第七章　§7.6　空间向量的概念与运算-2027年高考数学大一轮复习课件（课件+解析版讲义）

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1.理解空间向量的概念，掌握空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 .(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使p= .(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p= .{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b= .
|a||b|cs〈a，b〉
(2)空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
3.若平面α外的直线l的方向向量为a=(1，0，-2)，平面α的法向量为m=(8，-1，4)，则A.l⊥αB.l∥αC.a∥mD.l与α斜交
解析　根据题意，直线l的方向向量为a=(1，0，-2)，平面α的法向量为m=(8，-1，4)，易得a·m=1×8-2×4=0，又直线l在平面α外，则有l∥α.
4.(2025·济宁模拟)已知a=(2，m，n)，b=(1，2，-1)，a∥b，则|a|=　　　.
2.解题时防范以下几个易误点(1)向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量.(3)直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一.
用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.
例4　(人教A版选择性必修第一册P44习题1.4T16)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=3.M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点.在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？
(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
跟踪训练4　(人教A版选择性必修第一册P43习题1.4T11)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点.求证：B1E⊥平面AED1.
2.(2026·秦皇岛模拟)在空间直角坐标系中，点P(2，3，4)关于Oxy平面的对称点是A.(2，-3，4)B.(-2，-3，4)C.(2，3，-4)D.(-2，3，4)
解析　点P(2，3，4)关于Oxy平面的对称点是(2，3，-4).
3.设x，y∈R，向量a=(x，1，1)，b=(1，y，1)，c=(2，-4，2)，且a⊥c，b∥c，则|a+b|等于A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2025·南昌模拟)已知向量a=(1，0，1)，b=(-2，2，1)，c=(3，4，z)，若a，b，c共面，则z等于A.-9 B.9 C.-5 D.5
5.(2026·阜阳模拟)若平面α的法向量为u=(-1，2，4)，平面β的法向量为v=(m，-1，-2)，直线l的方向向量为t=(n，-2，-4)，则下列选项正确的是A.若α∥β，则m=1B.若l⊥α，则n=2C.若n=-20，则l∥αD.若m=-10，则α⊥β
二、多项选择题7.(2025·全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则A.AD⊥A1CB.B1C1⊥平面AA1DC.AD∥A1B1D.CC1∥平面AA1D
解析　平面α的方程为2x-2y+z-7=0，∴平面α的一个法向量为n=(2，-2，1)，A正确；点M(-1，2，0)满足方程x-3y+7=0和2y+z-4=0，∴点M在平面x-3y+7=0和2y+z-4=0上，∴点M在两平面的交线l上，∴直线l经过点M(-1，2，0)，B正确；平面x-3y+7=0的一个法向量为m1=(1，-3，0)，平面2y+z-4=0的一个法向量为m2=(0，2，1)，∴直线l的方向向量应与m1，m2都垂直，但e·m1=3-3+0=0，e·m2=0+2+2=4≠0，C错误；
三、填空题9.已知a=(1，0，2)，b=(3，-2，1)，c=(-1，m，3)，若{a，b，c}不能构成空间的一个基底，则实数m=　　　.
10.(2025·襄阳模拟)已知空间向量a=(2，2，-1)，平面α的一个法向量为n=(4，0，3)，则向量a在平面α上的投影向量是　　　　　　　　.