河南省南阳市内乡县九年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）

这是一份河南省南阳市内乡县九年级上学期1月期末考试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，错误，故该选项不符合题意；
B、，错误，故该选项不符合题意；
C、，正确，故该选项符合题意；
D、，错误，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型
2. 下列说法不正确的是（ ）
A. “过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件
B. “三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件
C. “以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件
D. “两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件
【答案】D
【解析】
【分析】利用随机事件以及必然事件的定义对各选项进行判断得出答案．
【详解】解：A、“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，故此选项正确，不符合题意；
B、“三角形的一条中线平分三角形的面积”正确，故此选项正确，不符合题意；
C、“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件，比如三条长度为3，4，5的可以构成三角形，三条长度为1，2，3不可以构成三角形，故此选项正确，不符合题意；
D、“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是随机事件，如果两边夹角，即，那么两个三角形全等，如果两边不夹角，那么两个三角形不全等，故此选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了必然事件和随机事件的定义，正确把握相关事件的定义是解题的关键．
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式，将、、的值代入计算即可得出结论．
【详解】解：，，，
，
方程无实数根，
故选：C．
4. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了解直角三角形的相关计算，正确表示出各边长是解题关键．直接根据已知表示出三角形各边进而得到答案．
【详解】解：如图所示：
，
设，则，
故，
则，
故选：C．
5. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A. 2B. C. 8D.
【答案】C
【解析】
【分析】题考查了根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
故选：C．
6. 如图，中弦、相交于点，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质．欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；△中，已知了及外角的度数，即可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解．
【详解】解：是△的外角，
；
，，
；
；
故选：C．
7. 已知抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A. 开口向上B. 经过原点
C. 对称轴是直线D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象性质，根据二次函数的图象性质逐一判断即可．
【详解】解：A选项：∵，
∴抛物线开口向下．故该选项错误；
B选项：把点代入函数中，得左边，右边，
左边右边，
∴抛物线不经过原点．故该选项错误；
C选项：抛物线的对称轴为．故该选项错误．
D选项：抛物线的开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当x>2时，y随x的增大而减小．故该选项正确．
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键．
根据位似的性质解答即可．
【详解】解：∵以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到，且点的坐标是，
∴点的坐标是，
故选：D．
9. 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式．
【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米，
平行于墙的一边长为米．
根据题意得：．
故选：A．
10. 如图，网格小正方形边长为1，的三个顶点均在网格的格点上，中线的交点为，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，由此即可解决问题，关键是掌握三角形重心的性质．
【详解】取中点M，连接，
∵点分别是的中点，与交于O，
∴点O是的重心，
∴C，O，M，共线，
∵，
∴，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若有意义，则能取的最小整数值是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，可得不等式，解不等式可得，在这个范围内的最小整数为．
【详解】解：有意义，
，
解得：，
能取的最小整数值是．
故答案为： ．
12. 的最长弦为，则的半径长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本知识；根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果．
【详解】解：中最长的弦长为，
的直径的长为，
的半径为．
故答案为：4．
13. 为弘扬中华传统文化，我校准备开展学习传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团供学生选择．甲、乙两人随机各选一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法求解概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或的概率即可．
【详解】解：分别记“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团为A，B，C，D，
列表如下：
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择相同社团的结果数有4种，
∴他们选择相同社团的概率为，
故答案为：．
14. 建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用待定系数法可得抛物线解析式为，把y=−1代入可得，据此即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为，将点代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为，
当y=−1时，，
解得，
∴当水面上升米后水面宽度为米，
故答案为：．
15. 如图，在中，，点在上，且，垂足为交于，如果四边形和的面积都为6，那么的面积为_______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形中线性质，中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．证明，得到的面积与的面积均为6，证明得，进而得到的面积为8，即可求出的面积为20．
详解】解：∵，，
∴，
∴的面积与的面积均为6．
∵，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积为6，
∴的面积为8，
∴的面积为．
故答案为：20．
三、解答题（共75分）
16 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则求解；
（2）先算括号里的内容，再利用二次根式乘除法的运算法则求解．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，乘除运算法则，本题属于基础题型．
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），；
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）移项，配方，两边开平方求解即可得到答案；
（2）移项，因式分解求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：移项得，
，
配方得，
，
即，
两边开平方得，
，
∴，；
【小问2详解】
解：移项得，
，
因式分解得，
，
∴或，
∴，．
18. 求证：三边成比例的两个三角形相似．
如图：已知在和中，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．先在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案．
【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点作，交于点，如图：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
19. 2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以任满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了元．
（1）填表（不需化简）：
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用）
【答案】（1）；；
（2）每间客房的定价应为元
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．
（1）住满为间，表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量房间空闲个数，列出代数式；
（2）用：每天的房间收费每间房实际定价入住量，每间房实际定价，列出方程．
【小问1详解】
解：增加10元，就有一个房间空闲，增加元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，
入住的房间数量，房间价格是元，总维护费用是．
故答案是：；；；
【小问2详解】
解：依题意得：，
整理，得，
解得，．
当时，有游客居住的客房数量是：（间）．
当时，有游客居住客房数量是：（间）．
所以当时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为（元）．
答：每间客房的定价应为元．
20. 是的弦，半径、分别交于点E、F，且，连接、．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）证明过程见详解．
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记等腰三角形的性质(等腰三角形顶角的平分线，底边的中线，底边上的高互相重合)是解此题的关键．
(1)过O作于M，根据等腰三角形的性质求出，，再求出答案即可；
(2)根据等腰三角形的性质求出，求出，再求出答案即可．
【小问1详解】
证明：过O作于M，
【小问2详解】
证明：，
，
，
21. 如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，点B到地面m的距离为．
（1）求斜坡l的坡度；
（2）求点M与点N的高度差．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）过点作于点，利用勾股定理可得的长，再根据坡度的定义求解即可得；
（2）过点作于点，作于点，则，，再解直角三角形可得长，然后根据求解即可得．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
∵点到地面的距离为，
∴，
∵，
∴，
则斜坡的坡度为．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
由题意可知，，
∴，，
∴，
答：点与点的高度差为．
22. 如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点．

（1）找出图中一对相似三角形（不全等）并加以证明；
（2）当时．
①求（1）中相似三角形的相似比；
②为中点，动点沿从点向点运动，当__________时，以、、为顶点的三角形与相似．
【答案】（1），证明见解析
（2）①；②5或8.2
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质：
（1）由矩形的性质得出，由折叠得出，通过导角证明，结合，可证；
（2）①由折叠可知，用勾股定理解求出，进而求出，相似三角形对应边长度之比即为相似比；②分和两种情况，根据相似三角形对应边长度成比例求出，进而可求的长度．
【小问1详解】
解： ．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可知：，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：①∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠可知，
在中，
∴，
由（1）可知，
∴相似比为，
（由（1）可知，∴相似比为：）
②或．理由如下：
∵为中点，
，
分两种情况:当时，如图，

，
，
；
当时，如图，

，即，
解得，
；
综上可知，或．
23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似
【解析】
【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【小问1详解】
解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
【小问2详解】
解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
甲乙
A

A

入住的房间数量
房间价格
总维护费用
提价前
60
200
提价后
__________
__________
__________