2025-2026学年下学期河北省邢台高二数学4月期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河北省邢台高二数学4月期中试卷含答案，共34页。试卷主要包含了 本试卷主要考试内容， 若随机变量 X 的分布列如下， 下列函数求导正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 人教 A 版选择性必修第二册第五章占 50%, 选择性必修第三册第六章至第七章第 4 节占 50%。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知 limΔx→0fx0−Δx−fx02Δx=4 ,则 f′x0=
A. -8 B. -2 C. 2 D. 8
2. 某天食堂供应 4 种不同的主食和 8 种不同的菜品, 小张这天从该食堂选择 1 种主食和 2 种不同的菜品,则不同的搭配方案有
A. 32 种 B. 60 种 C. 84 种 D. 112 种
3. 若函数 fx=x3−ax+5 在 −1,3 上单调递增,则 a 的取值范围是
A. (−∞,3] B. (−∞,9] C. (−∞,0] D. (−∞,−1]
4. 假设书包里仅有 4 支水笔和 6 支铅笔，现从该书包中不放回地依次(每次取一支)取出两支笔， 记事件 A 表示“第一次取出的笔是铅笔”,事件 B 表示“第二次取出的笔是水笔”,则 PB∣A=
A. 415 B. 49 C. 815 D. 23
5. 已知奇函数 fx=x3+a−1x2−5f′2x ,则 fa=
A. -9 B. -5 C. 5 D. 9
6. 若随机变量 X 的分布列如下:
则随机变量 X 的方差 DX=
A. 1 B. 1.4 C. 2 D. 2.4
7. 已知定义在 0,+∞ 上的函数 fx 的导函数为 f′x ,若 f′x>1 ,且 f3=1 ,则不等式 fx2−2x>x2−2x−2 的解集是
A. −∞,−3∪1,+∞ B. −∞,−1∪3,+∞
C. −3,0∪1,2 D. −1,0∪2,3
8. 某校举办校园科技节，需从 6 名男生和 4 名女生中选派 4 人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的 4 人中至少有 2 名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由 1 人主持，则不同的选派方案有
A. 504 种 B. 1080 种
C. 1224 种 D. 2304 种
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列函数求导正确的是
A. 若 y=x3+2x−1 ,则 y′=3x2+2
B. 若 y=3xlnx ,则 y′=3lnx+3
C. 若 y=sin2x ,则 y′=cs2x
D. 若 y=exx ,则 y′=x−1exx2
10. 将 A,B,C,D,E 这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生,且每个实习医生只到一个科室轮岗学习,则下列判断正确的是
A. 若急诊科要安排两名实习医生，则有 60 种不同的安排方法
B. 若每个科室至多安排两名实习医生，则有 180 种不同的安排方法
C. 若 A,B 被安排在同一科室,则有 36 种不同的安排方法
D. 若 A 被安排在内科,则有 56 种不同的安排方法
11. 已知函数 fx=x3−x2e2x,gx=−x2+8x−14 ,则下列判断正确的是
A. fx 的极大值点为 0
B. 曲线 y=fx 与 y=gx 不存在公切线
C. 若 ∀x∈R,fx≥ax−ba≠0 ，则 ba 的最小值为 1
D. 当直线 y=m 与 fx,gx 的图象的交点个数之和最多时， m 的值可以为 −2e2
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 一质点沿直线运动,位移 s (单位: m ) 与时间 t (单位: s )之间的关系为 st=−2t2+2t+3 , 则该质点在 t=2 时的瞬时速度为 Δ m/s .
13. 某农场计划建造一个底面是正方形,且体积为 216 立方米的长方体形无盖蓄水池. 已知池底每平方米的造价为 200 元，池壁每平方米的造价为 100 元，当该蓄水池的高为_____▲_____米时，建造该蓄水池的总造价(池底和池壁的造价之和，单位:元)最低.
14. 已知 2x+19=a0+a1x+1+a2x+12+a3x+13+⋯+a9x+19 ,则 a2= _____▲_____， a1+a2+322a3+⋯+928a9= _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
某奶茶店推出一款新奶茶——抹茶奶绿. 已知从该店在售的奶茶中随机购买 1 杯, 买到抹茶奶绿的概率是 23 .
(1)若顾客甲从该店在售的奶茶中随机购买 3 杯奶茶, 求顾客甲购买的奶茶中恰好有 2 杯是抹茶奶绿的概率;
(2)若顾客乙从该奶茶店已经做好的 10 杯奶茶(其中抹茶奶绿有 3 杯)中随机购买 4 杯，记顾客乙购买的奶茶中抹茶奶绿的数量为 X ,求 X 的分布列与数学期望.
16. (15分)
已知函数 fx=x3+ax2+bx+3 ，曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程是 4x−y− 1=0 .
(1)求 a ， b 的值；
(2)求曲线 y=fx 过点 1,3 的切线方程.
17. (15分)
已知 2x+1xn 展开式中前三项的二项式系数和为 46 .
(1)求 n 的值；
(2)求 2x+1xn 展开式中含 x−5 的项的系数；
(3)求 2x+1xn 展开式中系数最大的项.
18.(17分)
某校社团联合会开展“招新闯关挑战”，规则如下:闯关挑战由甲、乙两名同学接力完成，第一关的挑战者由抽签决定，甲、乙被抽中的概率均为 0.5 . 若挑战者闯关成功，则由本人继续挑战下一关；若闯关失败，则换另一名同学挑战下一关. 直到两名挑战者闯关都失败，挑战结束. 已知甲每次闯关成功的概率是 0.7 , 乙每次闯关成功的概率是 0.8 , 且甲、乙每次闯关是否成功都是相互独立的. 记第 n 关的挑战者是甲的概率为 Pn .
(1)求 P2 ；
(2)求第二关和第三关的挑战者是同一人的概率；
(3) 求 Pn .
19.(17分)
已知函数 fx=5lnx+x2−7x+a .
(1)求 fx 的单调区间.
(2)设 fx 有 3 个不同的零点 x1,x2,x3 ，且 x10 , 即 g′x>0 ,所以 gx 在 0,+∞ 上单调递增. 不等式 fx2−2x>x2−2x−2 等价于不等式 fx2−2x−x2−2x>−2 ,即 gx2−2x>−2 . 因为 f3=1 ,所以 g3=f3− 3=−2 ,所以 gx2−2x>g3 . 因为 gx 在 0,+∞ 上单调递增,所以 x2−2x>3 ,解得 x3 .
8.C 若选派的是 1 名男生和 3 名女生,则有 C61 A43=144 种不同的选派方案; 若选派的是 2 名男生和 2 名女生，则有 C61C51C42A33=1080 种不同的选派方案. 故满足要求的不同的选派方案有 144+1080=1224 种.
9. ABD 由 y=x3+2x−1 ,得 y′=3x2+2 , A 正确. 由 y=3xlnx ,得 y′=3lnx+3 , B 正确. 由 y=sin2x ,得 y′=2cs2x , C 错误. 由 y=exx ,得 y′=x−1exx2 , D 正确.
10. AC 若急诊科要安排两名实习医生,则有 C52C32 A22=10×3×2=60 种不同的安排方法, A 正确. 若每个科室至多安排两名实习医生,则有 C52C32 A22⋅A33=90 种不同的安排方法, B 错误. 若 A,B 被安排在同一科室,则有 C32 A33+C31 A33=36 种不同的安排方法, C 正确. 当内科只安排一名实习医生时,有 C41+C42C22A22A22=14 种不同的安排方法; 当内科安排两名实习医生时,有 C41C32 A22=24 种不同的安排方法; 当内科安排三名实习医生时,有 C42 A22=12 种不同的安排方法. 故 A 被安排在内科,有 14+24+12=50 种不同的安排方法, D 错误.

11. ACD f′x=2x3+x2−2xe2x=x2x2+x−2e2x . 当 x∈
−∞,−17+14 时, f′x0 ; 当 x∈0,17−14 时, f′x0 . 所以 fx 的极大值点为 0, A 正确.
可以作出曲线 y=fx 与 y=gx 的一条公切线 l ,如图所示, B 错误.
若 ∀x∈R,fx≥ax−b ,则 fx 图象上的每个点都不在直线 y=ax−b 的下方,因为 ba 为直线 y=ax−b 的横截距,由图可知,当直线 y=ax−b 与曲线 fx 相切于点 1,0 时, ba 的值最小,且最小值为 1 , C 正确.
由图可知,直线 y=m 与 fx,gx 的图象的交点个数之和最多为 6,因为 f−1=−2e2 , −17+14