河北邢台市部分学校2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题（含解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章占50%，选择性必修第三册第六章至第七章第4节占50%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. C. 2D. 8
【答案】A
【解析】
【详解】因为，
所以．
2. 某天食堂供应4种不同的主食和8种不同的菜品，小张这天从该食堂选择1种主食和2种不同的菜品，则不同的搭配方案有（ ）
A. 32种B. 60种C. 84种D. 112种
【答案】D
【解析】
【详解】第一步，选择主食，有种不同的搭配方案；
第二步，选择菜品，有种不同的搭配方案．
故不同的搭配方案有种．
3. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可得．
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即，
因为是关于的二次函数，对称轴为，
所以函数在时取到最小值为0，故.
4. 假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率计算即可.
【详解】由题意可得，
，
则．
5. 已知奇函数，则（ ）
A. B. C. 5D. 9
【答案】A
【解析】
【详解】是奇函数，则，
即−x3+(a−1)x2+5f'(2)x=−x3−(a−1)x2+5f'(2)x ，故，
，则，
求导得：，
，解得，
．
6. 若随机变量的分布列如下：
则随机变量的方差（ ）
A. 1B. 1.4C. 2D. 2.4
【答案】A
【解析】
【详解】因为，
所以．
7. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】令，则，
因为，所以，即函数在上单调递增，
由可得，当时，即时，必有，
对于，等价于，
故可得，解得或，
即不等式的解集是.
8. 某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有（ ）
A. 504种B. 1080种C. 1224种D. 2304种
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可分为男女或男女，结合女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，利用排列数与组合数公式，即可求解.
【详解】根据题意，从6名男生和4名女生中选派4人，所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，可分为男女或男女，
①当男女，共有，
先安排编程主持人，剩下的3人全排列，有种选法，
由分步计数原理得，共有种选派方案；
②当男女，共有，
先安排编程主持人，剩下的3人全排列，有种选法，
由分步计数原理得，共有种选派方案，
再由分类计数原理得，共有种不同的选派方案.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数求导正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【详解】由，得，A正确．
由，得，B正确．
由，得，C错误．
由，得，D正确．
10. 将，，，，这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生，且每个实习医生只到一个科室轮岗学习，则下列判断正确的是（ ）
A. 若急诊科要安排两名实习医生，则有60种不同的安排方法
B. 若每个科室至多安排两名实习医生，则有180种不同的安排方法
C. 若，被安排在同一科室，则有36种不同的安排方法
D. 若被安排在内科，则有56种不同的安排方法
【答案】AC
【解析】
【分析】根据排列、组合的定义，结合分类计数原理、分步计数原理逐一求解判断即可.
【详解】若急诊科要安排两名实习医生，
则有种不同的安排方法，A正确．
若每个科室至多安排两名实习医生，则有种不同的安排方法，B错误．
若，被安排在同一科室，则有C32A33+C31A33=36 种不同的安排方法，C正确．
当内科只安排一名实习医生时，有C41+C42C22A22A22=14 种不同的安排方法；
当内科安排两名实习医生时，有种不同的安排方法；
当内科安排三名实习医生时，有种不同的安排方法．
故被安排在内科，有种不同的安排方法，D错误．
11. 已知函数，，则下列判断正确的是（ ）
A. 的极大值点为0
B. 曲线与不存在公切线
C. 若，，则的最小值为1
D. 当直线与，的图象的交点个数之和最多时，的值可以为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先对求导，利用导数符号确定的单调区间和极值点，从而判断选项A，并为选项D中水平直线与图象的交点个数作准备；对选项B，按照公切线的判定思路，设两条曲线切线斜率相同，再比较切线截距，通过构造连续函数并利用零点存在定理说明公切线存在；对选项C，把不等式fx≥ax−b 理解为直线不在曲线上方，先由得到，再验证取切线y=e2x−1时等号可以成立；对选项D，结合的单调性和二次函数的图象，判断交点个数之和最多时所在的范围，再验证m=−2e2符合条件．
【详解】，求导可得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
选项A：因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为；
选项B： 要判断与是否存在公切线，即是否存在实数使得切线斜率相等且截距相等，
设公切线斜率为，则，
，求导可得，
代入可得，解得，对应的截距，
同理对于函数，截距为，
设函数，则公切线存在当且仅当有解，
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
所以存在使，即与存在公切线；
选项C：若，，则图象上的每个点都不在直线的下方，
因为，代入得0≥a−b .
又当时，，若，则ax−b→+∞ ，与fx≥ax−b 矛盾，
所以．故由0≥a−b 得.
下面证明等号可以取到．取直线y=e2x−1，当时，fxx−1=x2e2x.
当时，有x2e2x≤e2，从而fx≥e2x−1；当时，有x2e2x≥e2，
从而fx≥e2x−1；当时等号成立．
所以当，b=e2时，满足题意，且．因此的最小值为，选项C正确．
选项D：由前面单调性可知，直线与的交点个数最多为；
而gx=−x2+8x−14 是开口向下的二次函数，所以直线与的交点个数最多为．
因此交点个数之和最多为，
因为，，且，
所以当直线与，的图象的交点个数之和最多时，
的值可以为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为______．
【答案】
【解析】
【详解】由题意可得，则．
13. 某农场计划建造一个底面是正方形，且体积为216立方米的长方体形无盖蓄水池．已知池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，当该蓄水池的高为______米时，建造该蓄水池的总造价（池底和池壁的造价之和，单位：元）最低．
【答案】6
【解析】
【分析】通过设底面边长为变量，建立总造价的函数，利用导数求函数的最小值，进而得到对应的蓄水池高度.
【详解】设该蓄水池的底面边长为米，则该蓄水池的高为米，
所以建造该蓄水池的总造价fx=200x2+100·4x⋅216x2=200x2+86400x，
所以．
由，得，则在上单调递增；
由，得，则在上单调递减，
故当时，取得最小值，此时该蓄水池的高度为21662=6 米，
即当该蓄水池的高为6米时，建造该蓄水池的总造价最低．
14. 已知，则______，______．
【答案】 ①. ②. 0
【解析】
【分析】运用二项式的通项公式，结合求导的运算法则进行求解即可.
【详解】展开式的通项
，
令，得，则，即．
设，
则．
令，得．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某奶茶店推出一款新奶茶——抹茶奶绿．已知从该店在售的奶茶中随机购买1杯，买到抹茶奶绿的概率是．
（1）若顾客甲从该店在售的奶茶中随机购买3杯奶茶，求顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率；
（2）若顾客乙从该奶茶店已经做好的10杯奶茶（其中抹茶奶绿有3杯）中随机购买4杯，记顾客乙购买的奶茶中抹茶奶绿的数量为，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）用二项分布的概率公式计算即可；
（2）用超几何分布公式算出各个取值的概率，列出分布列，进而可求期望.
【小问1详解】
由题意可得顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率P=C32×232×1−23=49．
【小问2详解】
由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为
故．
16. 已知函数，曲线在点处的切线方程是．
（1）求，的值；
（2）求曲线过点的切线方程．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）结合切点既在曲线上又在切线上的条件，列方程组即可求解；
（2）通过设切点，利用切线方程过已知点的条件，即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
则，
解得，．
【小问2详解】
由（1）可知，则．
当切点是时，所求切线斜率，
则所求切线方程为，即．
当切点不是时，设与曲线相切的切点为，
由导数的几何意义可得，
整理得，即，
解得（舍去），
则所求切线斜率，
故所求切线方程为，即．
综上，所求切线方程为或．
17. 已知展开式中前三项的二项式系数和为.
（1）求的值；
（2）求展开式中含的项的系数；
（3）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据及组合数公式得到方程，解得即可；
（2）写出展开式的通项，利用通项计算可得；
（3）设第项的系数最大，得到关于系数的不等式组，求出，再代入通项计算可得.
【小问1详解】
因为展开式中前三项的二项式系数和为，
所以，即，解得或（舍去），
所以；
【小问2详解】
因为展开式的通项为（其中且），
令，解得，
所以，所以展开式中含的项的系数为；
【小问3详解】
设第项的系数最大，
所以，即，解得，
又，所以，
所以，所以展开式中系数最大的项为.
18. 某校社团联合会开展“招新闯关挑战”，规则如下：闯关挑战由甲、乙两名同学接力完成，第一关的挑战者由抽签决定，甲、乙被抽中的概率均为0.5.若挑战者闯关成功，则由本人继续挑战下一关；若闯关失败，则换另一名同学挑战下一关．已知甲每次闯关成功的概率是0.7，乙每次闯关成功的概率是0.8，且甲、乙每次闯关是否成功都是相互独立的．记第关的挑战者是甲的概率为．
（1）求；
（2）求第二关和第三关的挑战者是同一人的概率；
（3）求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率公式进行求解即可；
（2）根据独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率公式进行求解即可；
（3）根据独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率公式、等比数列的定义和通项公式进行求解即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
第二关和第三关的挑战者都是甲的概率为，
第二关和第三关的挑战者都是乙的概率为，
则第二关和第三关的挑战者是同一人的概率为.
【小问3详解】
由题意可得，即，
所以．
因为，所以，
则是首项为0.1，公比为0.5的等比数列，
所以，
故．
19. 已知函数.
（1）求的单调区间.
（2）设有3个不同的零点，且.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为；
（2）（i）；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再由导数的正负求出单调区间.
（2）（i）利用导数分析单调性，求出极大值与极小值，再列出不等式组求解.
（ii）设，，利用导数确定单调性，并分别证得及即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
由，得或，则函数在上单调递增；
由，得，则函数在上单调递减，
所以函数的单调递增区间为，递减区间为.
【小问2详解】
（i）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，且，
由有3个零点，得，解得，
所以的取值范围为.
（ii）由（1）知，设函数，
求导得，
函数在上单调递增，则，即对恒成立，
因此，由，得，而
函数在上单调递减，则，即；
设，求导得，
函数在上单调递增，则，即对恒成立，
因此，由，得，，
又函数在上单调递增，则，而，于是，
所以.
1
2
3
4
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3