第六章　§6.3　等比数列-2027年高考数学大一轮复习课件（课件+解析版讲义）

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1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列有关的概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 数列，那么 叫做a与b的等比中项，此时，G2= .
2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an= .(2)等比数列通项公式的推广：an=amqn-m.(3)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=_________=_________.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.(　　)(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2=ac.(　　)(3)数列{an}为等比数列，则S4，S8-S4，S12-S8成等比数列.(　　)(4)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积.(　　)
4.(2025·全国Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于　　　.
解析　方法二　设该等比数列为{an}，公比为q(q>0)，Sn是其前n项和，则S4=a1+a2+a3+a4=4，S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=(a1+a2+a3+a4)(1+q4)=68，所以4(1+q4)=68，则1+q4=17，解得q=2(舍负)，所以这个数列的公比为2.
解析　方法三　设该等比数列为{an}，公比为q(q>0)，Sn是其前n项和，则S4=4，S8=68，故S8-S4=a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q4=68-4=64，又S4=a1+a2+a3+a4=4，所以4q4=64，解得q=2(舍负)，所以这个数列的公比为2.
解析　方法二　由题知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)-4，即q3+q4=4q+4q2，即q3+q2-4q-4=0，即(q-2)(q+1)(q+2)=0.由题知q>0，所以q=2.所以S4=1+2+4+8=15.
等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解.(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q=1的情形，否则会漏解或增解.
(2)已知数列{an}的各项均为互不相等的正数，且a1=1，a6=8a3，记Sn为数列{an}的前n项和，若{1+Sn}是等比数列，证明：数列{an}是等比数列.
证明　因为a1=1，所以1+S1=2，又数列{1+Sn}是等比数列，设数列{1+Sn}的公比为q，根据题意有q>0且q≠1，所以1+Sn=(1+S1)·qn-1=2qn-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(1+Sn)-(1+Sn-1)=2qn-1-2qn-2=2(q-1)qn-2，又因为a6=8a3，
证明　所以2(q-1)q4=16(q-1)q，又q>0且q≠1，所以有q3=8，所以q=2，所以an=2(q-1)qn-2=2n-1(n≥2).当n=1时，由上式得a1=1，这与已知a1=1一致，所以an=2n-1，故数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列.
延伸探究　本例(2)变为：已知等比数列{an}的各项均为互不相等的正数，且a1=1，a6=8a3，记Sn为数列{an}的前n项和.求证：数列{1+Sn}是等比数列.
例3　(1)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=　　　　.
解析　方法一　{an}为等比数列，∴a4a5=a3a6，∴a2=1，又a2a9a10=a7a7a7，∴1×(-8)=(a7)3，∴a7=-2.方法二　设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q，显然an≠0，则a4=q2，即a1q3=q2，则a1q=1，∵a9a10=-8，则a1q8·a1q9=-8，则q15=(q5)3=-8=(-2)3，则q5=-2，则a7=a1q·q5=q5=-2.
典例　已知等差数列{an}，Sn为前n项和，且a9=5，S8=16，则S11=　　　.
例4　(1)(2025·南昌模拟)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4+a5+a6=-3，a7+a8+a9=9，则S15等于A.81 B.71 C.61 D.51
(2)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为　　　，项数为　　　.
(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m+n=p+q，则aman=apaq”，可以减少运算量，提高解题速度.(2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.
一、单项选择题1.(2025·漳州模拟)等比数列{an}中，a1a2a3=8，a2+a4=10，则a6等于A.4 B.8 C.16 D.32
4.(2023·新高考全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8等于A.120 B.85 C.-85 D.-120
5.(2026·广州模拟)某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位：万元)等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年(2025年)该农产品的销售额为100万元，则按照计划从2025年到2034年该农产品的销售总额约为(参考数据：1.39≈10.6，1.310≈13.8，1.311≈17.9)A.964万元B.2 980万元C.3 940万元D.5 170万元
14.(2026·兰州模拟)如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则前n个圆的面积和为　　　 　.