2025-2026学年下学期福建省厦门一中高二数学4月期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期福建省厦门一中高二数学4月期中试卷含答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数 fx=x−12 ,则 limΔx→0f1+Δx−f1Δx=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知数列 an 是等差数列,且 a1+a2+a3=−3,a3+a4+a5=9 ,则 S5=
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
3. 设随机变量的分布列如表所示,且 Eξ=1.6 ,则 a×b=
A. 0.2 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.4
4. 1+2x1+x5 的展开式中 x2 的系数是
A. 10 B. 15 C. 20 D. 30
5. 对于三次函数 fx=ax3+bx2+cx+da≠0 ,给出定义: 设 f′x 是函数 y=fx 的导数, f′′x 是 f′x 的导数,若方程 f′′x=0 有实数解 x0 ,则称点 x0,fx0 为函数 y=fx 的“拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”, 任何一个三次函数都有对称中心, 且“拐点”就是对称中心. 设函数 gx=13x3−x2+2x−13 ，则 g−2023+g−2024+g2025+g2026=
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
6. 无重复数字的三位偶数的个数为
A. 136 B. 328 C. 360 D. 720
7. 已知 F 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点,直线 y=kx 与双曲线 C 交于 M,N 两点, 其中 M 在第一象限， NF=3MF ，且 ∠MFN=2π3 ，则双曲线 C 的离心率为
A. 133 B. 72 C. 2 D. 3
8. 学校食堂每餐推出 A 、 B 两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐,若他前 1 天选择了 A 套餐,则第 2 天选择 A 套餐的概率为 14 ; 若他前 1 天选择了 B 套餐,则第 2 天选择了 A 套餐的概率为 34 . 已知他开学第 1 天中午选择 A 套餐的概率为 23 ，在该同学第 3 天选择了 A 套餐的条件下,他第 2 天选择 A 套餐的概率为
A. 526 B. 715 C. 712 D. 1116
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 选错得 0 分.
9. 记圆 M:x−12+y2=a2 ,圆 N:x−22+y−12=4a2 ,则
A. MN=2
B. 若坐标原点在圆 M 上,则点 0,1 在圆 N 上
C. 若圆 M 与圆 N 内切,则 a=2
D. 当 a=1 时,圆 M 与圆 N 的相交弦方程为 2x+2y−1=0
10. 我国南宋数学家杨辉在 1261 年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角, 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的. 以下关于杨辉三角的说法正确的是

A. 第 6 行从左到右第 4 个数是 15 B. 第 2026 行的第 1014 个数最大
C. C22+C32+C42+⋯+C20262=C20273 D. 记第 n 行的第 i 个数为 ai ,则 i=1n+12i−1ai=3n
11. 已知棱长为 4 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 E 为棱 AB 的中点，动点 F 满足 AF=λAB+μAD1 ,其中 λ,μ∈R,AG=14AD1 ,则下列结论正确的是
A. 若 λ+μ=1 ，则 CF⊥AB1
B. 若 λ+4μ=1,λ≠0 ，则点 A 到平面 A1FG 的距离为 2105
C. 若 μ=12 ，则直线 EF 与直线 BC 所成角的最小值为 π4
D. 若 A1F 与 A1A 夹角为 π4 ，则 EF+GF 的最小值为 32
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 直线 l 的一个方向向量为 m=1,0,1 ,平面 α 的一个法向量为 n=−1,0,t ,且 l//α ,则 t= _____▲_____.
13. 城区某中学安排 5 位老师到 A,B,C 三所乡村中学任教，要求每个乡村中学至少安排 1 位老师，每位老师只能去 1 个中学支教，则不同的安排方式有_____▲_____种.
14. 已知 fx=ex−2x,gx=lnx−ax ,若对任意 x1∈0,+∞ ,都存在 x2∈0,+∞ ,使得 fx1x1⋅gx2x2=1 ,则实数 a 的取值范围为_____▲_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 Sn 为数列 an 的前 n 项和,且 Sn=2an−2 .
(1)求该数列的通项 an ；
(2)若 bn=lg2an ，求数列 1bnbn+1 的前 n 项和 Tn .
16. 已知函数 fx=ax+bex 在 x=1 处取得极值 1e .
(1)求 a,b ；
(2)证明: t>0 时, ft0 ,则 F′x=ex−2x−ex−2xx2=exx−1x2 .
所以 Fx 的值域为 e−2,+∞ . 所以 x1fx1∈0,1e−2 . 令 Gx=gxx=lnxx−a,x>0 ,则 G′x=1−lnxx2 .
所以 Gx 的值域为 −∞,1e−a . 由 fx1x1⋅gx2x2=1 ,得 gx2x2=x1fx1 ,所以 0,1e−2 是 −∞,1e−a 的子集, 所以 1e−2≤1e−a ,所以 a≤1e−1e−2=−2ee−2 .
四、解答题
14. 解: (1) 当 n≥2 时, Sn=2an−2Sn−1=2an−1−2 ,
所以 Sn−Sn−1=2an−2an−1 ,整理可得 an=2an−1,n≥2 , 4 分 5. 以数列 an 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 an=2n,n∈N∗ . 6 分
(2)因为 bn=lg2an=n ，所以 1bnbn+1=1nn+1=1n−1n+1 ， 8 分
所以 Tn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1 . 13 分
16. 解: (1) f′x=aex−ax+bexe2x=a−ax−bex , 2 分
故 f′1=a−a−bex=0 且 f1=a+be=1e ,解得 a=1,b=0 , 6 分
故 fx=xex,f′x=1−xex ,令 f′x>0 得 x0 时， ft0 ,故 m=33 , 11 分
故 y1+y2=−435y1y2=−365 ,则 y1−y2=y1+y22−4y1y=−4352−4⋅−365=1635 ,
△ABN 的面积为 S=12MN×y1−y2=12×4×1635=3235 , △ABN 的周长为
AN+BN+AB=AN+BN+AM+BM=AN+AM+BM+BN=4a=16 , 13 分
设 △ABN 的内切圆半径为 r ，则 12AN+BN+ABr=3235 ，即 12×16r=3235 ，故 r=435⋯ 15 分
18. 解: (1) 当 a=2 时, fx=2x2−lnx ,则 f′x=4x−1x ,
所以 f1=2,f′1=3 ,所以切线方程为 y−2=3x−1 ,即 y=3x−1 . 4 分
(2)由题意得 f′x=2ax−1x=2ax2−1x ,
若函数 fx 存在单调递减区间,则 f′x