2025-2026学年江苏省连云港市赣榆区八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年江苏省连云港市赣榆区八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是( )
A. 720名八年级学生的睡眠时间是总体B. 720是样本容量
C. 16个班级是抽取的一个样本D. 每名八年级学生是个体
2.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x(x−1)=x2−xB. x2−1=(x−1)2
C. x2−x−1=x(x−1)−1D. x2−x=x(x−1)
3.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，若添加一个条件，使得四边形ABCD为平行四边形，则下列不正确的是( )
A. AD//BCB. AD=BCC. AB=CDD. ∠A=∠C
4.下列事件中属于必然事件的是( )
A. 检查生产流水线上的一个产品，是合格品B. 三条线段组成一个三角形
C. a是实数，则|a|>0D. 367个人中至少有2个人生日相同
5.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A，E间的距离.若A，E间的距离调节到90cm，菱形的边长AB=30cm，则∠DCB的度数是( )
A. 80∘B. 100∘C. 120∘D. 140∘
6.如图，正方形ABCD的边长等于4，点E、F分别在AD、BC边上，A点关于EF的对称点N恰好是CD边的中点，则DE的长为( )
A. 1
B. 1.2
C. 1.5
D. 1.8
7.如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点.下列说法中不正确的是( )
A. 四边形EMFN一定是平行四边形
B. 若AC⊥BD，则四边形EMFN是矩形
C. 若AB=CD，则四边形EMFN是菱形
D. 若∠ABC+∠DCB=90∘，则四边形EMFN是矩形
8.如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿着C→A→D运动至终点D，设点P运动的路程为x，△BCP的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.把多项式2x2+6xy分解因式时，应提取的公因式是 .
10.《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定.某班有60名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是0.45，则该班学会炒菜的学生频数是 .
11.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD=110∘，则∠CDE= ∘.
12.菱形的面积是24，一条对角线长是6，则菱形的边长是______.
13.如果一个等腰梯形的一个底角为120∘，上底长为3，下底长为5，则其腰长为 .
14.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在y轴上.若点C的坐标为(−4,3)，则点B的坐标为 .
15.如图，已知平行四边形OABC，在平面直角坐标系中，A(5,0)，C(1,4)，直线y=kx−2与BC、OA分别相交，且将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，则k的值是 .
16.已知x+y=3，x2+y2−3xy=4，则x3y+xy3的值为______.
三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
因式分解：
(1)12ab2−6ab；
(2)a2−4；
(3)2x2y−8xy+8y；
(4)(x2+y2)2−4x2y2.
18.(本小题8分)
已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
19.(本小题8分)
某市中考体育实行必考加选考制度，为了解九年级学生的选考倾向，某区对本区各校九年级学生的体育选考科目进行抽样调查.本次选考科目分为四项(项目A：跳绳；项目B：足球；项目C：立定跳远；项目D：篮球)，要求每名学生必须选择且只能选择其中一项.调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)在这次抽样调查中，一共调查了______名学生，请将条形统计图补充完整；
(2)D所对的圆心角为______度；
(3)该区各校共有6000名九年级学生，若该区计划为选考科目是球类的学生购置专用球，按抽样调查的比例估计，该区需要购置多少个专用球？
20.(本小题8分)
篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试，如表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据：
(1)填空：x=______，y=______，z=______；
(2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是______(精确到0.1)；
(3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数.
21.(本小题10分)
如图，已知四边形ABCD是矩形，
(1)请用尺规作图法，分别在AD、BC边上求作点E、F，使得四边形BEDF是菱形(保留作图痕迹，不写作法).
(2)若AB=4，BC=8，试求出(1)中所作菱形BEDF的面积.
22.(本小题10分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点B作BE//AC，过点A作AE//BD，AE，BE交于点E，连接OE.
(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若AC=16，BD=12，求OE的长.
23.(本小题10分)
对于三个非负整数p，a，b，若满足：p=a2−b2，则称p为a与b的“2次幂差数”.
(1)2与1的“2次幂差数”为______；
(2)若p为a与b的“2次幂差数”，且b=k−3，p=−2k+71，求a的最小值.
24.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为E，连结CD、BE.
(1)求证：CE=AD；
(2)若D是AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
25.(本小题12分)
【知识回题】一般地，两数和的完全平方公式为：(a+b)2=a2+2ab+b2，如果我们将(a−b)2写成[a+(−b)]2，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式.过程如下：(a−b)2=[a+(−b)]2=a2+2a⋅(−b)+(−b)2=a2−2ab+b2.
【类比推理】(1)已知两数的立方和公式为a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：a3−b3=a3+(−b)3=______；
【应用公式】(2)因式分解：x3−8；
【拓展提升】(3)如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3.若S1+S2+S3=39，则：
①S2=______；
②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且S3=1，请先将代数式a3+2a2b+2ab2+b3进行因式分解，然后求出代数式的值.
26.(本小题14分)
【问题情境】
定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”.
【数学思考】
(1)如图1，在▱ABCD中，若AB=BC= 10，AC=2，试判断▱ABCD是否为“倍线平行四边形”，并说明理由；
【深入探究】
(2)如图2，▱ABCD为“倍线平行四边形”(BD>AC)，E是BC上的动点，连结AE交BD于点F.
①若E是BC的中点，AC⊥AB，AB=2 2，求AE的长；
②过点A作AG⊥AE交BD于点G，若OG=OA，求证：E是BC的中点.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.720名八年级学生的睡眠时间是总体，选项说法正确，符合题意；
B.抽取了100名学生，故样本容量为100，选项说法错误，不符合题意；
C.抽取的样本是100名学生的睡眠时间，而非16个班级，选项说法错误，不符合题意；
D.每名八年级学生的睡眠时间是个体，选项说法错误，不符合题意．
故选：A.
根据总体、个体、样本、样本容量的定义念逐一分析选项正误即可．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，掌握相应的定义是关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、选项是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、选项分解错误，不符合题意；
C、选项不是因式分解，不符合题意；
D、选项是因式分解，符合题意；
故选：D.
根据因式分解的定义逐项判断即可．
本题主要考查了因式分解的定义，提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、根据AB//CD，AD//BC，能判断四边形ABCD为平行四边形，故A不符合题意；
B、根据AB//CD，AD=BC，不能判断四边形ABCD为平行四边形，故B符合题意；
C、根据AB//CD，AB=CD，能判断四边形ABCD为平行四边形，故C不符合题意；
D、∵AB//CD，
∴∠B+∠C=180∘(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠A=∠C，
∴∠ABC+∠A=180∘，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故D不符合题意；
故选：B.
根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、检查生产流水线上的产品可能不合格，不一定是合格品，因此不是必然事件，不符合题意；
B、三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不一定能组成三角形，因此不是必然事件，不符合题意；
C、a为实数时，当a=0，有|a|=0，不满足|a|>0，因此不是必然事件，不符合题意；
D、一年最多有366天，367人中若前366人生日均不重复，第367人的生日一定与其中1人重复，因此367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件，符合题意．
故选：D.
根据随机事件的定义，绝对值的性质及非负数的性质逐一判断各选项即可．
本题考查的是随机事件，绝对值的性质及非负数的性质，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：连接AC，
∵A，E间的距离为90cm，
∴3AC=90，
解得AC=30，
∴AC的长是30cm，
∵四边形ABCD是菱形，AB=30cm，
∴BC=AB=30cm，CD//AB，
∴AC=BC=AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60∘，
∴∠DCB=180∘−∠B=180∘−60∘=120∘，
故选：C.
连接AC，由A，E间的距离为90cm，求得AC=30cm，由四边形ABCD是菱形，AB=30cm，得BC=AB=30cm，则△ABC是等边三角形，所以∠B=60∘，则∠DCB=180∘−∠B=120∘，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：连接EN，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AD=CD=4，∠D=90∘，
∴△EDN是直角三角形，
设DE=a，则AE=AD−DE=4−a，
∵点A点关于EF的对称点N恰好是CD边的中点，
∴DN=12CD=2，NE=AE=4−a，
在Rt△△EDN中，由勾股定理得：NE2=DE2+DN2，
∴(4−a)2=a2+22，
解得，a=1.5，
∴DE=a=1.5.
故选：C.
连接EN，设DE=a，则AE=4−a，根据对称性质得，DN=12CD=2，NE=AE=4−a，在Rt△△EDN中，由勾股定理即可求出a=1.5，进而得DE=1.5，据此可得出答案．
此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理是已解决问题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴EM//FN//CD,EM=FN=12CD，EN//MF//AB,EN=MF=12AB，
∴四边形EMFN一定是平行四边形，故A正确，不符合题意；
若AC⊥BD，不能得出四边形EMFN是矩形，故B不正确，符合题意；
若AB=CD，则EN=NF=FM=ME，则四边形EMFN是菱形，故C正确，不符合题意；
∵NF//CD，
∴∠NFB=∠BCD，
∵EN//AB，
∴∠END=∠ABD，
∵∠DNF=∠DBC+∠NFB，
若∠ABC+∠DCB=90∘，
∴∠END+∠DNF=∠ABD+∠DBC+∠BCD=∠ABC+∠DCB=90∘，
即∠ENF=90∘，则四边形EMFN是矩形，故D正确，不符合题意；
故选：B.
根据中位线的性质得出EN//MF//AB,EN=MF=12AB，EM//FN//CD,EM=FN=12CD，即可判断A，C，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质得出∠ENF=90∘，即可判断D选项，B选项条件不能得出四边形EMFN是矩形，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定，掌握菱形的性质以及三角形中位线定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接BD，交AC于点E，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠AED=90∘，AE=EC，BE=DE，
由函数图象可得AC=6，△ABC的面积为12，
∴BE=24÷6=4，
∴AE=3，ED=4，
∴AD= AE2+ED2= 32+42=5，
∴a=6+5=11.
故选：B.
结合已知条件及函数图形可得AC=6，△ABC的面积为12，再根据菱形的性质可得∠AED=90∘，AE=3，ED=4，再根据勾股定理可得AD的长度，进而得出答案．
本题主要考查动点问题的函数的图象，理解题意是解题的关键．
9.【答案】2x
【解析】解：2x2+6xy=2x(x+3y)，
故答案为：2x.
根据公因式的确定方法解答即可．
本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
10.【答案】27
【解析】解：60×0.45=27.
∴该班学会炒菜的学生频数是27.
故答案为：27.
根据频数与频率的关系，频数等于频率乘以总人数，进行计算即可．
本题考查求频数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11.【答案】35
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90∘，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=110∘，
∴∠DOE=70∘，∠ODC=∠OCD=12(180∘−70∘)=55∘，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=90∘−∠DOE=20∘，
∴∠CDE=∠ODC−∠ODE=55∘−20∘=35∘；
故答案为：35.
由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD=55∘，由直角三角形的性质求出∠ODE=20∘，即可得出答案．
本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：由题意得：BD=6，
∵菱形的面积为24，
∴AC=8，
∴AO=4，OD=3，
在Rt△AOD中，AD= AO2+OD2= 32+42=5，
故答案为：5.
根据菱形的面积求出另一条对角线的长，再由对角线互相垂直且平分，可得直角三角形，利用勾股定理可得出边长．
本题考查菱形的性质，比较简单，关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．
13.【答案】2
【解析】解：如图，过点A作AE//DC，交BC于E，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AD//BC，AB=CD，
∴∠B=180∘−∠BAD=180∘−120∘=60∘，
∵AE//DC，AD//BC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴EC=AD=3，AE=CD，
∴BE=BC−EC=5−3=2，AB=AE，
∵AB=AE，∠B=60∘，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=2，即等腰梯形的腰长为2，
故答案为：2.
过点A作AE//DC，交BC于E，证明四边形AECD为平行四边形，根据平行四边形的性质得到EC=AD=3，AE=CD，再根据等边三角形的判定和性质解答．
本题考查的是等腰梯形的性质，掌握等腰梯形的概念、平行四边形的性质是解题的关键．
14.【答案】(−4,8)
【解析】解：延长BC交x轴于H，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC//OA，BC=OC，
∵AO⊥x轴，
∴BH⊥x轴，
∵点C的坐标为(−4,3)，
∴OH=4，CH=3，
∴OC= CH2+OH2=5，
∴BH=BC+CH=8，
点B的坐标为(−4,8).
故答案为：(−4,8).
延长BC交x轴于H，由菱形的性质推出BC//OA，BC=OC，由勾股定理求出OC= CH2+OH2=5，得到BH=BC+CH=8，于是得到点B的坐标为(−4,8).
本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，关键是掌握菱形的性质，由勾股定理求出OC的长．
15.【答案】43
【解析】解：∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AC的中点为平行四边形的对角线的交点，
而A(5,0)，C(1,4)，
∴平行四边形ABCO的对角线的交点坐标为(3,2)，
∵直线y=kx−2将▱OABC的面积分成相等的两部分，
∴直线y=kx−2经过点(3,2)，
∴3k−2=2，解得k=43.
故答案为：43.
根据平行四边形的性质得AC的中点为平行四边形的对角线的交点，则利用线段的中点坐标公式得到平行四边形ABCO的对角线的交点坐标为(3,2)，然后把(3,2)代入y=kx−2可得到k的值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，判断出直线y=kx−2经过点(3,2)是解本题的关键．
16.【答案】7
【解析】解：∵x+y=3，
∴(x+y)2=9，
即x2+y2+2xy=9①，
又x2+y2−3xy=4②，
①-②，得5xy=5，
xy=1.
∴x2+y2=4+3xy=7.
∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=7.
故答案为7.
根据已知条件，运用完全平方公式求得xy的值，再进一步运用因式分解的方法整体代入求得代数式的值．
此题综合考查了因式分解的灵活运用，运用整体代入思想可以简便计算．
17.【答案】6ab(2b−1) (a+2)(a−2) 2y(x−2)2 (x+y)2(x−y)2
【解析】解：(1)12ab2−6ab=6ab(2b−1)；
(2)a2−4=(a+2)(a−2)；
(3)2x2y−8xy+8y=2y(x2−4x+4)=2y(x−2)2；
(4)(x2+y2)2−4x2y2=(x2+y2+2xy)(x2+y2−2xy)=(x+y)2(x−y)2.
(1)利用提公因式法分解因式即可；
(2)利用平方差公式分解因式即可；
(3)先提公因式2y，再利用完全平方公式分解因式即可；
(4)先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：如图，连接BD，设对角线交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，OA−AE=OC−CF，
∴OE=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形．
【解析】欲证明四边形BEDF是平行四边形，只要证明OE=OF，OB=OD即可；
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
19.【答案】500； 36 3000个
【解析】解：(1)150÷30%=500(名).
样本中选考科目是B“足球”的人数为500−150−100−50=200(人)，
补全条形统计图如下：
故答案为：500；
(2)360∘×50500=36∘，
故答案为：36；
(3)6000×200+50500=3000(个).
答：该区需要购置3000个专用球．
(1)根据项目A的人数乘以百分比求出学生的总人数，进而求出项目B的人数，即可解答；
(2)用360∘乘D所占百分比可得D所对的圆心角度数；
(3)先求出专用球的百分比，再乘以该区各校九年级学生总人数，即可解答．
本题考查了条形统计图、扇形统计图和用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】100，0.83，415；
0.8；
120次．
【解析】(1)x=81÷0.81=100，y=249÷300=0.83，z=500×0.83=415，
故答案为：100，0.83，415；
(2)该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是0.8，
故答案为：0.8；
(3)150×0.8=120(次)，
答：通过计算估计他命中的次数为120次．
(1)根据频率=频数÷总数求解即可；
(2)利用频率估计概率即可；
(3)总投篮次数乘以投中概率估计值即可得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21.【答案】(1)如图，点E，F为所求; (2)20
【解析】解：(1)连接BD，利用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线交AD，BC于点E，F，如图，点E，F为所求．
证明如下：设BD与EF交于点O，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90∘，AD//BC，
∴∠EDO=∠FBO，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴OD=OB，EB=ED，FB=FD，
在△OED和△OFB中，
∠EDO=∠FBOOD=OB∠DOE=∠BOF，
∴△OED≌△OFB(ASA)，
∴ED=FB，
∴EB=ED=FB=FD，
∴四边形BEDF为菱形，
∴点E，F为所求作的点．
(2)设菱形BEDF的边长为x，
在Rt△ABE中，AE=AD−ED=8−x，AB=4，BE=x，
由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，
即：x2=42+(8−x)2，
解得：x=5，
∴菱形的BEDF的边长为5，
∴S菱形BEDF=AB×BF=4×5=20.
(1)连接BD，作BD的垂直平分线交AD，BC于点E，F，则四边形BEDF为菱形；由EF是BD的垂直平分线得EB=ED，FB=FD，OD=OB，再证△OED和△OFB全等得ED=FB，进而得EB=ED=FB=FD，据此可判定四边形BEDF为菱形；
(2)设菱形BEDF的边长为x，在Rt△ABE中由勾股定理求出x即可．再根据S菱形BEDF=AB×BF=4×5=20.
此题主要考查了基本尺规作图，菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等，解答此题的关键熟练掌握利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线的方法与步骤，理解四条边都相等的四边形是菱形．
22.【答案】见解析；
10.
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴▱ABCD是菱形；
(2)解：∵BE//AC，AE//BD，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵▱ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90∘，
∴四边形AEBO是矩形，
∴∠EAO=90∘，
∵AO=12AC=8，AE=OB=12BD=6，
∴OE= AE2+AO2=10.
(1)根据平行四边形的性质得到AD//BC，求得∠DAC=∠BCA，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠BAC，求得∠BAC=∠ACB，得到AB=BC，根据菱形的判定定理得到▱ABCD是菱形；
(2)根据平行四边形的判定定理得到四边形AEBO是平行四边形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，求得∠AOB=90∘，根据矩形的性质得到∠EAO=90∘，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
23.【答案】3 8
【解析】解：(1)2与1的“2次幂差数”：
p=a2−b2，
代入a=2、b=1得：
p=22−12=4−1=3；
故答案为：3；
(2)因为p=a2−b2，
将b=k−3、p=−2k+71代入得：
a2−(k−3)2=−2k+71，
a2−(k2−6k+9)=−2k+71，
a2=k2−6k+9−2k+71，
a2=k2−8k+80，
a2=(k−4)2+64，
因为(k−4)2≥0，
当(k−4)2=0(即k=4)时，
a2最小为64，
又因为a是非负整数，
所以a= 64=8，
即a的最小值为8.
(1)根据“2次幂差数”的定义，直接代入a=2、b=1，计算22−12即可；
(2)代入定义：将b=k−3、p=−2k+71代入p=a2−b2，得到a2−(k−3)2=−2k+71；化简等式：展开并整理，得到a2=(k−4)2+64；求最小值：利用平方的非负性，当(k−4)2=0时，a2最小为64，故a的最小值为8.
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据“2次幂差数”定义解决问题．
24.【答案】(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC//DE，
∵MN//AB，即CE//AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
(2)解：当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形，理由是：
理由：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90∘，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴▱四边形BECD是菱形；
∵∠ACB=90∘，∠A=45∘，
∴∠ABC=∠A=45∘，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90∘，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形．
【解析】(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
(2)当∠A=45∘时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．
本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
25.【答案】(a−b)(a2+ab+b2) (x−2)(x2+2x+4) ①13；②95
【解析】解：(1)a3−b3
=a3+(−b)3
=[a+(−b)][a2−a⋅(−b)+(−b)2]
=(a−b)(a2+ab+b2)，
因此，a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)；
(2)x3−8
=x3−23
=(x−2)(x2+2x+4)；
(3)①设直角三角形的短直角边为b，长直角边为a，
大正方形ABCD的边长为a+b，
故S1=(a+b)2=a2+2ab+b2；
小正方形MNPQ的边长为a−b，
故S3=(a−b)2=a2−2ab+b2；
四边形EFGH的面积S2=a2+b2，
由S1+S2+S3=39，
代入得：(a2+2ab+b2)+(a2+b2)+(a2−2ab+b2)=39，
化简：3a2+3b2=39，
a2+b2=13，
因此，S2=13.
故答案为：13；
②a3+2a2b+2ab2+b3
=(a3+b3)+(2a2b+2ab2)
=(a+b)(a2−ab+b2)+2ab(a+b)
=(a+b)(a2−ab+b2+2ab)
=(a+b)(a2+ab+b2)，
因为S3=(a−b)2=1，a2+b2=13，
得：(a−b)2=a2−2ab+b2=1，
13−2ab=1，
ab=6，
(a+b)2=a2+2ab+b2=13+2×6=25，
a+b=5，
代入因式分解结果：(a+b)(a2+ab+b2)=5×(13+6)=95.
(1)将a3−b3转化为a3+(−b)3，代入立方和公式a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)，把公式中的b替换为−b，化简得a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)；
(2)将8写成23，得x3−8=x3−23，代入立方差公式，得(x−2)(x2+2x+4)；
(3)①设直角三角形直角边为a、b，则S1=(a+b)2，S3=(a−b)2，S2=a2+b2.由S1+S2+S3=39，展开得3(a2+b2)=39，故S2=a2+b2=13；
②因式分解：a3+2a2b+2ab2+b3=(a+b)(a2+ab+b2).求值：由S3=(a−b)2=1，结合a2+b2=13，得ab=6；(a+b)2=25，故a+b=5.代入得5×(13+6)=95.
本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式，解决本题的关键是运用立方和、立方差、完全平方公式解决问题．
26.【答案】解：▱ABCD是“倍线平行四边形”．理由如下：
在▱ABCD中，AO=CO=1，BO=DO.
∵AB=BC= 10，
∴BO⊥AC，
∴∠AOB=90∘，
∴BO= ( 10)2−12=3，
∴BD=6，
∴BD=3AC，
∴▱ABCD是“倍线平行四边形” ① 3；②证明：∵OG=OA，
∴∠OAG=∠OGA，
∵∠OAG+∠FAO=90∘，∠OGA+∠OFA=90∘，
∴∠FAO=∠OFA，
故OA=OF，
∴AO=OG=OF=OC，
又∵∠EAG=90∘，
∴四边形AFCG为矩形．
∴AG//CF，AG=CF.
作BH⊥AE的延长线于点H，如图2所示，
∴BH//CF//AG.
∵AO=FO=OG，AO=13BOBO，
∴BF=2AO=2FO=FG，
在△BHF和△GAF中，
∠GAF=∠BHFBF=BG∠BFH=∠GFA，
∴△BHF≌△GAF(ASA).
∴BH=AG，
∵AG=FC，
∴BH=FC.
∵BH//CF，
∴∠FCE=∠HBE，
在△BHE和△CFE中，
∠FCE=∠HBE∠BEH=∠CEFBH=FC，
∴△BHE和△CFE(AAS)，
∴BE=CE，即E是BC的中点
【解析】(1)解：▱ABCD是“倍线平行四边形”．理由如下：
在▱ABCD中，AO=CO=1，BO=DO.
∵AB=BC= 10，
∴BO⊥AC，
∴∠AOB=90∘，
∴BO= ( 10)2−12=3，
∴BD=6，
∴BD=3AC，
∴▱ABCD是“倍线平行四边形”．
(2)①解：由▱ABCD为“倍线平行四边形”可知AO=13BO，
在RT△ABO中，设AO=x，BO=3x，
则由勾股定理可得x2+(2 2)2=(3x)2，
解得x=1，故AO=1，AC=2，
故BC= AB2+AC2=2 3，
∵AE为斜边BC上的中线，
∴AE=12BC= 3；
②证明：∵OG=OA，
∴∠OAG=∠OGA，
∵∠OAG+∠FAO=90∘，∠OGA+∠OFA=90∘，
∴∠FAO=∠OFA，
故OA=OF，
∴AO=OG=OF=OC，
又∵∠EAG=90∘，
∴四边形AFCG为矩形．
∴AG//CF，AG=CF.
作BH⊥AE的延长线于点H，如图2所示，
∴BH//CF//AG.
∵AO=FO=OG，AO=13BOBO，
∴BF=2AO=2FO=FG，
在△BHF和△GAF中，
∠GAF=∠BHFBF=BG∠BFH=∠GFA，
∴△BHF≌△GAF(ASA).
∴BH=AG，
∵AG=FC，
∴BH=FC.
∵BH//CF，
∴∠FCE=∠HBE，
在△BHE和△CFE中，
∠FCE=∠HBE∠BEH=∠CEFBH=FC，
∴△BHE和△CFE(AAS)，
∴BE=CE，即E是BC的中点．
(1)由已知可得▱ABCD为菱形，又AC=2，故AO=1，由勾股定理可得BO=3，故BD=6，即BD=3AC，故▱ABCD为“倍线平行四边形”；
(2)①由▱ABCD为“倍线平行四边形”可知AO=13BO，在RT△ABO中，设元建立勾股方程即可解得AO=1，AC=2，故BC=2 3，因为AE为斜边BC上的中线，故AE=12BC= 3；
②先证明四边形AFCG为矩形．则AG//CF，AG=CF.作BH⊥AE的延长线于点H，如图2所示，故BH//CF//AG.再证明BF=FG，证明△BHF≌△GAF(ASA)，可得BH=FC.由BH//CF，得∠FCE=∠HBE，证明△BHE和△CFE(AAS)，可得BE=CE，即证得E是BC的中点．
本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键．投篮的次数
10
50
x
200
300
400
500
命中的次数
7
40
81
163
249
326
z
命中的频率
0.70
0.80
0.81
0.82
y
0.82
0.83