
解得．
（2）解：
；
；
∵方程和是“致真方程”，
∴，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
则，
，
故方程的解为，方程的解为．
44．定义：使等式的一对有理数a，b称为“共生数对”，记为．
(1)下列数对：①，②，③是“共生数对”的有______（填序号）；
(2)若是“共生数对”，则______“共生数对”（填“是”或“不是”）；
(3)若是“共生数对”，且关于x的方程的解为，求的值．
【答案】(1)②③
(2)是
(3)
【分析】
【详解】（1）解：①，∵，，
∴，故数对不是“共生数对”；
②，∵，，
∴，故数对是“共生数对”；
③，∵，，
∴，故数对是“共生数对”；
故答案为：②③；
（2）解：∵是“共生数对”，
∴，则，
∴数对是“共生数对”，
故答案为：是；
（3）解：∵是“共生数对”，
∴，
∵关于x的方程的解为，
∴，即，
∴，
∴．
45．给出定义：，（m、n都是有理数）．如果m、n能满足，则称有理数m、n为“关联数对”．
(1)下列各组数是“关联数对”的是______．（填序号）
①，；②，；③，；
(2)写出一对不同于（1）的“关联数对”，并说明它是“关联数对”的理由；
(3)计算：．
【答案】(1)①③
(2)5和6是“关联数对”，理由见详解
(3)
【分析】
【详解】（1）解：①当，时，，，
∴，
∴2和3是“关联数对”；
②当，时，，，
∴，
∴3和7不是“关联数对”；
③当，时，，，
∴，
∴和是“关联数对”；
故答案为：①③；
（2）解：设，由题意得，
∵有理数m、n为“关联数对”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴5和6是“关联数对”；
（3）解：
．
46．小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，．
(1)计算：，；
(2)设，，试比较与的大小，并说明理由；
(3)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值．
【答案】(1)10；0
(2)当，；当时，；当时，，理由见解析
(3)或
【分析】
【详解】（1）解：，
，
故答案为：10；0；
（2）解：，
，
∴，
当时，则，即；
当时，则，即；
当时，则，即；
∴当，；当时，；当时，；
（3）解：∵，
∴，
∵且，
∴，
∴；
当时，则，舍去；
当时，则，
解得，
∴，
∴，
解得或；
∴综上所述，所有满足条件的x的值为或．
【点睛】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，解一元一次方程，整式的运算，第3问有一定难度，通过分类讨论去绝对值，再结合绝对值的几何意义求解是解题的关键．
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