2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题19圆锥曲线的二级结论(培优讲义)(学生版+解析)

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◇方法技巧 01 圆锥曲线二级结论的的常用方法和解题技巧
一、椭圆
1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；③若，则集合P为空集．
2、椭圆的基本性质：
3、焦点三角形：，，，为内切圆半径
；
当为上、下顶点时，角度最大.
4、焦半径：，
5、椭圆参数方程：，其中为参数.
6、中点弦公式
（1）已知是椭圆上的两个点，为重点，则.
（2）已知是椭圆：上的两动点，是椭圆上异于的一点，若两点关于原点对称.
7、焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为的直线交椭圆于两点；
，若，则焦比公式：.
8、弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．
二、双曲线
1、双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线，两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
①若，则集合为椭圆；②若，则集合为两条射线．
2、双曲线的基本性质：
3、焦点三角形：，，，
4、焦半径：，
6、中点弦公式
（1）已知是双曲线上的两个点，为重点，则.
（2）已知是双曲线：上的两动点，是双曲线上异于的一点，若两点关于原点对称.
7、焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，在线段上；
，；若，则焦比公式：.
8、弦长公式：设直线与双曲线有两个公共点则弦长公式为或．
三、抛物线
1、抛物线的定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线；定点为抛物线的焦点；直线为抛物线的准线.
2、抛物线的性质
3、焦点弦
过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论：
（1）；．
（2）焦半径坐标式：.
（3）焦半径倾斜式：，且.
（4）
（5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切；
（6）三点共线，三点共线．
（7），.
（8）.
（9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行.
（10）.
（11）.
◇题型 01 圆锥曲线的通径
典｜例｜精｜析
典例1．已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于椭圆长轴的直线与的一个交点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】把代入椭圆方程，即可得解.
【详解】不妨设为右焦点，则，
联立，解得，故．
故选：B．
典例2．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，分别求出，，利用条件，搭建的方程，从而得到双曲线的渐近线方程.
【详解】双曲线，令，得，
双曲线的渐近线方程为，令，得，
所以，，由，得，
整理得，有，解得，所以双曲线E的渐近线方程为.
故选：B
典例3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆定义得到，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，进而可得，即得．
【详解】∵，为椭圆的两个焦点，
∴，，
的周长为，
即，
若最小，则最大．
又当轴时，最小，此时，
故，
解得．
故选：C.
变｜式｜巩｜固
变式1．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到和，得到齐次方程，构造出关于的一元二次方程，解出即可.
【详解】由题意知，当，代入抛物线知，
当，代入双曲线得，
，,，
，或（舍去）,
故选：B.
变式2．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于两点，交双曲线的渐近线于两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．2D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
变式3．在平面直角坐标系中，双曲线：的左右焦点分别为，，抛物线：的焦点恰为，点是双曲线和抛物线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的通径长得出轴，从而通过勾股定理建立的关系，得离心率．
【详解】记，则，，抛物线方程为，，
所以轴（因为抛物线通径长为），
又在双曲线上，所以，
则由得，，
所以．
故选：A．
◇题型 02 焦点三角形的面积
典｜例｜精｜析
典例1．设双曲线C：（）的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则（ ）
A．1B．2
C．4D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
典例2．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点，使，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得.
【详解】
如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①，
由余弦定理可得：，化简得：
②，
由①式两边平方再减去②式，得：，
于是的面积为.
故选：D.
典例3．设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先表示出的外接圆与内切圆半径，根据构造齐次式，求椭圆的离心率.
【详解】如图：
的外接圆半径：.
设，，所以.
所以.
又，所以.
由得.
又，所以，
又，所以.
故选：B
变｜式｜巩｜固
变式1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A．2B．4
C．8D．9
【答案】B
【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，椭圆，可得，则，
因为点在椭圆上，可得，
又由，可得,
联立方程组，可得，
所以的面积为.
故选：B.
变式2．已知椭圆的左､右焦点分别是，，为椭圆上一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．的周长为6B．的面积为
C．的内切圆的半径为D．的外接圆的直径为
【答案】D
【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D.
【详解】由题意知，，，，
由椭圆的定义知，，，
∴的周长为，即A正确；
将代入椭圆方程得，解得，
∴的面积为，即B正确；
设的内切圆的半径为r，则，
即，∴，即C正确；
不妨取，则，，
∴的面积为，
即，∴，
由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，
故选:D.
变式3．设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】过作，根据题意得到，得．结合，得到即可得到结论.
【详解】过作，
由题意知．
因为，所以四边形为正方形，
得．
由双曲线的定义可得，
即，所以，
得．
又因为，所以，
得，．
在中，，得到，
所以．
故选：A．
◇题型 03 圆锥曲线的轨迹问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
典例2．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程.
【详解】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q，
由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心C的轨迹方程为.
故选：A
典例3．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由，得，其几何意义为平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4，求出平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，取求得值即可．
【详解】由，得
，
其几何意义为平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4．
平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹是双曲线，
由题得，解之得.
所以平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹方程是
．
联立，解得．
故选：C．
变｜式｜巩｜固
变式1．设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简.
【详解】设，则由已知得，
化简得.
故选：C．
变式2．已知点和圆：，是圆上的动点，直线与线段的垂直平分线交于点，则点所满足的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件判断出点满足双曲线的定义，由此求得点的轨迹方程.
【详解】画出去向如下图所示，根据线段垂直平分线的性质可知,故，所以点满足双曲线的定义，即，故点的轨迹方程为，故选C.
【点睛】本小题主要考查双曲线的定义以及双曲线标准方程的求法，考查垂直平分线的几何性质，属于基础题.
变式3．在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用切线长相等，结合双曲线的定义求解．
【详解】如图，设切线的切点分别为，则，，，
，
所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支（除去与轴交点），
，，，则，双曲线方程为，轨迹方程为，
故选：A．
变式4．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据离心率的定义，整理等式，结合双曲线离心率的取值范围，可得答案.
【详解】由题意可得，
可以化为，
两边同时开方得，
所以，由几何意义可知，
上式表示到和直线的距离之比，
则，所以．
故选：C．
◇题型 04 圆锥曲线的焦比公式
典｜例｜精｜析
典例1．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ）
A．B．2
C．D．3
【答案】D
【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果.
【详解】
由于，直线方程为，
联立方程，消去得，
显然，得，
所以，即.
故选：D.
典例2．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解.
【详解】设双曲线的右准线为，
过、分别作于，于，于，
如图所示：
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
∴，，
由双曲线的第二定义得：，
又∵，
∴，
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
典例3．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ）
A．1B．
C．D．2
【答案】B
【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得
设坐标分别为，则
因为，所以，从而有①
再由可得，根据椭圆第二定义可得，即②
由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B
变｜式｜巩｜固
变式1．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意作图，设出直线方程，联立写出韦达定理，由向量的数乘，可求得交点坐标，结合面积公式可得答案.
【详解】
由抛物线，则，其焦点，
由题意易知直线的斜率存在，可设为，
设，，，，
联立可得，消去可得，，
由韦达定律可得，，
由，，且，则，
由，则，解得，，
所以.
故选：A.
变式2．过，倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，即可得到，再由乘“1”法及基本不等式求出最小值，从而求出点坐标，再计算可得.
【详解】抛物线的焦点为（恰为），准线方程为，
依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
由，消去得，所以，.
所以，，
∴，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
又，所以，则，所以，
即或，
当时，，又，解得；
当时，，又，解得；
综上可得.
故选：A.
变式3．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．
C．2D．
【答案】A
【分析】设出，，利用双曲线的第二定义，结合直线的斜率为，建立等式，即可求得双曲线的离心率.
【详解】设，则，
过A、B作双曲线右准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作AD的垂线，垂足为E.
根据双曲线的第二定义可得，，
，
由直线的斜率为，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴，，
.
故选：A.
变式4．已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（ ）个．
①
②
③若点与点关于轴对称，则的面积为
④当时，内切圆的面积为
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】首先推导出椭圆的焦半径公式及相关性质，从而判断①②③，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出，，设内切圆的半径为，由求出，即可判断④.
【详解】在中，由余弦定理，
即，
整理得，同理可得，
所以，，
对于椭圆，则、、，
所以，，故①错误；
，故②正确；
所以，，
又
，(由题可知)
又，
所以，故③错误；
当时，直线的方程为，
由，消去整理得，显然，
所以，，
又，，则，，
设内切圆的半径为，则，
所以，解得，
所以内切圆的面积，故④正确；
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出椭圆焦半径公式（倾斜角形式），利用结论直接解决问题.
◇题型 05 抛物线的焦点弦性质
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点到抛物线的准线的距离为8
B．
C．若的中点的横坐标为3，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A，通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B，结合B，及焦半径公式可判断C，通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解.
【详解】抛物线的焦点为，准线，，
所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误；
设
当直线垂直于轴，可得，
所以,得
当直线不垂直于轴，设方程为，由，得，
则，，
，B正确；
对于C，由的中点的横坐标为3，可得：，
，
又，
所以，C正确；
对于D，
过点作，直线与轴分别交与点，
设，则，
因，则，得，
则，则，
故直线的斜率为，直线的方程为，
与联立得，
解得，
所以，
可得：，
所以，D正确
故选：BCD
典例2．（多选）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（ ）．
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
变式2．（多选）已知抛物线的焦点为，且抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两点，分别为两点在抛物线准线上的投影，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．线段长度的最小值为4B．的形状为锐角三角形
C．三点共线D．的坐标可能为
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的性质可判断；根据抛物线的定义和平行线的性质可判断；设直线，，联立抛物线及直线方程，结合韦达定理及三点共线的斜率关系可判断；设的中点为，，可得，取可判断
【详解】对于：抛物线过点，所以，所以，
所以线段长度的最小值为通径4，故正确；
对于：由定义知，轴，
所以，同理，
所以，故错误；
对于：设直线，，
，得，
则，
因为，所以，所以三点共线，故正确；
对于：设的中点为，，
则，
取，可得，故正确.
故选：.
变式3．（多选）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则（ ）
A．的准线为B．直线与相切
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
◇题型 06 点差法推导中点弦公式
典｜例｜精｜析
典例1．已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，则，由点差法求解离心率即可.
【详解】设，则，
则，两式相减可得，
，即，
即，，故.
故选：B
典例2．．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.
典例3．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且的中点为,则的方程式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵kAB==1,
∴直线AB的方程为y=x-3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),
∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则-=1.整理,得
(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2==2×(-12),
∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.
∴双曲线E的方程为-=1.故选B.
变｜式｜巩｜固
变式1．已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法列方程可得解.
【详解】设，，则，
整理得，
因为线段中点的横坐标为，
所以线段中点的纵坐标为，则，
从而可得，
故选：D.
变式2．已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据点差法得到，然后结合的坐标和直线的斜率得到，即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】解：设，，可得，，
两式相减可得，
点是弦的中点，且直线：，
可得，，，
即有，即，
双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点.
故选：B．
变式3．椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
◇题型 07 阿基米德三角形
典｜例｜精｜析
典例1．我们把圆锥曲线的弦与过弦的端点，处的两条切线所围成的三角形（为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”，抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下性质：①点必在抛物线的准线上；②；③.已知直线：与抛物线：交于，点，若，记此时抛物线的“阿基米德三角形”为，则点为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，，求出过点的切线方程，两方程联立方程组解得点坐标，直线的方程代入抛物线方程，应用韦达定理得，由焦点弦长公式求得，从而可得点坐标．
【详解】设，，过点的切线方程为，
由得，
，，，
切线方程为，化简得，
同理过点的切线方程是，
由，得，
由，得，
，，
直线过焦点，
所以，，
，异号，所以，，
，
所以．
故选：A．
典例2．（多选）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，，过两点分别作抛物线的切线，交于点.下列说法正确的是（ ）
A．
B．（为坐标原点）的面积为
C．
D．点的纵坐标为-1
【答案】AB
【分析】根据题意写出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到对于A，用点坐标表示直线的斜率，求出乘积为-1即可判断A；对于B，根据已知条件，求三角形面积即可；对于C，利用抛物线的性质，用点坐标进行边长计算即可；对于D，写出直线的方程，求出交点的纵坐标，结合进行化简运算即可.
【详解】
由题意，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，
直线方程与抛物线方程联立，整理得，
设，所以
由，得，则
所以，开方可得或，
设点在，因为，所以，
则点在，因为，所以，
所以，所以，故A正确；
由，得
，故B正确；
因为，
所以，
故C错误；
由选项A可知，直线，因为所以可变形为，
同理，直线，因为，所以可变形为，
两式相减可得，即，
因为且，所以.
所以点的纵坐标为2.故D错误.
故选：AB.
变｜式｜巩｜固
变式1．我们把圆锥曲线的弦与过弦的端点处的两条切线所围成的三角形（为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下性质：
①点必在抛物线的准线上；
②；
③．
已知直线与抛物线交于点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件求出直线PF方程，进而求出点P坐标及长即可求出的面积.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线经过抛物线的焦点，
依题意，，设，，
由消去y并整理得，则，，
，解得，即，
当时，因为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率，直线PF方程为：，
点P必在抛物线的准线上，点，，
又，于是得，
由对称性可知，当时，同理有，
所以的面积是.
故选：A
变式2．（多选）已知为抛物线：的焦点，为上一点，点到的距离的最小值为4，过的直线交于，两点，的过，的切线交于点，则（ ）
A．的准线方程为
B．若，则线段的中点到轴的距离为5
C．若的坐标为，则的方程为
D．的面积的最小值为64
【答案】BCD
【分析】先应用抛物线的性质计算得出进而得出抛物线方程及准线判断A，应用焦半径公式计算求解判断B，求出导函数得出切线再得出的直线方程判断C，先联立直线及抛物线应用弦长公式计算面积判断D.
【详解】因为上的动点到焦点的距离的最小值为4，所以，即.
所以的方程为，设，.对于A，由，得其准线方程为，故A错误；
对于B，由，得，所以，
故线段的中点的纵坐标为5，即的中点到轴的距离为5，故B正确；
对于C，由，得，所以，故过的切线斜率为，
故切线的方程为，所以，又，故切线的方程为，
同理切线的方程为，因为为与的公共点，故，，
所以点，均在直线上，即的方程为，故C正确；
对于D，由题意知直线的斜率存在，设其方程为，代入，
得，所以且，，
由得即，取的中点，则，
连接，则轴，
所以，
因为，，
所以，
当时，取得最小值，且，故D正确.
故选：BCD.
◇题型 08 圆锥曲线中的光学性质
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点，反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A．
B．延长交直线于点，则三点共线
C．
D．若平分，则
【答案】BCD
【分析】根据题设和抛物线的性质得到点，，将点代入抛物线的方程得到，从而求出直线的方程，联立直线和抛物线得到点的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线和直线得到点，即可判断B选项，若平分，得到，转化为直线斜率和直线的斜率的关系式即可求出.
【详解】由题意可得抛物线焦点，，如图，
将代入解得，所以，则直线的斜率，
则直线方程为，即，
联立得，所以，解得，A说法错误；
将代入解得或（舍去），则，
所以，C说法正确；
由已知可得轴，且，则直线的方程为，
又，所以直线的方程为，
令解得，即，所以在直线上，
所以三点共线，B说法正确；
设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为，
若平分，即，即，
所以，则，且，解得，
又，解得，D说法正确；
故选：BCD
典例2．（多选）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据椭圆长轴与短轴以及其定义，可得答案.
【详解】设椭圆的长轴长为；
若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，即，故；若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，即，故；若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，故.
故选：ABD.
典例3．（多选）已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别为双曲线：的左、右焦点，过右支上一点（）作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．直线的方程为
C．过点作，垂足为，为原点，则
D．四边形面积的最小值为6
【答案】AC
【分析】对于A，用离心率的计算公式即可求解；对于B，联立直线方程和双曲线方程，由判别式等于0可求出斜率，进而可知直线的方程；对于C，由双曲线的光学性质可知,平分，进而垂直平分，利用三角形中位线及双曲线的定义即可求解；对于D，求出的坐标，，结合不等式即可求解面积的最小值.
【详解】对于A，,故A正确；
对于B，设直线的方程为,
联立方程组,消去y整理得：
，
,化简整理得，
又因为，代入上式并化简得：，
因为
所以方程有两个相等的实根，解得，
所以直线的方程为,即，故B错误；
对于，由双曲线的光学性质可知,平分，延长与的延长线交于点E，
则垂直平分,即为的中点，又是中点,
所以，故C正确;
对于D，由直线的方程为，令,得,则，
，
当且仅当,即时等号成立，
所以四边形面积的最小值为，故D错误.
故选：AC.
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据椭圆长轴与短轴以及其定义，可得答案.
【详解】设椭圆的长轴长为.
①若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，得；
②若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时，光走过的路程为2a，所以，得；
③若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时，光走过的路程为6a，所以，得.
故选：BCD.
变式2．（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．的最小值为
D．直线与间的距离最小值为4
【答案】ABC
【分析】设，联立直线方程和抛物线方程后可得，，据此逐项计算后可得正确的选项.
【详解】
由题设有过焦点，而，
设，则可得即，
此时且，，
故，故A正确；
，
故B正确；
对于C，，
而，当且仅当时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为，故C成立；
对于D，故直线与间的距离，
当且仅当时等号成立，故直线与间的距离最小值为8，
故选：ABC.
变式3．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当反射光线过时，光由所经过的路程为7
C．反射光线所在直线的斜率为，则
D．记点，直线与相切，则
【答案】BCD
【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.
【详解】对于A：若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：
二者联立解得：.故A错误；
对于B：光由所经过的路程为.
故B正确；
对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.
故C正确.
对于D：设直线PT的方程为.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：.
由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.故D正确
故选：BCD
◇题型 09圆锥曲线的离心率
典｜例｜精｜析
典例1．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由正三角形特点用表示，结合椭圆的定义，即可求得离心率.
【详解】是正三角形，，
.
故选：.
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，涉及到椭圆的椭圆的定义；关键是能够利用正三角形的特点求出.
典例2．设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题设条件可知，由正弦定理可得，再由双曲线的定义可得，最后由离心率公式进行计算即可得解.
【详解】双曲线的焦点为，，则，
是等腰三角形，，
，，
由正弦定理即，解得，
双曲线过点，由双曲线的定义可得，
解得离心率，
故选：B.
典例3．双曲线（）的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．(1,3)B．
C．(3,+)D．
【答案】B
【详解】可用三角形的两边和大于第三边，及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a与c的关系．
因为
所以，
因为，
所以，
所以，即，
所以
故选：B.
变｜式｜巩｜固
变式1．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，则，利用勾股定理求出，求出，然后在中应用余弦定理可求出该椭圆离心率的值.
【详解】如下图所示：
由题意可知，设，则，
因为，由勾股定理可得，
即，解得，故，
所以，
由余弦定理可得，
即，因为，故，
故选：A.
变式2．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．
C．2D．3
【答案】A
【分析】设，，由已知和双曲线的定义得出，，，再在直角三角形和中，利用勾股定理可求得和的关系，从而可求双曲线的离心率．
【详解】如图，设，，
由双曲线定义可知：，，
，，即；
在直角中，，即，
解得：，则，；
在直角中，，即，
即，所以.
故选：A.
变式3．已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出过的右焦点的最短弦长，再建立不等式求出离心率的范围.
【详解】设的右焦点坐标为，长轴是过的右焦点的最长弦，
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
由消去得，设，
，则
，当且仅当时取等号，
依题意，，解得，则的离心率.
故选：D
变式4．已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（ ）
A．1B．
C．D．
【答案】A
【分析】椭圆和双曲线的基本性质，并利用离心率定义列出关系式，利用函数求出最值即可.
【详解】设椭圆的焦点为，双曲线的焦点为，
根据椭圆、双曲线、正方形的对称性可知，
两曲线位于第一象限的公共点为，
则，
所以，
所以，
即，
当且仅当时取等号.
故选：A
◇题型 10双曲线焦点到渐近线的距离为b
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，
因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
典例2．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．
详解：由题可知
在中，
在中,
故选B.
变｜式｜巩｜固
变式1．已知双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，另一条渐近线恰好是线段的垂直平分线，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意及双曲线的性质，可得渐近线的倾斜角为，代入方程，即可得答案.
【详解】设双曲线的左焦点为，原点为，线段与的另一条渐近线交于点，
则由题意可得
所以，
所以双曲线的渐近线的斜率为，
则双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
变式2．已知双曲线的离心率为，、为C的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，则（ ）
A．B．
C．2D．
【答案】D
【分析】根据题意，，，利用余弦定理可得，从而得解.
【详解】根据题意，，则，，
可知渐近线方程为，即，且，
则，，，
可得，
在中，由余弦定理可得，
，
即，所以．
故选：D.
变式3．设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，P为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（ ）
A．B．
C．2D．
【答案】B
【分析】利用向量的数量积运算推得，再利用正切函数的诱导公式，结合双曲线的渐近线方程得到的比值，从而利用双曲线的离心率公式即可得解.
【详解】依题意，不妨设点在第二象限，如图，
因为，所以，
则，故，
所以，
又，双曲线的渐近线方程为，
所以在中，，
即，故，
所以双曲线的离心率为.
故选：B.
变式4．已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据设出，与双曲线渐近线方程联立分别求出，，易得四边形是平行四边形，则得，再结合，从而可求解.
【详解】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为，
联立解得，
不妨取，同理可得，
则，
因为四边形是平行四边形，
于是，
由于点在上，所以，因此，故C正确.
故选：C．
◇题型 11圆锥曲线的定义求距离和、差最值
典｜例｜精｜析
典例1．已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．4D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义可：，得，当，，三点共线时取得最小值，进行求解即可．
【详解】解：设椭圆的右焦点为，
易知，，
由，得，
根据椭圆的定义可得：，
所以，当且仅当，，三点共线时等号成立，
所以的最小值为，
故选：D．
典例2．已知平面上定点和，又点为双曲线右支上的动点，则的最大值为（ ）
A．8B．10
C．11D．13
【答案】D
【分析】由题意可得点为双曲线的左焦点，设点为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得，然后求出的最大值即可.
【详解】由题意可得点为双曲线的左焦点，设点为双曲线的右焦点，
由双曲线的定义可得，
所以，
由图可得，当三点共线时，
取得最大值，最大值为，
所以的最大值为13，
故选：D
典例3．已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】A
【分析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当三点共线时，可求得最小值.
【详解】
因为抛物线，过F点作垂直直线l于点，过M作准线的垂线交准线于点，如图所示，则，，
则，
当点与点重合，点为线段与抛物线的交点时，等号成立.
故选：A．
变｜式｜巩｜固
变式1．已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（ ）
A．6B．5
C．9D．8
【答案】A
【分析】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三点共线求得点在处时，使得的最小值为6.
【详解】易知椭圆中，即可得，
又圆的圆心为，半径，
易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：
易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为，
因此可将的最小值转化为求的最小值，
由椭圆定义可得；
此时点在处，使得的最小值为6.
故选：A
变式2．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值．
【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，
所以，且，所以，
的周长为，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则周长的最小值为．
故选：B．
变式3．已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点，为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．6B．7
C．8D．9
【答案】C
【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值.
【详解】
由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为，
因为点在抛物线上，所以，
所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小，
又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以，
故选：C.
变式4．已知且，若定义，则的最小值为（ ）
A．1B．2
C．D．
【答案】D
【分析】根据几何意义将转化为曲线上的点到抛物线上点的距离与抛物线上的点到焦点距离之和的最值性问题.
【详解】
设，，，垂直于直线，为垂足，为抛物线的焦点，
易得曲线过点的切线为，与之垂直的直线方程为，恰好通过点，
所以.
故选：D.
◇题型 12 圆锥曲线焦半径公式
典｜例｜精｜析
典例1．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_________________.
【答案】
【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
典例2．已知F是椭圆的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径．设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的取值范围是_________________．
【答案】，
【解析】求出椭圆焦半径的范围，再由在焦半径范围内列不等式求解．
【详解】存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，
则此时，
因为，
由题意可得，，
不等式左边恒成立，则，
两边平方整理得：，解得（舍或．
椭圆的离心率的最小值为．
椭圆的离心率的取值范围是，．
故答案为：，．
变｜式｜巩｜固
变式1．椭圆的焦半径：椭圆上的点与左、右焦点（为左焦点，为右焦点）的连线分别为焦半径，焦半径的范围______________________.
【答案】
【分析】根据距离公式可推导，结合即可求解.
【详解】在椭圆上取一点，设半焦距为，且，
则，即，焦点，
所以
，
又，所以，即，
则，
又，
所以.
故答案为：.
变式2．P是椭圆上的点，F1、F2是两个焦点，则|PF1||PF2|的最大值与最小值之差是___________________.
【答案】5
【分析】根据椭圆方程，得到，设，则由椭圆定义，，得到，然后利用二次函数的图象和性质求解.
【详解】因为椭圆，
所以，
设，
所以，，
所以，
当时，取最小值4，
当时，取最大值9，
所以PF1||PF2|的最大值与最小值之差是5.
故答案为：5
◇题型 13 圆锥曲线的切线方程和蒙日圆
典｜例｜精｜析
典例1．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（ ）
A．1B．2
C．D．4
【答案】B
【分析】设，根据题意，求得过点B的切线的方程，即可求得M、N坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】设，由题意得，过点的切线的方程为，
令，可得，令，可得，
所以△OMN面积，
又点在椭圆上，所以，所以
，
当且仅当，即时“等号”成立，
所以△OMN面积的最小值为2．
故选：B
典例2．一般情况下，过双曲线作双曲线的切线，其切线方程为，若过双曲线上一点作双曲线的切线，该切线过点且该切线的斜率为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得切线方程，将代入切线方程，即可求得点坐标，求得切线方程，根据斜率公式及离心率公式即可求得答案．
【详解】过双曲线上一点，作双曲线的切线，切线方程为，将代入切线方程，解得：，
代入双曲线方程解得：，
则切线方程：，由该切线的斜率为，可得，
由双曲线的离心率，
故选：B.
典例3．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（ ）
①椭圆的离心率为
②到的左焦点的距离的最小值为
③面积的最大值为
④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得，再求出最大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④.
【详解】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上，
即有，则，椭圆的离心率，①正确；
对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径，
即有，显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为，
因此面积的最大值为，③正确；
对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有，
则，而，
因此，即，
所以到的左焦点的距离的最小值为，②正确；
对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有，
于是得，
又由①知，，得，
所以，④正确，
所以说法正确的有①②③④.
故选：D.
变｜式｜巩｜固
变式1．定义：若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：.已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，，，即可表示出的方程，又在上，即可得到，即可得到直线的方程，从而求出直线过的定点；
【详解】解：因为点在直线上，设，，，所以的方程为，又在上，所以①，同理可得②；
由①②可得的方程为，即，即，所以，解得，故直线恒过定点
故选：C
变式2．如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线的蒙日圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出过点的切线方程，并与双曲线方程联立，利用判别式为零得到关于的方程，方程的根即为，通过韦达定理可得点的轨迹方程，进而可求面积.
【详解】不妨设，则过点的双曲线切线方程为，存在且不为零，
联立，
消去得，
所以，
整理得
可知为关于的方程的两个根，
且，
即，整理得，
即点的轨迹方程为，
即双曲线的蒙日圆方程为，半径为
面积为.
故选：A.
变式3．已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________________.
【答案】
【分析】由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解.
【详解】因为为双曲线上的动点，
所以，则，，
由题意，直线是双曲线的切线，切点为，
而双曲线的渐近线方程为，则，
联立，解得，
所以点的坐标为，
联立，解得，
所以点的坐标为，
所以线段的中点为，
则
（当且仅当时取等号），
由题意可得直线的斜率大于零或不存在，
故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
一、单项选择题
1．（2018·全国II卷·高考真题）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.
详解：在中，
设，则，
又由椭圆定义可知
则离心率，
故选D.
2．（2020·全国III卷·高考真题）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
3．（2016·全国I卷·高考真题）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为（ ）
A．8B．6
C．4D．2
【答案】C
【详解】试题分析：如图，设抛物线方程为，交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选C.
考点：抛物线的性质.
4．（2013·新课标Ⅰ·高考真题）已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
【答案】D
【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.
5．（2015·新课标Ⅱ·高考真题）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．
考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．
6．（2018·全国III卷·高考真题）设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．
详解：由题可知
在中，
在中,
故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
7．（2010·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ）
A．1B．
C．D．2
【答案】B
【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得
设坐标分别为，则
因为，所以，从而有①
再由可得，根据椭圆第二定义可得，即②
由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B
8．（2017·全国I卷·高考真题）已知为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16B．14
C．12D．10
【答案】A
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
二、多项选择题
9．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ）
A．B．
C．C的离心率为D．当时，四边形的面积为
【答案】ACD
【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，
故A正确；
对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，
设，则，故，故，
由A得，故即，故B错误；
方法二：因为，因为双曲线中，，
则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，
则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则，
方法三：在利用余弦定理知，，
即，则，
则为直角三角形，且，则，故B错误；
对于C，方法一：因为，故，
由B可知，
故即，
故离心率，故C正确；
方法二：因为，则，则，故C正确；
对于D，当时，由C可知，故，
故，故四边形为，
故D正确，
故选：ACD.
10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
12．（2019·全国III卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为__________________.
【答案】
【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
13．（2018·全国III卷·高考真题）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则__________________．
【答案】2
【分析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】［方法一］：点差法
设，则，所以
所以，
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,，
因为为AB中点，所以平行于x轴，
因为M(-1,1)，所以，则即．
故答案为：2.
［方法二］：【最优解】焦点弦的性质
记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以．
［方法三］：焦点弦性质+韦达定理
记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，记中点为N，则，设，代入中，得，所以，得，所以．
［方法四］：【通性通法】暴力硬算
由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即．又，所以，得．
［方法五］：距离公式+直角三角形的性质
设直线为，与联立得，则从而，可得的中点，所以．
又由弦长公式知．
由得，解得，所以．
［方法六］：焦点弦的性质应用
由题可知，线段为抛物线的焦点弦，，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以为直径的圆必与准线相切于点M．
过点M作平行于轴的直线交于点N，则N为圆心．
设，则．
又因为，所以联立解得．将的值代入中求得．
因为抛物线C的焦点，所以．
14．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是______________．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴，得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
目录
第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考
第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法
第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固
【题型01】圆锥曲线的通径
【题型02】焦点三角形的面积
【题型03】圆锥曲线的轨迹问题
【题型04】圆锥曲线的焦比公式
【题型05】抛物线的焦点弦性质
【题型06】点差法推导中点弦公式
【题型07】阿基米德三角形
【题型08】圆锥曲线的光学性质
【题型09】圆锥曲线的离心率
【题型10】双曲线焦点到渐近线的距离为
【题型11】圆锥曲线的定义求距离和、差最值
【题型12】圆锥曲线焦半径公式
【题型13】圆锥曲线的切线方程和蒙日圆
第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦
圆锥曲线是高中数学解析几何的核心内容，也是高考的重难点。在备考中，除了掌握基本定义、标准方程和几何性质外，熟练运用“二级结论”能有效提高解题速度和准确率。
所谓的“二级结论”，是指由圆锥曲线基本性质推导出的、在特定条件下可以直接应用的结论。这些结论通常简洁明了，能简化复杂的代数运算。
常见的考向：焦半径，通径，焦点弦性质，中点弦公式，切线，离心率，光学性质，阿基米德三角形等
关键能力
圆锥曲线二级结论的解题关键能力在于熟练掌握并灵活运用常见结论，如焦点弦性质、切线方程、中点弦结论等，能够快速识别题目中的几何特征，将复杂问题转化为已知结论的直接应用。同时，需具备较强的代数运算与几何直观结合能力，善于通过数形结合简化计算。此外，理解二级结论的推导过程，能帮助在新情境中自主推导变式结论，提升解题效率与准确率，避免死记硬背导致的误用。
备考策略
理解推导：不要死记硬背，要理解这些结论是如何由基本定义推导出来的。
灵活应用：在选择题、填空题中可以直接使用二级结论快速得出答案；在解答题中，通常需要写出推导过程或作为辅助思路。
注意条件：使用二级结论时，务必确认题目条件是否满足该结论的应用前提。
熟练掌握这些二级结论，能够帮助你在面对圆锥曲线的复杂问题时，迅速找到突破口，实现高效解题。
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
长轴长：，短轴长：，焦距：.
关系
离心率
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
实轴的长；虚轴的长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
关系
离心率
渐近线方程
焦点到渐近线距离
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
标准方程
图象
x
y
O
F
M
P
x
y
O
F
M
P
x
y
O
F
M
P
x
y
O
F
M
P
焦点
准线方程
范围
顶点
原点
对称轴
轴
轴
通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．
刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄．
设为抛物线上一点
焦半径
的几何意义：为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
混淆公式：椭圆与双曲线的通径长均为，而非或其他形式。
忽略前提：通径是“过焦点”且“垂直于对称轴”的弦，若条件不满足，不能直接套用通径公式。
抛物线参数：抛物线的通径长为，注意的几何意义及符号。
判别式验证：利用通径性质求参数时，需验证直线与曲线是否相交（），避免出现无交点的错解。
公式混淆：椭圆面积、双曲线，易记混正切与余切，需结合曲线定义区分。
角度范围：θ为两焦半径夹角，椭圆中θ∈(0,π]，双曲线中θ∈(0,π)，忽视范围会导致三角函数符号错误。
参数误用：误将a代入公式，牢记核心参数为b；抛物线无焦点三角形面积公式，勿生搬硬套椭圆、双曲线公式。
几何性质遗漏：忽略焦点三角形与原点、准线的关联，导致面积计算复杂或错误。
定义误用：混淆椭圆、双曲线、抛物线的定义条件，如椭圆忽视 “距离和大于焦距”，双曲线遗漏 “距离差绝对值小于焦距”。
参数范围缺失：求轨迹时未剔除不符合条件的点，如与坐标轴交点、虚轨迹部分。
方法选择不当：盲目用坐标法导致计算繁琐，忽略定义法、相关点法的简便性。
轨迹类型误判：将退化轨迹（如点、直线）误判为圆锥曲线，忽视特殊情况验证。
公式记混：椭圆、双曲线焦比公式分子分母易颠倒，抛物线焦比与横坐标关联易记错系数。
斜率忽略：未考虑直线斜率不存在的情况（如垂直于 x 轴的弦），直接套用公式导致漏解。
符号失误：双曲线两支上的点焦比符号不同，忽略符号会造成结果正负错误。
条件遗漏：忘记焦比公式适用前提是直线过焦点，非焦点弦强行套用必出错。
长度公式混淆：混淆不同开口方向的焦点弦长公式，如开口向右时，开口向上时应为，易漏写参数p；忽略斜率不存在的情况，此时焦点弦为通径，长度是2p，常误代入一般弦长公式计算。
坐标关系记错：焦点弦端点横、纵坐标之积易记混符号与系数，如开口向右时，常把纵坐标之积的负号遗漏，或记错横坐标之积的系数。
几何性质误用：忽视 “焦点弦两端点到准线的距离之和等于弦长” 这一性质，解题时绕远路；误将 “顶点与焦点弦端点连线垂直” 当作普遍性质，实际该结论有特定条件限制。
斜率条件忽略：忽略斜率为 0 时直线与抛物线只有一个交点，无法构成焦点弦，直接套用斜率存在时的公式会出现增解；未考虑斜率不存在的垂直弦情况，导致漏解。
公式混淆：椭圆、双曲线中点弦斜率公式与易记反，抛物线忽视开口对公式的影响。
范围遗漏：未验证中点是否在曲线内部，导致算出不存在的中点弦。
斜率忽视：忽略直线斜率不存在的情况，漏解垂直对称轴的中点弦。
条件误用：非中点弦强行套用公式，或用点差法时忽略二次项系数处理。
定义混淆：误将过抛物线上两点而非切点的三角形当作阿基米德三角形，忽视 “切线” 核心条件。
性质记错：顶点在准线上、底边过焦点的结论易记反，焦点与顶点连线垂直底边的性质常遗漏。
面积公式用错：混淆面积与p、切点横坐标的关系，误代入普通三角形面积公式致计算复杂。
抛物线限制忽略：此性质仅适用于抛物线，强行套用到椭圆、双曲线必出错。
性质记混：椭圆入射光线经一焦点反射过另一焦点，双曲线反射光线反向延长过另一焦点，易混淆反射光线走向。
切线混淆：误将法线当切线推导反射路径，忽视 “入射光线与法线夹角等于反射光线与法线夹角” 的核心。
应用条件漏看：光学性质仅适用于从焦点发出的光线，非焦点光线强行套用会导致轨迹推导错误。
抛物线失误：忘记平行于对称轴的光线经抛物线反射必过焦点的结论，解题时无法转化几何条件。
公式混淆：记错离心率公式，椭圆、双曲线，易与抛物线离心率e=1混淆。
范围记错：椭圆0