2025-2026学年江苏省无锡市锡山区锡东片八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年江苏省无锡市锡山区锡东片八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），文件包含甘肃省2026届高三下学期4月联考数学答案pdf、甘肃省2026届高三下学期4月联考数学pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
1.下列调查中，适宜采用普查的是( )
A. 了解无锡市的空气质量B. 调查华为三折叠手机屏幕的使用寿命
C. 调查无锡市所有九年级学生视力的情况D. 我国新一代潜艇下水前的检查
2.下列关于特殊四边形性质的说法，正确的是( )
A. 矩形的对角线互相垂直且平分
B. 正方形的对角线相等且互相垂直平分
C. 菱形的对角线相等且互相平分
D. 平行四边形是中心对称图形也是轴对称图形
3.在▱ABCD中，若BC=4，周长为14，则AB的长为( )
A. 3
B. 4
C. 7
D. 8
4.要使如图所示的▱ABCD成为矩形，需增加的一个条件可以是( )
A. AC=BD
B. AB=CD
C. AB//CD
D. ∠ABC=∠ADC
5.在一个不透明的袋子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一枚棋子，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸棋试验后发现，摸到黑棋的频率稳定在0.2，则袋中白棋约有( )
A. 8枚B. 30枚C. 40枚D. 50枚
6.下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是( )
A. x2−2x+1=x(x−2)+1B. x2−4y2=(x−2y)(x+2y)
C. (x+3)(x−3)=x2−9D. x2+3x−4=(x+4)(x−1)+x
7.若多项式x2+mx−12可分解为(x−3)(x+4)，则m的值为( )
A. −1B. 1C. 7D. −7
8.多项式15x3y2−10x2y3+5x2y2的公因式是( )
A. 5x2y2B. 5xy2C. 5x3y2D. 5x2y
9.如图，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，BE=AD，连接AE，若∠C=100∘，则∠DAE的度数是( )
A. 30∘
B. 40∘
C. 50∘
D. 70∘
10.如图，已知正方形ABCD边长为8，E为AD中点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，P，Q分别为边BC，DC上一点，将△CPQ沿PQ翻折，使C点对应点G落在边BF上，若BC=5，则DQ等于( )
A. 236
B. 133
C. 72
D. 53 5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.20262−20252= .
12.若x2−4x+k=(x−2)2，则k= .
13.为了解某校1000名学生的学习质量，从20个班中每班随机抽取5名学生进行调研，则此次抽样调查的样本容量为 .
14.“任意画一个三角形，其内角和是180∘”是 事件.(填“随机”或“确定”)
15.在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了20名学生进行了心理健康测试，并将测试结果统计如下：“健康”：15人，“亚健康”：4人，“不健康”：1人．则测试结果为“健康”的频率是______.
16.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件：______，使四边形ABCD是菱形．
17.如图，在△ABC中，∠CAB=120∘，CA=CB=6，点N在直线BC上运动，以AN为边向AN的右侧作菱形ANEF，且∠NAF=120∘，M为AC中点，连接MF，则点N在运动过程中，MF的最小值为 .
18.图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，MN为滑轨，AB、CE、PC、PD为固定长度的连杆.支点A固定在MN上，支点B固定在连杆CE上，支点D固定在连杆AB上.支点P可以在MN上滑动，点P的滑动带动点B、C、D、E的运动.已知MN=30cm，AM=1cm，AD=15cm，PC=BD=5cm，PD=BC=BE=9cm.窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上.当窗户开到最大时，BC⊥MN.
(1)若∠ABC=90∘，则支点P与支点A的距离为 cm；
(2)窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
分解因式：
(1)a(x−y)−b(y−x)；
(2)16a4−81b4.
20.(本小题8分)
(1)先分解因式，再求值：3x3y−12x2y2+12xy3，其中x=2，y=12；
(2)已知a+b=5，ab=6，求a3b+2a2b2+ab3的值.
21.(本小题8分)
某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
(1)a=______；b=______.
(2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是______.(精确到0.01)
(3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？
22.(本小题8分)
科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出).
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)参加问卷调查的学生人数为50名，补全条形统计图(画图并标注相应数据)；
(2)在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占______%，所对应的圆心角度数为______；
(3)若该校八年级一共有800名学生，试估计选择“创客”课程的学生有多少名？
23.(本小题8分)
如图，四边形ABFE中，AE//BF，AE=12BF，若点C为BF的中点，连接AC，BE交于点D.
(1)求证：四边形ACFE是平行四边形；
(2)若△ABC是等边三角形，且AE=3，求EF的长.
24.(本小题6分)
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点称为格点，线段AB的端点在格点上.请按下列要求画出一个四边形ABCD，且四边形ABCD的顶点都在格点上.
(1)在图①中，画一个面积为4的平行四边形ABCD；
(2)在图②中，画一个面积为6的矩形ABCD；
(3)在图③中，画一个面积为3的菱形ABCD.
25.(本小题10分)
在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm.
(1)将矩形纸片沿BD折叠，点A落在点E处(图1)，连接CE.设DE与BC相交于点F，求BF的长；
(2)图(1)中的四边形BECD是怎样的四边形？请说明理由；
(3)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合(图2)，求折痕GH的长.
26.(本小题10分)
综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.
【操作判断】
操作一：
如图1，正方形纸片ABCD，将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为M，连接AM；将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF.
(1)根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①∠EAF=______ ∘；②线段EF，BE，DF之间的数量关系为______.
【深入探究】
操作二：
如图2，将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE、NF.
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时(点E不与点B，C重合)，点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示.
(2)小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论AP=BE+DF，请证明该结论是否成立，并说明理由.
【拓展应用】
(3)若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，求出线段BE的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.了解无锡市的空气质量，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；
B.调查华为三折叠手机屏幕的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；
C.调查无锡市所有九年级学生视力的情况，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；D.我国新一代潜艇下水前的检查，适合采用普查的方式，故本选项符合题意．
故选：D.
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2.【答案】B
【解析】解：对于选项A，
∵矩形的对角线相等且平分，但不互相垂直，
∴该选项不正确，不符合题意；
对于选项B，
∵正方形的对角线相等且互相垂直平分，
∴该选项正确，符合题意；
对于选项C，
∴菱形的对角线垂直且互相平分，但不相等，
∴该选项不正确，不符合题意；
对于选项D，
∵平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，
∴该选项不正确，不符合题意，
故选：B.
对于选项A，根据矩形的对角线相等且平分，但不互相垂直，由此可对选项进行判断；
对于选项B，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分，由此可对选项进行判断；
对于选项C，根据菱形的对角线垂直且互相平分，但不相等，由此可对选项进行判断；
对于选项D，根据平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，由此可对选项进行判断，据此即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质，熟练掌握平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质是解决问题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC=4，
∵平行四边形ABCD使得周长为14，
∴AB+BC=7，
∴AB=3，
故选：A.
根据平行四边形的性质即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
4.【答案】A
【解析】解：A、由AC=BD，能判定▱ABCD是矩形，故符合题意；
B、由AB=CD，不能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意；
C、由AB//CD，不能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意；
D、由∠ABC=∠ADC，不能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意；
故选：A.
由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：设袋中白棋有x枚，
∵随机从袋中摸出一枚棋子，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸棋试验后发现，摸到黑棋的频率稳定在0.2，
∴摸到黑棋的概率约为0.2，
又∵总棋子数为(10+x)枚，黑棋有10枚，
∴1010+x=0.2，
解得x=40，
经检验，x=40是方程的解，
故选：C.
设袋中白棋有x枚，先估算出摸到黑棋的概率约为0.2，再由概率公式求解即可．
本题考查的是利用频率估计概率，熟记概率公式是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，据此逐项分析判断如下：
∴A选项 结果为x(x−2)+1，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
B选项x2−4y2=(x−2y)(x+2y)，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意；
C选项 (x+3)(x−3)=x2−9，是整式乘法运算，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意；
D选项 结果为(x+4)(x−1)+x，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
故选：B.
因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，根据定义逐一判断即可．
本题考查了因式分解的定义，熟练掌握该知识点是关键．
7.【答案】B
【解析】解：原式=x2+4x−3x−12=x2+x−12，
∴将(x−3)(x+4)展开结果与x2+mx−12对比，对应项系数相等，可得m=1.
故选：B.
将(x−3)(x+4)分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出m的值．
本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵多项式的各项系数为15，−10，5，三者的最大公约数是5，
各项共有的相同字母为x和y，
x在各项的次数分别为3，2，2，最低次幂为x2，
y在各项的次数分别为2，3，2，最低次幂为y2，
∴该多项式的公因式为5x2y2.
故选：A.
按照公因式的求解方法，先计算各项系数的最大公约数，再确定各项共有的相同字母，取相同字母的最低次幂，相乘即可得到公因式．
本题考查了公因式，熟练掌握该知识点是关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，点E是对角线BD上一点，
∴BC=AB=CD=AD，∠BAD=∠C=100∘，AB//CD，
∴∠ABC=180∘−∠C=80∘，
∴∠ABE=12∠ABC=40∘，
∴∠BAE+∠BEA=180∘−∠ABE=140∘，
∵BE=AD，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA=70∘，
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=100∘−70∘=30∘.
故选：A.
根据菱形的性质得到BC=AB=CD=AD，∠BAD=∠C=100∘，∠ABC=180∘−∠C=80∘，∠ABE=12∠ABC=40∘，由BE=AD，得到AB=BE，从而根据“等边对等角”得到∠BAE=∠BEA=70∘，根据角的和差即可求解．
本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接EG，作GH⊥CD.
由题意可得：
∴AB=CD=AD=8，∠A=∠D=90∘，
∴AE=DE=4
∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，
∴BF=BA=8，EF=AE=4，∠F=∠A=90∘，∠ABE=∠EBG
∵BG=5，
∴GF=BF−BG=3，
∴EG= EF2+GF2= 42+32=5，
∴EG=BG，
∴∠EBG=∠BEG，
∴∠ABE=∠BEG，
∴AB//EG，
∴∠GED=∠A=90∘，
又∵GH⊥CD，∠D=90∘，
∴DH=EG=5，GH=ED=4，
设DQ=x，则QH=5−x
∵将△CPQ沿PQ翻折使C点对应点G落在边BF上，
∴GQ=CQ=8−x，
GQ2=GH2+QH2，
∴(8−x)2=42+(5−x)2，
解得x=236，
∴DQ=236.
故选：A.
连接EG，作GH⊥CD.由正方形的性质可得AB=CD=AD=8，∠A=∠D=90∘，
由折叠的性质可得BF=BA=8，EF=AE=4，∠F=∠A=90∘，∠ABE=∠EBG
进而可得∠ABE=∠BEG，AB//EG，∠GED=∠A=90∘，从而可得四边形EGHD是矩形．设DQ=x，则QH=5−x，GQ=CQ=8−x，根据勾股定理列方程求出x的值即可得解．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】4051
【解析】解：由平方差公式 a2−b2=(a−b)(a+b)可知，
20262−20252 =(2026−2025)(2026+2025)=1×4051=4051，
故答案为：4051.
观察式子为两个连续整数的平方差，用平方差公式分解因式简化计算，避免直接计算大数平方．
本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键．
12.【答案】4
【解析】解：由条件可得：(x−2)2=x2−4x+4，
因此原等式可化为：
x2−4x+k=x2−4x+4，
对比等式两边常数项可得：
k=4.
故答案为：4.
先将等式右侧的完全平方展开，再通过对比等式两边对应项系数即可求出k的值．
本题考查了配方法，熟练掌握该知识点是关键．
13.【答案】100
【解析】解：根据题意可知，样本容量为20×5=100.
故答案为：100.
样本容量是指样本中个体的数量，根据抽样方式计算得出．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，掌握总体、个体、样本、样本容量的定义是关键．
14.【答案】确定
【解析】解：“任意画一个三角形，其内角和是180∘”是必然事件，属于确定事件，
故答案为：确定．
根据三角形内角和定理、必然事件的概念判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
15.【答案】34
【解析】解：∵“健康”：15人，“亚健康”：4人，“不健康”：1人，共有20人，
∴测试结果为“健康”的频率是1520=34.
故答案为：34.
根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)，即频率=频数÷总数，进而得出答案．
此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的求法是解题关键．
16.【答案】AC⊥BD(答案不唯一)
【解析】解：添加AC⊥BD，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：AC⊥BD(答案不唯一).
根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
17.【答案】 3
【解析】解：设AB的中点为D，连接DN，过点D作DH⊥BC交直线BC于点H，如图：

在△ABC中，∠CAB=120∘，CA=AB=6，
∴AD=BD=12AB=3，∠ABC=∠ACB=12(180∘−∠CAB)=30∘，
∵点M是AC的中点，
∴AM=CM=12AB=3，
∴AD=AM=3，
∵四边形ANEF是菱形，∠NAF=120∘，
∴AN=AF，∠CAB=∠NAF=120∘，
∴∠DAN+∠NAC=∠NAC+∠MAF，
∴∠DAN=∠MAF，
∴△ADN≌△AMF(SAS)，
∴ND=MF，
∴当ND为最小时，MF为最小，
根据“垂线段最短”得：DN≤DH，
∴当点N与点H重合时，DN为最小，最小值为线段DH的长，
∴MF的最小值为线段DH的长，
在Rt△BDH中，∠ABC=30∘，
∴DH=12BD=32，
∴MF的最小值为32.
故答案为：32.
设AB的中点为D，连接DN，过点D作DH⊥BC交直线BC于点H，依题意得AD=BD=AM=CM=3，∠ABC=∠ACB=30∘，先证明∠DAN=∠MAF，进而依据“SAS”判定△ADN和△AMF全等得ND=MF，由此得当ND为最小时，MF为最小，根据“垂线段最短”得当点N与点H重合时，DN为最小，最小值为线段DH的长，则MF的最小值为线段DH的长，然后在Rt△BDH中，由∠ABC=30∘得DH=12BD=32，由此即可得出MF的最小值的最小值．
此题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，理解菱形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
18.【答案】3 34
12

【解析】解：(1)∵PC=BD=5cm，PD=BC=9cm，
∴四边形CBDP是平行四边形，
∴BC//DP，
∴∠ADP=∠ABC=90∘，
∵AD=15cm，PD=9cm，
∴PA= AD2+PD2= 152+92=3 34cm.
故答案为：3 34；
(2)∵当窗户开到最大时，BC⊥MN，BC//DP，
∴DP⊥MN，
∴∠DPA=90∘，
∵AD=15cm，PD=9cm，
∴PA= AD2−DP2= 152−92=12cm；
当关闭状态下，PA=PD+AD=9+15=24cm，
∴窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为24−12=12cm，
故答案为：12.
(1)先证四边形CBDP是平行四边形，推出∠ADP=∠ABC=90∘，再根据勾股定理解Rt△ADP即可；
(2)当窗户开到最大时，DP⊥MN，根据勾股定理解Rt△ADP求出AP；当关闭状态下，PA=PD+AD=9+15=24cm，由此可解．
本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型．
19.【答案】(x−y)(a+b) (4a2+9b2)(2a+3b)(2a−3b)
【解析】解：(1)原式=a(x−y)+b(x−y)
=(x−y)(a+b)；
(2)原式=(4a2+9b2)(4a2−9b2)
=(4a2+9b2)(2a+3b)(2a−3b).
(1)用提公因式法分解因式即可；
(2)用平方差公式分解因式即可．
本题考查了因式分解的方法，熟练掌握该知识点是关键．
20.【答案】3xy(x−2y)2，3 ab(a+b)2，150
【解析】解：(1)3x3y−12x2y2+12xy3，
=3xy(x2−4xy+4y2)
=3xy(x−2y)2；
因为x=2，y=12；
原式=3×2×12×(2−2×12)2
=3×1×1
=3；
(2)a3b+2a2b2+ab3
=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2；
因为a+b=5，ab=6，
所以原式=6×52=150.
(1)提取公因式：原式提取公因式3xy，得到3xy(x2−4xy+4y2)；运用完全平方公式：括号内x2−4xy+4y2符合完全平方公式(a−b)2=a2−2ab+b2，分解为(x−2y)2，最终因式分解结果为3xy(x−2y)2；代入求值：将x=2，y=12代入，计算得3×2×12×(2−2×12)2=3.
(2)提取公因式：原式提取公因式ab，得到ab(a2+2ab+b2)；运用完全平方公式：括号内a2+2ab+b2符合完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，分解为(a+b)2，最终因式分解结果为ab(a+b)2；代入求值：将a+b=5，ab=6代入，计算得6×52=150.
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式分解因式．
21.【答案】0.962，0.96；
0.96；
14400只
【解析】(1)由题意可知，a=962÷1000=0.962，
b=2880÷3000=0.96，
故答案为：0.962，0.96；
(2)由表格中的数据可知，随着实验次数的增加，优等品的频率稳定在0.96附近，
∴从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96.
故答案为：0.96；
(3)这批公仔中优等品大约有15000×0.96=14400(只)，
答：估计这批公仔中优等品大约有14400只．
(1)用频数除以总数即可；
(2)由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96；
(3)用总数量乘以优等品的概率即可．
本题考查了利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
22.【答案】见解答； 10、36∘； 160.
【解析】解：(1)选择“人工智能”课程的学生人数为：50−15−10−5=20(名)，
补全条形统计图如图所示：
(2)在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占5÷50×100%=10%，
所对应的圆心角度数为10%×360∘=36∘；
故答案为：10、36∘；
(3)800×1050=160(名)，
答：估计选择“创客”课程的学生有160名．
(1)用总人数减去其它课程的人数求出选择“人工智能”的人数即可补全条形统计图；
(2)用选择“航模”课程的学生的人数除以总人数即可求出选择“航模”课程的学生占的百分比，用360∘乘百分比即可求出所对应的圆心角度数；
(3)用800乘选择“创客”课程的学生所占百分比即可．
本题主要考查了条形统计图、用样本估计总体及扇形统计图，熟知条形统计图和扇形统计图的特征及如何利用样本估测总体是解题的关键．
23.【答案】∵AE=12BF，点C为BF的中点，
∴BC=CF=AE=12BF，
又∵AE//BF，
∴四边形ACFE是平行四边形 3
【解析】(1)证明：∵AE=12BF，点C为BF的中点，
∴BC=CF=AE=12BF，
又∵AE//BF，
∴四边形ACFE是平行四边形；
(2)解：由(1)可知，BC=CF=AE=3，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=3，
由(1)可知四边形ACFE是平行四边形，
∴AC=EF=3.
(1)根据对边相等且平行的四边形是平行四边形解答即可；
(2)根据平行四边形的性质得出AC=EF，进而利用等边三角形的性质得出BC=AC=3，进而解答即可．
此题考查平行四边形的判定与性质，梯形的性质，等边三角形的性质，关键是根据对边相等且平行的四边形是平行四边形解答．
24.【答案】见解答．
见解答．
见解答．
【解析】(1)如图①，平行四边形ABCD即为所求．
(2)如图②，矩形ABCD即为所求．
(3)如图③，菱形ABCD即为所求．
(1)结合平行四边形的判定按要求画图即可．
(2)结合矩形的判定按要求画图即可．
(3)结合菱形的判定按要求画图即可．
本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】254 四边形BECD是等腰梯形，理由见解析 152
【解析】解：(1)由折叠可知∠ADB=∠EDB，
又∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠EDB=∠CBD，
故BF=DF，
又∵DE=AD=8cm，BE=AB=6cm，
设BF=DF=x，则EF=(8−x)cm，
在Rt△BEF中，由勾股定理可得x2=(8−x)2+62，
解得x=254，即BF的长为254；
(2)由翻折可得△ADB≌△EDB，
∴AB=BE=DC，AD=ED=BC，
由(1)知BF=DF，
故BC−BF=ED−DF，即EF=CF，
∴∠FEC=∠FCE，
∴∠DBF+∠BDF=∠FEC+∠FCE，
∴2∠DBF=2∠FCE，即∠DBF=∠FCE，
∴BD//CE，
故四边形BECD是等腰梯形；
(3)如图1所示，连接BD，则BD被GH垂直平分，
故GD=GB，DH=BH，
又由(1)中同理可证GD=DH，
故GD=GB=DH=BH，即四边形BGDH为菱形，
设GD=xcm，则AG=FG=(8−x)cm，
在Rt△DFG中，由勾股定理可得x2=(8−x)2+62，
解得x=254，
由勾股定理可得BD=10cm，
根据菱形的面积可得12GH⋅BD=BH⋅AB，
故GH=254×6×15=152.
(1)由折叠性质结合导角可得BF=DF，设BF=DF=x，则EF=(8−x)cm，在Rt△BEF中，由勾股定理可得x2=(8−x)2+62，解方程即可求得答案；
(2)证明BD//CE，BE=DC即可；
(3)先证明四边形BGDH为菱形，设GD=xcm，则AG=FG=(8−x)cm，在Rt△DFG中，由勾股定理可得x2=(8−x)2+62，解得x=254，BD=10cm，再根据菱形的面积可得12GH⋅BD=BH⋅AB，从而可求GH的长．
本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质以及利用勾股定理建立方程求线段长是解题关键．
26.【答案】(1)①45；
②EF=BE+DF；
(2)结论AP=BE+D成立，理由如下：
将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90∘.
由折叠的性质可知，BE=ME，DF=MF，∠AME=∠B=∠C=∠ENF=90∘，
∴∠ANF=∠AMF=90∘，
又∵∠APN=∠FPM，
∴∠NAP=∠NFE.
由(1)得∠EAF=45∘，
∴△ANF是等腰直角三角形．
∴AN=FN.
∴△ANP≌△FNE(ASA).
∴AP=EF.
∵EF=EM+FM=BE+DF，
∴AP=BE+DF.
(3)∵点N落在折痕AE上时，
∴∠BAE=∠MAE，∠CFE=∠NFE，∠AFD=∠AFM.
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN=45∘，
∴∠AFD=∠AFM=∠AFN+∠NFE=45∘+∠NFE.
∵∠AFD+∠AFM+∠CFE=180∘，
∴2×(45∘+∠NFE)+∠NFE=180∘，
∴∠NFE=30∘.
∵∠APN=∠FPM，∠ANF=∠AMF=90∘，
∴∠NAP=∠NFE=30∘，
∴∠BAE=30∘.
∴BE= 33AB= 3.
【解析】解：(1)①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠BAD=90∘，
由折叠的性质可知，∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=12∠BAD=45∘，
即∠EAF=45∘.
故答案为：45.
②由折叠的性质可知，BE=ME，DF=MF，
∵EF=ME+MF，
∴EF=BE+DF.
故答案为：EF=BE+DF.
(2)结论AP=BE+D成立，理由如下：
将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90∘.
由折叠的性质可知，BE=ME，DF=MF，∠AME=∠B=∠C=∠ENF=90∘，
∴∠ANF=∠AMF=90∘，
又∵∠APN=∠FPM，
∴∠NAP=∠NFE.
由(1)得∠EAF=45∘，
∴△ANF是等腰直角三角形．
∴AN=FN.
∴△ANP≌△FNE(ASA).
∴AP=EF.
∵EF=EM+FM=BE+DF，
∴AP=BE+DF.
(3)∵点N落在折痕AE上时，
∴∠BAE=∠MAE，∠CFE=∠NFE，∠AFD=∠AFM.
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN=45∘，
∴∠AFD=∠AFM=∠AFN+∠NFE=45∘+∠NFE.
∵∠AFD+∠AFM+∠CFE=180∘，
∴2×(45∘+∠NFE)+∠NFE=180∘，
∴∠NFE=30∘.
∵∠APN=∠FPM，∠ANF=∠AMF=90∘，
∴∠NAP=∠NFE=30∘，
∴∠BAE=30∘.
∴BE= 33AB= 3.
(1)①由正方形的性质得∠C=∠BAD=90∘，再由折叠的性质得：∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，即可求解；
②根据折叠的性质即可求解；
(2)根据正方形的性质和折叠的性质得到△ANF是等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质和判定求解即可．
(3)当点N落在折痕AE上，证明△ANF是等腰直角三角形，进一步求得∠BAE=30∘，然后利用含30度的直角三角形解答即可．
本题考查了四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质是解题的关键．抽取的公仔数n
10
100
1000
2000
3000
优等品的频数m
9
96
962
1920
2880
优等品的频率
0.9
0.96
a
0.96
b