2025-2026学年下学期陕西省河南山西天一顶尖计划高三数学4月试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期陕西省河南山西天一顶尖计划高三数学4月试卷含答案，共7页。试卷主要包含了5 C等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 A=x∈R∣2x2≥8,B={−2,0,1,2,3} ,则 A∩B=
A. {−2,0,1} B. {−2,2,3 C. {−2,2} D. {2,3}
2. 已知复数 z 满足 1+iz=−2i−2i ,则 z=
A. 1−2i B. 1+2i C. −2i D. 2i
3. 样本数据5,5,6,7,7,8,9,10的第 75 百分位数为
A. 9 B. 8.5 C. 8 D. 7.5
4. 已知非零向量 a,b 满足 a+b=2a−b ,且 a=3b ,则 a 与 b 的夹角为
A. π2 B. π6 C. π4 D. π3
5. 已知 a=sin−3+1sin−3,b=sin3,c=lg123 ,则
A. b>c>a B. b>a>c C. a>b>c D. a>c>b
6. 已知正项等比数列 an 的前 n 项积为 Tn . 若 a6=4,T6=512 ,则 a21=
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
7. 已知 fx 是定义域为 R 的奇函数,若 fx=f2−x,f3=2 ,则 i=12026fi=
A. 2 B. 0 C. -2 D. 4
8. 设 M,N 分别是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右顶点,点 B 在 C 上且在第一象限内,直线 BM 与圆 x2+y2=a2 的另一个交点为 A ,设 ∠ANM=θ,∠MBN=φ ,若 5tanφ=4tanθ− 1tanθ ,则 C 的离心率为
A. 52 B. 2 C. 5 D. 4
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 fx=csωx+φω>0,φb>0 的右焦点为 F,Γ 的上顶点和两焦点连线构成面积为 3 的等边三角形,过点 Px0,0 且与 x 轴不重合的动直线交 Γ 于 A,B 两点.
(1)求 Γ 的方程.
(2)若 ∠BFA 的平分线垂直于 x 轴,
( i ) 求 PA⋅PB 的取值范围.
(ii) 求 PA⋅PB 的取值范围.
19. (17 分)
已知函数 fnx=xn,gnx=fnx+a−fnx ,其中 a>0,n 为正整数, x>0 .
(1)当 n≥2 时,证明: gnx 在 0,+∞ 上单调递增.
(2)设函数 ℎkx=gkxfk′x+afk′x为fkx的导函数，k=1,2,3,⋯ .
( i ) 证明:对于固定的 x 和 a ，数列 ℎkx 为递减数列；
(ii) 证明: 对于任意的 n≥2 ,都有 k=1nℎkx≥na4x+5−na4x+a . 附: an−bn=a−ban−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1 ;
伯努利不等式: 当 x>−1,n≥0 时, 1+xn≥1+nx .
高三数学・答案
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案 B
由 2x2≥8=23 ,得 x2≥3 ,解得 x≥3 或 x≤−3 ,所以 A=x x≥3或x≤−3 ,所以 A∩B={−2,2,3} .
2. 答案 C
易知 −2i=2 ,所以 z=2−2i1+i=21−i21+i1−i=−2i .
3. 答案 B
因为样本数据个数为 8,8×75%=6,6 为整数,所以第 75 百分位数为第 6 个数与第 7 个数的平均数,即 8+92=8.5
4. 答案 B
a+b=2a−b 两边同时平方,得 a2+b2+2a⋅b=4a2+b2−4a⋅b ,整理得 a2=2a⋅b ,即 a2=2a . bcs⟨a,b⟩ ,所以 cs⟨a,b⟩=a22a⋅b=32 ,所以 a 与 b 的夹角为 π6 .
5. 答案 A
a=sin−3+1sin−3=−sin3+1sin3 ,因为 3∈π2,π ,所以 sin3∈0,1 ,所以 a=−sin3+1sin3< −2sin3⋅1sin3=−2,04 ,
则 y1+y2=−24m3m2+4,y1y2=363m2+4>0 ,说明 A,B 两点在 x 轴同侧, (13 分)
所以 PA⋅PB=1+m2y1−0⋅1+m2y2−0=1+m2y1y2=361+m23m2+4=121−13m2+4 , (15 分)
因为 m2>4 ,所以 3m2+4>16 ,则 00 ,
所以 x+ak+1>xk+1+ak+1xk 成立.
故原不等式成立，数列 ℎkx 为递减数列. (11 分)
(ii) 由题目给出的公式知 x+ak−xk=at=0k−1x+ak−1−txt ,
代入 ℎkx 的表达式，得 ℎkx=at=0k−1x+ak−1−txtkx+ak−1=akt=0k−1xx+at ,
注意到 xx+a=1−ax+a ,令 u=ax+a ,因为 a>0,x>0 ,所以 u∈0,1 .
则 ℎkx=akt=0k−11−ut . (13 分)
利用伯努利不等式可知 1−ut≥1−tu ,
得 ℎkx≥akt=0k−11−t⋅ax+a=akt=0k−11−ax+at=0k−1t
=akk−ax+a⋅kk−12=a−a2k−12x+a. (15 分)
所以 k=1nℎkx≥k=1na−a2k−12x+a=na−a22x+ak=1nk−1 ,
因为 k=1nk−1=0+1+⋯+n−1=nn−12 ,
所以 k=1nℎkx≥na−a22x+a⋅nn−12=na−a2nn−14x+a=na4x+5−na4x+a . (17 分)满意
不满意
总计
男生
35
15
50
女生
20
30
50
总计
55
45
100
Pχ2≥k
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635