2024-2025学年河北省部分名校高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省部分名校高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.Cx2=3，则x的值是( )
A. 6B. 4C. 3D. 2
2.科技创新小组有10名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是( )
A. 10B. 20C. 45D. 90
3.已知某随机变量X的分布列为下表，则D(X)=( )．
A. 0.2B. 0.56C. 0.7D. 0.84
4.饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子.已知甲、乙两箱中各有3盒肉馅饺子，7盒素馅饺子，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是( )
A. 310B. 710C. 311D. 411
5.函数f(x)=exx−3的单调递减区间为( )
A. (−∞,3)B. (−∞,4)C. (−∞,3)和(3,4)D. (−∞,3)和(3,5)
6.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mdm).若a=C161⋅2+C162⋅22+⋯+C1616⋅216，a≡b(md10)，则b的值可以是( )
A. 2020B. 2021C. 2022D. 2025
7.将4名优秀教师分配到3个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有( )
A. 72种B. 48种C. 36种D. 24种
8.设a=ln0.60.4,b=ln0.70.3,c=2ln0.5.则( )
A. c>a>bB. b>a>cC. b>c>aD. a>b>c
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机事件A,B,C，下列说法正确的是( )
A. 若B,C互斥，则P(B+C)A =PBA +PCA
B. 若A,B互斥，则P(A|B)+P(B|A)=1
C. 若A,B相互独立，则P(A|B)=P(A)
D. 若P(A|B)=P(A|B)，则P(A)=PA=12
10.若函数f(x)=alnx−ex+2在区间(1,3)上不单调，则实数a的取值可以是( )
A. eB. e2C. 2e3D. 4e3
11.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=a2k(k=1,2,⋯8),a∈R+，则( )
A. a=255256B. a=256255C. E(ξ)=255256D. E(ξ)=502255
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(1−x)2+(1−x)3+⋅⋅⋅+(1−x)100的展开式中，含x2项的系数是 .(用组合数Cmn表示)
13.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第8与第9个数的比为1:3．
14.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为110，收到0的概率为910；发送1时，收到0的概率为15，收到1的概率为45.传输方案为三次传输.三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).若发送0，则依次收到0，0，1的概率为 ；若发送1，则译码为1的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球．
(1)求三种颜色的球都被摸出的概率P3；
(2)记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望．
16.(本小题15分)
在 x+2x2nn∈N∗的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=tlnx−x2−8x+4．
(1)当t=24时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)如果函数在定义域内单调递减，求实数t的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=(x−1)lnx．
(1)求函数y=f(x)的极值点；
(2)若对任意的x∈1e,+∞,f(x)>m(x+1)恒成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
某学校有A,B两家餐厅，王同学开学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天继续去A餐厅的概率为12；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为35，如此往复．
(1)计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率；
(2)记王同学第n天去A餐厅用餐概率为Pn，写出Pn+1关于Pn的表达式；
(3)证明数列Pn−611是等比数列，并求出Pn的通项公式．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.C
6.A
7.C
8.B
9.AC
10.BC
11.BD
12.C1013
13.31
14.811000 ； 112125
15.解：(1)从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有C104=210种，
三种颜色的球都被摸出的不同取法共有2C32C31C41+C31C31C42=126种，
故三种颜色的球都被摸出的概率P3=126210=35；
(2)由题可知，X的取值可能为1,2,3,
且P(X=1)=C44C104=1210,P(X=3)=P3=35，
P(X=2)=1−P(X=1)−P(X=3)=83210，
X的分布列为
E(X)=1×1210+2×83210+3×35=10942．

16.解：(1)在 x+2x2nn∈N∗的展开式中，第2项，第3项，第4项的二项式系数分别为Cn1,Cn2,Cn3，
因为 x+2x2n的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，
所以2Cn2=Cn1+Cn3，即2×n(n−1)2×1=n+n(n−1)(n−2)3×2×1，
化简得：n3−9n2+14n=0，因为n∈N∗，
所以n2−9n+14=0，解得n=7或n=2．
当n=2时，展开式只有3项，不符合题意，所以n=7．
(2)因为Tr+1=C7r( x)7−r2x2r=C7r2rx7−5r2,r=0,1,2,⋅⋅⋅7，
所以当r=1,3,5,7时为有理项，总共有8项，
由插空法可得有理项不相邻的概率为P=A44A54A88=114．
17.解：(1)因为函数f(x)=tlnx−x2−8x+4，
则当t=24时，f(x)=24lnx−x2−8x+4(x>0)，
f′(x)=24x−2x−8=−2x2−8x+24x=−2x2+4x−12x=−2(x−2)(x+6)x．
令f′(x)=0，解得x1=2,x2=−6(舍去)，
由f′(x)>0得0m(x+1)恒成立，即(x−1)lnx−m(x+1)>0在x∈1e,+∞上恒成立，
则m0．
当x∈1e,+∞时，ℎ′(x)>0，
∴ℎ(x)在1e,+∞上单调递增且ℎ(1)=0，
故当x>1时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0,g(x)单调递增；
当1e