河南省南阳市内乡县第一教育集团期末联考九年级上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份河南省南阳市内乡县第一教育集团期末联考九年级上学期1月期末数学试题（解析版），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可.
【详解】A. =3，故不是最简二次根式；
B. =，故不是最简二次根式；
C. ，是最简二次根式；
D. =，故不是最简二次根式；
故选C.
【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式.
2. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）

A. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
分别计算出每个事件的概率，其值约为0.17的即符合题意；
【详解】由图可知实验事件的概率值约为0.17.
A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的硬子，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
故选：B．
3. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．
【详解】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元
即2019年我国快递业务收入为亿元，
∴可列方程：，
故选C．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．
4. 若是锐角，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角函数．根据三角函数的定义和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：如图，，

则：，
∵，
∴；故A正确；
∵，
∴；故B错误；
∵，
∴；故C错误；
∵，
∴；故D错误；
故选：A．
5. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点E、F分别在上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形应用，证明，则，设正方形零件的边长为，则，根据相似三角形的性质得到，解方程即可，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设正方形零件的边长为，则，
∴，解得：，
即这个正方形零件的边长为，
故选：．
6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
7. 如图，是的直径．、是的三等分点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了邻补角的概念，弧、弦、圆心角的关系定理等知识点，先求出，再运用“等弧所对的圆心角相等”即可得解，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系定理并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵C、D是上的三等分点，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件正方形边长4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可．
【详解】解：连接，，

∵点E，F分别是，的中点，
∴四边形矩形，
∴M是的中点，
在正方形中，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
在中，M是的中点，N是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．
9. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2，
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10. 如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，是半圆的直径，点C是上一点，，点D是的中点，连接交于点E，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，勾股定理以及相似三角形的判定和性质．设，由余弦函数的定义结合勾股定理求得和的长，利用垂径定理求得，，推出，证明，据此求解即可．
【详解】解：设与交于点，，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
设
∴，，
∵点D是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把4张卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，
∴两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求概率，能根据题意画出树状图是解题的关键．
13. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出，，，据此求解即可
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且,
解得：且，
故答案是：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是________．

【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：当绕点A顺时针旋转后，当绕点A逆时针旋转后，利用菱形的性质及直角三角形30度角的性质求解即可．
【详解】解：当绕点A顺时针旋转后，如图，

∵，
∴，
∵菱形中，，
∴，
延长交x轴于点E，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当绕点A逆时针旋转后，如图，延长交x轴于点F，

∵，，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或．
【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，正确理解菱形的性质及旋转的性质是解题的关键．
15. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为__________米．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）进行平方差公式计算和二次根式的乘法，最后计算加减法即可，
（）将特殊角的三角函数值代入，然后计算即可；
本题主要考查特殊三角函数值和二次根式的混合运算，熟练掌握特殊三角函数值的运算和掌握运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
，
，
；
【小问2详解】
，
，
．
17. 用适当的方法解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）移项，然后利用公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
所以，；
【小问2详解】
解：，
，
，，，
，
，
，．
18. 小李在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，球飞行路线满足抛物线（如图所示），其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有．
（1）请写出抛物线的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
（2）请求出球洞距离击球点水平距离；
（3）若小李再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行的路线应满足怎样的抛物线？求其表达式．
【答案】（1）开口向下，顶点为，对称轴为
（2）球洞离击球点的距离为
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是求出函数解析式．
（1）将抛物线配方化顶点式，即可得出结论；
（2）令（1）中解析式，解方程求出不等于0的值，再加上2即可；
（3）根据题意设抛物线解析式为，把原点坐标代入解析式求出即可．
【小问1详解】
，
开口向下，顶点为，对称轴为；
【小问2详解】
由（1）中抛物线的解析式可知：令，
则：，
解得（舍去），，
，
球洞离击球点的距离为：（米；
【小问3详解】
要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为，
抛物线的对称轴为直线，顶点为
设此时对应的抛物线解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
抛物线解析式为．
19. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为；
【解析】
【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可．
【详解】解：过作，垂足为，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵的长为，高为，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴设．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
即信号塔的高为．
∴能求出信号塔的高，信号塔的高为．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键．
20. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：_______，________．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】（1）85，87，七；
（2）220 （3）八年级，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【小问1详解】
解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数，
A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
【小问2详解】
（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
【小问3详解】
我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
21. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【小问1详解】
解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
22. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，请判断与是否相似？如果不相似，请说明理由；如果相似，请证明．
【答案】相似，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，进而证明进而即可得证．
详解】解：相似
证明：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
23. 综合与探究：
（1）【教材呈现】下面是华师版上教材页的一道习题，请完成证明：
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：；
（2）【拓展延伸】
如图，在四边形中，是的中点，是的中点．连接并延长分别与的延长线交于点．求证：；
（3）【问题解决】
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，当是直角三角形时，直接写出的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）的长为或．
【解析】
【分析】（）证是的中位线，是的中位线，则，，再证，即可得出结论；
（）连接，取中点，连接，，由（）得，再证明，即可求证；
（）连接，取中点，连接，，由（）得，证明，，由，是的中点，则，，最后分当，当两种情况即可求解；
此题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理及正确添加辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
∵是对角线的中点，是的中点，是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，取中点，连接，，由（）得，

∵是的中点，是的中点，
∴，，
∴，，
∴；
【小问3详解】
如图，连接，取中点，连接，，由（）得，
同（）可知，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∵是直角三角形，，
∴当，
由勾股定理得，，
当，
由勾股定理得，，
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
90
八年级
84
87