2024-2025学年浙江省宁波市慈溪市名校七年级下学期期末数学试卷（解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.下列调查适合作抽样调查的是（ ）
A.对七（1）班30名同学视力情况进行调查
B.对乘坐飞机的乘客进行安全检查
C.检测一批灯管的使用寿命
D.检测载人飞船的零部件质量情况
【答案】C
【解析】A．班级人数较少（30人），全面调查可行且结果更准确，适合普查而非抽样；
B．安全检查涉及生命安全，必须逐一检查，不可遗漏，需用普查；
C．检测灯管寿命需进行破坏性测试，无法全面检测，适合通过抽样推断整体情况；
D．载人飞船零部件质量关乎重大安全，必须全检，不可抽样，
故选∶C．
2.某状态下氧气的密度为，数字用科学记数法可表示为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
3.下列计算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】A.，故本选项符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：A．
4.下列因式分解正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】A．，原因式分解正确；
B．，原因式分解错误；
C．，原因式分解错误；
D．，原因式分解错误．
故选：A．
5.如图是小明在体育课上进行跳远测试的示意图，，C为垂足．分别测得米，米，米，则小明的跳远成绩应该是（ ）
米米
米米
【答案】B
【解析】∵，米，
∴小明的跳远成绩应该是米，
故选∶B．
6.已知实数a，b满足，，则的值是（ ）
A.49B.37
C.36D.7
【答案】A
【解析】，
故选：A．
7.《九章算术》中有一问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，则根据题意，可列出方程组（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】设有x人，物品价值y元，
每人出8元，多3元：总钱数为元，比物品价格多3元，因此，
每人出7元，少4元：总钱数为元，比物品价格少4元，因此，
∴，
故选：D．
8.若，，则的值可能为（ ）
A.B.
C.D.0
【答案】C
【解析】由题，，，则
，
需满足，
令，解得，此时不符合条件，
令，解得，此时不符合条件，
令，解得，此时分母均非零，符合条件，
令，无解，此时不符合条件，
故选：C．
9.下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（ ）
A.②③④B.①③④
C.①②③D.①②③④
【答案】B
【解析】①如图，
根据三角板的特征知∶，
∴，故作法正确；
②如图，
根据三角板的特征知∶，
无法得出，
∴不能说明，故作法不正确．
③如图，
根据三角板的特征知∶，
∴，故作法正确；
④如图，
根据平移的性质知∶ ，
∴，故作法正确；
故选：B．
10.如图，正方形和长方形的面积相等，点E，F分别在边，上，过点D，连接，的面积为1．若记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】如图，连接，，
设，，
∵，，正方形和长方形的面积相等，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即代数式的值不变的是，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.已知方程，请用关于x的代数式表示y，则________．
【答案】
【解析】移项得，
故答案为：．
12.若某组数据的频率是，样本容量是120，则这组数据的频数是________．
【答案】36
【解析】∵某组数据的频率是，样本容量是120，
∴这组数据的频数是，
故答案为：36．
13.已知，则分式的值为________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14.图为《天工开物》记载用于舂（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为______度．
【答案】
【解析】∵于点，于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案：．
15.贴福字是春节传统习俗．小明准备裁剪一张长方形彩纸（如图1），为一幅边长为a的正方形福字作品四周镶边（如图2），镶边要求正方形的四周边宽都为b．已知长方形彩纸的一边长为2b，且裁剪镶边均不浪费、无重叠（接缝处忽略不计），则长方形彩纸的另一边长为________．（用含a，b的代数式表示）
【答案】
【解析】设长方形彩纸的另一边长为，
由题意得：
解得：，
故答案为：．
16.已知，均为正整数，且，．若，则的值为______．
【答案】或
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∵的正整数因数对为：和，
∴或，
解得：或，
综上所述，或，
故答案为：或．
三、解答题（第17、18、19、20、21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分）
17.计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
18.因式分解：
（1）；
（2）．
解：（1）
（2）
19.解方程（组）：
（1）；
（2）．
解：（1）
得，解得，
将代入①中。得，
∴方程组的解为；
（2）去分母，得
去括号，得
合并同类项，得
两边都除以2，得
经检验，是增根，原分式方程无解．
20.先化简，再求值：，其中．
小文的部分解答过程如下：
请指出小文解答过程中最早出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：第①步不应该乘以，即最早出现错误步骤的序号是①，
原式
当时，原式.
21.为了解某校七年级学生1分钟跳绳情况，随机抽取部分七年级学生进行1分钟跳绳测试，并把测得数据分成四组，绘制成如下频数直方图和扇形统计图．
（1）参加本次抽测的总人数为________人；“”这一组的组中值________；
（2）把频数直方图补充完整，并求出扇形统计图中n的值；
（3）已知该校七年级共有400名学生，请估算该校七年级跳绳次数超过170次约有多少人？
解：（1）参加本次抽测的总人数为（人），
这一组的组中值，
故答案为：50 183．
（2）在这一组的人数为（人），
，
则，补全频数直方图如下：
（3）（人），
答：估算该校七年级跳绳次数超过170次约有296人．
22.已知，点A，D在直线上，点E，B在直线上，，平分，F是直线上方一点，且．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
解：（1）与平行，理由如下：
∵
∴
又∵
∴
∴．
（2）∵，，
∴，
∵
∴
而平分，
∴
由（1）得
∴．
23.某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒．
（1）求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
（2）已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
解：（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒；
（2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步
由题意可得
因为m、n为正整数，n为15的整数倍，
，，
当时，完成接力任务的时间为（秒）
当时，完成接力任务的时间为（秒）
当时，完成接力任务的时间为（秒）
答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒．
24.在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：．
（1）判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）．
①（ ）；②（ ）．
（2）若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值；
（3）若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值．
解：（1）①由题意可得：，①正确，
故答案为：是；
②
，②错误，
故答案为：否；
（2），
∵该分式的值为整数，
∴的值可为，，
又∵a为正整数，
∴a的值为2或8；
（3）∵分式和的值同时为整数，
∴设，则，且a为整数，，
∴
∴或，
解得或（舍去）或或（舍去），
∴或．①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作．
作法：
②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线．
作法：
③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线．
作法：
④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作．
作法：
原式……①
……②
……③
当时，原式．