新高考数学一轮复习课件 第6章　§6.3　等比数列（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习课件 第6章　§6.3　等比数列（含详解），共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，同一个，aGb，a1qn－1，aman＝apaq，S2n－Sn，S3n－S2n，N＝M＋3等内容，欢迎下载使用。

1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ .
2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝ .(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝________
＝ .
3.等比数列性质(1)若m＋n＝p＋q，则 ，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则 ，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 (k，m∈N*).
(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn， ， 仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)
1.等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.2.等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0).3.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)(2)当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列.(　　)(3)等比数列中所有偶数项的符号相同.(　　)(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　)
1.设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于A.31 B.32 C.63 D.64
根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.
3.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为____________.
1,3,9或9,3,1
∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
例1　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于A.14 B.12 C.6 D.3
方法一　设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
方法二　设等比数列{an}的公比为q，
(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一
设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么an＝aqn－1，根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a13＝2a＝aq12，即q＝ ，
等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解.
跟踪训练1　(1)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，
(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是A.插入的第8个数为B.插入的第5个数是插入的第1个数的 倍C.M>3D.N<7
设该等比数列为{an}，公比为q，则a1＝1，a13＝2，
插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，
即证 >4，
所以 >5，
所以－1－ >4，即M>4，
所以N＝M＋3>7，故D错误.
例2　已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
选①②作为条件证明③：设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，
解得q＝2，所以a2＝2a1.
选①③作为条件证明②：因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2，
选②③作为条件证明①：设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，
所以{an}为等比数列.
(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.
跟踪训练2　在数列{an}中， ＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，
所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，
∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，
又数列{an}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，
(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为______.
由题意可得S8－2S4＝6，可得S8－S4＝S4＋6，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，
当且仅当S4＝6时等号成立.综上可得，a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24.
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.
跟踪训练3　(1)(2023·六安模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于A.40 B.36 C.54 D.81
在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，
(2)等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于A.1 B.2 C.3 D.4
∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，
1.(2023·岳阳模拟)已知等比数列{an}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于A.1 B.－1 C.3 D.－3
设an＝a1qn－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，
2.数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，
所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝2k (a1＋a2＋…＋a10)
＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.
3.若等比数列{an}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋…＋lg3a2 023等于
由题意得a5a2 019＝3，根据等比数列性质知，a1a2 023＝a2a2 022＝…＝a1 011a1 013＝a1 012a1 012＝3，于是a1 012＝ ，则lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋…＋lg3a2 023＝lg3(a1a2a3…a2 023)
4.(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则lg2(a3·a5)的值为A.16 B.12 C.10 D.8
由题意，得{an}是以2为公比的等比数列，
∴lg2(a3·a5)＝lg2(8×22×8×24)＝12.
5.(多选)已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是A.{an＋Sn}是等差数列B.{an·Sn}是等比数列
由{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，∵{an}是各项均为正数的等比数列，∴a2＝a2q，可得q＝1.∴an＝a1>0，∴an＋Sn＝(n＋1)a1，∴数列{an＋Sn}是等差数列，因此A正确；
7.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝____，S5＋a5＝______.
由题意得2a1＝2，∴a1＝1.
8.已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为 ____________________.(写出一个即可)
an＝3n－1(答案不唯一)
设等比数列{an}的公比为q，令bn＝3n－an，则b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2，∵{bn}是等比数列，∴ ＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化为q2－6q＋9＝0，解得q＝3，取a1＝1，则an＝3n－1.(注：a1的值可取任意非零实数).
设数列{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*).
9.等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求数列{an}的通项公式；
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
10.Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列.因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
11.(多选)在数列{an}中，n∈N*，若＝ k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是A.k不可能为0B.等差数列一定是“等差比数列”C.等比数列一定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有无数项为0
对于A，k不可能为0，正确；对于B，当an＝1时，{an}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C，当等比数列的公比q＝1时，an＋1－an＝0，分式无意义，所以{an}不是“等差比数列”，错误；对于D，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确.
12.记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{Sn}A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项
根据题意，等比数列{an}中，a1＝8，a4＝－1，
故S1最大，S2最小.
13.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝_____.
{bn}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中，bn＝an＋1，则an＝bn－1，{an}有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中.又{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项为相隔两项，等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－24,36，－54,81，
很明显，－24,36，－54,81是{an}中连续的四项，
14.记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝_____，Tn＝___________.
15.将正整数按照如图所示方式排列：试问2 024是表中第____行的第_______个数.
由题意得第n行有2n－1个数，前10行共有20＋2＋22＋23＋24＋25
前11行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210
故2 024在表中第11行，又表中第11行有210＝1 024(个)数，故2 024是表中第11行的第1 001个数.
16.(2023·泰安模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0,4S1＋S2＝S3.(1)求数列{an}的公比q；
由4S1＋S2＝S3，得4a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，整理得4a1＝a3，所以4a1＝a1q2.因为a1≠0，所以q2＝4，由题意得q>0，所以q＝2.
an＝a1·2n－1，
当n≥3时，f(n)单调递增，