初中数学21.3 特殊的平行四边形第1课时教学设计

这是一份初中数学21.3 特殊的平行四边形第1课时教学设计，共5页。教案主要包含了菱形的定义，菱形特有的性质，菱形的面积等内容，欢迎下载使用。
第十一课时《21.3.2 菱形（第1课时）》教学设计
课型
新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本课是特殊平行四边形学习的重要组成部分，承接矩形的学习，是从“角特殊”到“边特殊”的平行四边形延伸，也是后续学习正方形的基础．本节课通过定义菱形，探究并证明菱形的特殊性质，既是对平行四边形性质的深化，也是对勾股定理、全等三角形等知识的综合运用，为解决菱形相关的计算与证明问题提供理论依据．通过本节课的学习，学生能进一步完善特殊平行四边形的知识体系，掌握“从一般到特殊”的几何探究方法，体会类比、转化的数学思想，提升逻辑推理与几何计算能力，在初中几何教学中起到承上启下、巩固提升的关键作用，同时培养学生的直观想象与数学建模核心素养．
学习者分析
学生已熟练掌握平行四边形的定义与性质、矩形的相关知识，具备一定的几何推理、逻辑证明与计算能力，对菱形有生活中的直观认知．但学生对菱形的“边特殊”带来的对角线、对称性等特殊性质缺乏系统探究，易混淆菱形与平行四边形、矩形的性质差异，在运用菱形性质进行对角线、面积计算时，难以快速提炼直角三角形模型，部分学生对菱形面积公式的推导理解不透彻，需要教师通过对比辨析、引导探究，帮助学生深化理解，提升知识的综合应用能力．
教学目标
1．理解菱形的定义；
2．掌握菱形的特殊性质；
3．能运用性质计算菱形的边长、角度、对角线及面积．
教学重点
理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质——四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角，并能运用性质进行相关计算．
教学难点
理解菱形对角线互相垂直的性质证明，灵活运用菱形性质与勾股定理解决对角线、面积的综合计算问题．
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：学习目标
教师活动1：
师出示学习目标：
1．理解菱形的定义；
2．掌握菱形的特殊性质；
3．能运用性质计算菱形的边长、角度、对角线及面积．
学生活动1：
学生齐声读本课的学习目标
活动意图说明：
明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．
环节二：新知导入
教师活动2：
问题：1．什么是平行四边形？什么是矩形？
答案：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形．
2．说一说平行四边形具有那些性质？
答案：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．
（2）角：平行四边形的对角相等．
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．
3．说一说矩形具有那些性质？
答案：（1）角：矩形的四个角都是直角．
（2）边：对边平行且相等．
（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴．
导言：前面研究了角满足特殊条件的平行四边形———矩形，再来看边满足特殊条件的平行四边形．
学生活动2：
学生积极回答问题
活动意图说明：
通过复习平行四边形和矩形的定义和性质，为学习菱形的定义和性质做好准备
环节三：新知讲解
教师活动3：
观看动图，当平行四边形的一组邻边相等时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形．
归纳：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
指出：菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是菱形．
如图，记作菱形ABCD．
问题：菱形也是常见的几何图形．有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架（如图所示）等都有菱形的形象．你还能举出一些例子吗？
指出：类似于对矩形的研究，我们重点研究菱形的性质和判定．
思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
预设：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．
（2）角：平行四边形的对角相等．
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．
猜想：菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
追问：你能自己完成证明吗？
（1）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形．
求证：AB＝BC＝CD＝AD．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC，四边形 ABCD 是平行四边形．
∴AB＝CD，AD＝BC．
∴AB＝BC＝CD＝AD．
即：菱形的四条边都相等．
（2）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形．
求证：AC⊥BD，AC 平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠ABC 和∠ADC．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC，OB＝OD．
∵AB＝AD，OB＝OD，OA＝OA，
∴△ABO≌△ADO，
∴∠AOB＝∠AOD．
∵∠AOB＋∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，即 AC⊥BD．
∵在△ABD 和△CBD 中，AB＝CB，BD＝BD，AD＝CD，
∴△ABD≌△CBD．
∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB．
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△BAC≌△DAC，
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA．
即：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
想一想：菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？
预设：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，每条对角线所在的直线就是它的对称轴．
归纳：菱形特有的性质
（1）边：菱形的四条边都相等．
（2）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
（3）对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线就是它的对称轴．
观察并思考：如图所示，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，你有什么发现？
预设：菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形一般只被分成两对全等的三角形．
思考：由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
已知：菱形ABCD两条对角线BD，AC的长分别是 6cm 和 8cm．求菱形ABCD的面积．
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD．
∴S菱形ABCD＝S△ABO＋S△CBO＋S△CDO＋S△DAO
＝12AO∙BO+12CO∙BO+12CO∙DO+12DO∙AO
＝12AC∙BD=12×8×6＝24（cm2）．
归纳：菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半，即：S菱形ABCD=12AC∙BD．
由于菱形属于平行四边形，所以可以借助平行四边形的面积公式求菱形的面积，即 S菱形ABCD＝底×高＝DC·AE．
例：如图所示，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
解：设AC，BD相交于点O．
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝12∠ABC＝12×60°＝30°．
在Rt△ABO中，
AO＝12AB＝12×20＝10，
BO=AB2−AO2=202−102=103．
∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20（m）,BD＝2BO＝203≈34.64（m）．
花坛的面积S菱形ABCD＝4×S△ABO＝4×12AO·BO＝2003≈346.4（m2）．
学生活动3：
学生认真观察、思考，小组合作探究后班内交流，然后认真听老师的点评与讲解
活动意图说明：
先引导学生从平行四边形出发，探究菱形的定义与特殊性质，体会从一般到特殊的类比思想，完善特殊平行四边形的知识体系；然后通过例题并结合实际情境，强化菱形性质的应用，训练学生利用对角线与勾股定理解决边长、角度及面积计算问题的能力，落实核心素养．
环节四：课堂小结
教师活动4：
问题：本节课你都学习到了哪些知识？
教师通过学生的回答，进行归纳
学生活动4：
学生积极回顾本节课学习到的知识
活动意图说明：
通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计
课题：21.3.2菱形（第1课时）
一、菱形的定义
二、菱形特有的性质
三、菱形的面积
教师板演区
学生展示区
课堂练习
【知识技能类练习】
必做题：
1．下列关于菱形的说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角一定相等B．菱形的对角线一定相等
C．菱形的四条边都相等D．菱形的周长和面积一定相等
答案：C
2．如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E在BD上，过点E作EF//BC交CD边于点F，如果∠ABC=50°，那么∠DEF的度数为___________．
答案：25°
3．如图，在菱形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
(1)求证：BC=FC．
(2)若AB=2，且AE⊥CD，求AF的长．
证明：（1）∵菱形ABCD，
∴AD=BC,AD//BC，
∴∠D=∠DCF,∠F=∠DAE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴△ADE≌△FCEAAS，
∴AD=FC，
∴BC=FC；
（2）由题意，AB=BC=2，
∴FC=BC=2，
∴BF=4，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
又∵ 四边形ABCD是菱形，AB//DC，
∴∠BAF=∠AED=90°，
∴在Rt△ABF中， AF=BF2−AB2=42−22=23．
选做题：
4．如图，菱形ABCD中，AB=3，AC=2，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．42B．372C．22D．3
答案：A
【综合拓展类练习】
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
(1)求证：∠ACE=90°．
(2)若BE=3，CE=2，求菱形ABCD的面积．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AC⊥BD，
∵BE=AB，
∴BO是△AEC的中位线，
∴BO//CE，
∴AC⊥CE，即∠ACE=90°．
（2）∵BE=3，CE=2，
∴AE=2BE=6，
∵∠ACE=90°，
∴AC=AE2−CE2=62−22=42，
∵BO是△AEC的中位线，
∴BO=12CE=1，
∴BD=2BO=2，
∵AC⊥BD，
∴菱形ABCD的面积为：12BD⋅AC=12×2×42=42．
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，则∠ABD的度数是（ ）
A．10°B．15°C．25°D．20°
答案：D
2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．若AC=4，BD=3，则菱形ABCD的边长是__________．
答案：2.5
3．已知菱形ABCD的边长为2cm，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，试求出菱形两条对角线的长和面积．
解：∵菱形ABCD的边长为2cm，
∴AB=BC=2cm，AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2cm，
∴OA=12AC=1cm，
∴OB=AB2−OA2=22−12=3(cm)，
∴BD=2OB=23cm，
∴菱形的面积为12AC×BD=12×2×23=23(cm2)．
选做题：
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在y轴上．若点C的坐标为−3,4．则点B的坐标为______
答案：(−3,9)
【综合拓展类作业】
5．如图，菱形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接AE，∠E=∠B，过点D作DH⊥AE于H．
(1)若AB=13，DH=5，求HE的长；
(2)求证：AH=CE+EH．
解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=13，
∵DH⊥AE，DH=5，
∴AH=AD2−DH2=132−52=12，
∵∠E=∠B，
∴AE=AB=13，
∴HE=AE−AH=13−12=1；
（2）如图，作DF⊥BE交BE的延长线于点F，连接DE，
，
则∠DFC=∠DHA=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=AD，∠B=∠ADC，AD//BC，
∴∠AEB=∠DAE，∠ADC=∠DCF，
∵∠AEB=∠B，
∴∠DCF=∠DAE，
在△DCF和△DAH中，
∠DCF=∠DAH∠DFC=∠DHA=90°DC=DA，
∴△DCF≌△DAHAAS，
∴AH=CF，DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DEH中，
DF=DHDE=DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEHHL，
∴EF=EH，
∴AH=CF=CE+EF=CE+EH．
教学反思
本节课通过实例引入、性质探究与例题应用，多数学生能掌握菱形的定义与基本性质．但部分学生对菱形与矩形的性质差异理解不透彻，对菱形对角线互相垂直的性质证明思路掌握不足，运用性质解决对角线、面积的综合计算时容易出错．后续需加强性质对比辨析，强化直角三角形模型的引导，增加变式计算练习，规范解题步骤，提升学生的几何计算与逻辑推理能力．