2025-2026学年下学期河北省金太阳高一数学4月期中测评试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河北省金太阳高一数学4月期中测评试卷含答案，共34页。试卷主要包含了 本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:人教 A 版必修第二册 6. 1-8. 6.1。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 与三棱台的顶点数相同的几何体可以是
A. 三棱锥 B. 四棱锥
C. 五棱锥 D. 四棱柱
2. 已知 z=i2−3i3 ,则 iz=
A. 1−3i B. 1+3i C. 3+i D. 3−i

3. 如图，封闭图形 ABC 由线段 AB ， BC 和曲线 AC 组成，其中 A ， O ， B 三点共线， 曲线 AC 是以 O 为圆心， OA 为半径的一段弧,且 AC 所对的圆心角为 π2 ,将该图形绕着 AB 所在的直线旋转一周得到旋转体,则
A. 该旋转体由 14 个球体和 1 个圆锥体组成
B. 该旋转体由 12 个球体和 1 个圆锥体组成
C. 该旋转体由 14 个球体和 1 个圆台体组成
D. 该旋转体由 12 个球体和 1 个圆台体组成
4. 已知 z=4+3i1−2i ,则 z=
A. 5 B. 5 C. 25
D. 55
5. 已知向量 a=x,1,b=3,2,c=−4,y ，且 a//b,a⊥c ，则 x+y=
A. 152 B. 103 C. −152 D. −103
6. 欧拉公式 eθ=csθ+isinθ 是由数学家欧拉发现的,被誉为数学上最优美的公式之一. 已知 eiθ+π4=55+255i ,则 tan2θ=
A. −13 B. −34 C. 13 D. 34

7. 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选择与塔底 B 在同一水平面内的两个测量点 C 与 D ,先测得 ∠BCD=45∘,∠BDC=105∘,CD=40 米,并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30∘ ,则塔高 AB=
A. 602+2063 米 B. 603−2063 米
C. 602−2063 米 D. 603+2063 米

8. 如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AB⊥BC ，侧面 BCC1B1 是正方形, BC=2AB=2,M 是线段 BC1 上的动点,当 AM+B1M 取得最小值时, △AB1M 的面积为
A. 322 B. 6
C. 62 D. 32
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若复数 z=m2−4+m+2im∈R 在复平面内对应的点位于第四象限,则 m 的值可能是
A. -4 B. -3 C. 3 D. 4

10. 棱长为 2 的正方体的平面展开图如图所示, 则在这个正方体中, 下列结论正确的是
A. 该正方体外接球的体积为 323π
B. 直线 AE 与 GH 异面
C. AE⊥CF
D. 四面体 BCDF 的表面积为 4+42
11. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 C=π3 ,且 △ABC 的面积 S=abc4 ,则 A. acsB+bcsA=3
B. a+b≥23
C. sin1∈{x∣x=csA+csB}
D. 关于 B 的方程 3sinB+csB−32sinB=1 存在 2 个不相等的实数根
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 z1=2−i,z2=3+2i ，则 z1−z2 的虚部为_____▲_____.

13. 如图， △A′B′C′ 是用斜二测画法画出的水平放置的 △ABC 的直观图， A′ ， C′ 分别在 y′ ， x′ 轴上，且 A′B′=B′C′=3,A′B′⊥ B′C′,A′B′//O′C′ ,则在 △ABC 中, BC= _____▲_____.
14. 已知向量 a,b,c 满足 a=6,b=5,a⋅b=18 ，且 c−a . c−2b=−12 ，则 c−b 的最大值为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 3asinB=4bcsA .
(1)求 sinA ；
(2)若 a=3 ， △ABC 的面积为 5，求 △ABC 的周长.
16.(15分)
一个有盖的圆柱体容器的轴截面是边长为 2 的正方形，容器的内部装满了水，容器壁厚度忽略不计.
(1)求该容器的表面积与容积；
(2)若另一个圆锥体容器的底面半径为 2,母线长为 22 ，将圆柱体容器内的水全部倒入圆锥体容器(水的损耗忽略不计)，且圆锥体容器的底面水平放置，求圆锥体容器中水面的高度.
17. (15 分)
如图，在正四棱锥 P−ABCD 中， E,F,G 分别是 BC,CD,PD 的中点， H 是棱 PA 上的动点.
(1)若 H 为 PA 的中点，证明: HG// 平面 PBC .
(2)若 PH=14PA ，证明:直线 EF 与 HG 相交于一点.

18.(17分)
如图，在长方形 ABCD 中， AB=4,AD=2,E 是 CD 的中点， F 是线段 BE 上的点(含端点).
(1)若 EF=2FB ，用 AB ， AD 表示 AF ；
(2)求 AC⋅AF 的取值范围；
(3)延长 AF 到点 G ，使得 CG⊥AE ，若 AF=10 ，求 EG .

19.(17分)
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 4,E,F 分别是 CC1,A1D1 上的点，且 CE=1 ， A1F=2 .
(1)求直线 A1B 与 EF 所成角的余弦值.
(2)设 G 是线段 EF 上的动点(含端点).
(i)判断三棱锥 G−A1BD 的体积是否为定值. 若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值.
(ii) 当 CG// 平面 A1BD 时,求 EGFG 的值.

高一数学测评参考答案
1.C 三棱台的顶点数为 6，三棱锥的顶点数为 4，四棱锥的顶点数为 5，四棱柱的顶点数为 8，五棱锥的顶点数为 6 .
2. D z=i2−3i3=−1+3i ,则 iz=i−1−3i=3−i .
3.B 由题可知，该旋转体由 12 个球体和 1 个圆锥体组成.
4. Bz=4+3i1−2i=5 .
5. A 因为 a//b,a⊥c ,所以 2x−3=0,−4x+y=0, 解得 x=32,y=6,x+y=152 .
6. D 由题可知 tanθ+π4=2 ,则 tanθ+11−tanθ=2 ,解得 tanθ=13 ,则 tan2θ=2tanθ1−tan2θ=34 .
7. A 由题可知 ∠CBD=30∘ ，则 BCsin∠BDC=CDsin∠CBD ，则 BC=80sin105∘=80sin45∘+60∘ =202+6 米. 因为 ∠BCA=30∘ ，所以 AB=BC3=206+6023 米.
8.C 如图,将 △BB1C1 沿着 BC1 翻折,使其与 △ABC1 共面,可知当 A,M,B1 三点共线时, AM+B1M 取得最小值. 过 B1 作 B1N⊥ BC1 ,因为 BC=2AB=2 ,侧面 BCC1B1 是正方形,所以 BC1= 22,B1N=2=AB ,易知 AB⊥BC1 ,则 M 为 BN 的中点,则 AM =B1M=102,AB1=6 ,则 △AB1M 的边 AB1 上的高为 1022−622=1 ,则 △AB1M 的面积为 12×6×1=62 .

9. AB 由题可得 m2−4>0,m+2