2024-2025学年浙江省宁波市余姚市名校七年级下学期期末考试 数学试卷（解析版）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】根据二元一次方程的定义可知，只有B选项中的方程是二元一次方程，
故选：B．
2.科学家在研究某种新型细胞时，测量出该细胞的直径约为米，数据用科学记数法表示为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】，
故选：D．
3.如图，下列条件中能判定的是（ ）
①；②；③；④
A.②B.②③④
C.②④D.①③
【答案】C
【解析】能推出，故①不符合题意；
能推出，故②符合题意；
不能推出，故③不符合题意；
∵，
∴，即，能推出，故④符合题意；
综上所述，能判定的是②④，
故选：C．
4.下列变形是因式分解的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】A、等式的右边不是乘积的形式，则不是因式分解，此项不符合题意；
B、等式右边的不是整式，则不是因式分解，此项不符合题意；
C、等式的右边不是乘积的形式，则不是因式分解，此项不符合题意；
D、等式的两边相等，且等式的右边是整式的乘积的形式，则是因式分解，此项符合题意；
故选：D．
5.分式的值为，将，都扩大倍，则变化后分式的值为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】，
当和均扩大2倍时，新分式，
则变化后的分式值为，
故选：D．
6.计算的值为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
；
故选：A．
7.某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒．则下列方程组中符合题意的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】由题意，可列方程组为，
故选：C．
8.已知，则（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
故选：D．
9.已知，，则（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】，
又∵，，
∴，
∴．
故选：A．
10.一般地，若，则n叫做以为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．且对数满足性质（），则以下结论正确的有（ ）个．
①； ②；
③（为正整数）；
④若，，则．
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】①，，
，，
，①结论错误；
②令，，则，，
，
，
即，②结论正确；
③设，则，
，
，
，
，，
，，
，③结论正确；
④若，，
则，，
，④结论错误，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11.若代数式的值为0，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】∵代数式的值为0，
∴且，
即且，
∴，
故答案为：．
12.将一些数据分成四组，已知第一组到第三组的频数分别是5，10，6，第四组的频率是0.3，则第四组的频数是_______．
【答案】9
【解析】设第四组频数是x，
根据题意，得，
解得，
即第四组的频数是9，
故答案为：9．
13.若是方程组的解，则的值是______．
【答案】2
【解析】将代入得，
即
∴，
故答案为：．
14.关于的方程有增根，则的值是______．
【答案】
【解析】去分母，得，
∵的方程有增根，
∴增根为，
将代入方程中，得，
解得，
故答案为：．
15.若实数x满足，则______．
【答案】或
【解析】设，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
解得；
∴当时，，
解得；
综上所述，或．
故答案为：或．
16.如图，将一张长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，线段交于点E，的平分线与的平分线相交于点K．若，则的度数为______．
【答案】
【解析】如图所示：
设，，
由折叠的性质得：，，，
，，
，，
，，
，
在中，，
，
，
，
，，，，
由折叠的性质得：，，
，，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
，
在中，．
故答案为：．
三、解答题：第17题6分，第18、19、20、21题各8分，第22题10分，第23、24题各12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.计算：
（1）．
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
.
18.解方程组：
（1）
（2）．
解：（1），
可得：，
得：，
解得：，
把代入方程得：，
方程组的解为；
（2），
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
把代入，
可得：，
是原分式方程的增根，
原分式方程无解．
19.分解因式：
（1）．
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
20.先化简：，并在，，，中选一个合适的值代入求值．
解：
，
∵，，，
得，，，
∴，
代入得，原式=．
21.年月日时分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理.数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查______名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为______度；
（3）规定本次航天知识竞赛活动成绩在分及以上的成绩为优秀，全校共有名学生，请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少？
解：（1）根据题意得：（名），
组学生为（名），
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：50；
（2）根据题意得：，
故答案为：；
（3）根据题意得：（名），
则估计全校取得优秀成绩的同学约有名．
22.如图，已知，平分．
（1）求证：．
（2）若，且，求的度数．
解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过E点作，交于点F，
∴，
∵，
∴，
令，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即．
23.某校组织七年级师生参加春游活动，有中客车和大客车两种交通工具可供租用，已知1辆中客车可乘坐30人，1辆大客车可乘坐42人，且租用1辆大客车和1辆中客车的费用共900元，2500元能租用的大客车数量与2000元能租用的中客车数量相同．
（1）分别求出租用1辆大客车的费用和租用一辆中客车的费用．
（2）若全校师生共504人参加春游活动，那么有哪些不同租车方案可供选择（要求租用的客车都必须坐满）？
（3）在（2）条件下，请通过计算说明哪种租车方案最优惠？
解：（1）设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车元
由题意得：
解得
经检验是所列方程的解，且符合题意
中客车：（元）
答：租用1辆中客车需要400元，租用1辆大客车需要500元；
（2）设租用m辆中客车，n辆大客车
由题意得：，即，
∴，
∵m、n 为非负整数，
∴或或，
共3种租车方案：方案一：租用中客车0辆，大客车12辆；方案二：租用中客车7辆，大客车7辆；方案三：租用中客车14辆，大客车2辆；
（3）租用中客车0辆，大客车12辆费用：（元），
租用中客车7辆，大客车7辆费用：（元），
租用中客车14辆，大客车2辆费用：（元）
∵
∴租用大客车12辆最优惠．
24.如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法：
解：．因为是非负数，所以当时，的值最小，最小值为1，所以的最小值是1．
（1）求代数式的最小值．
（2）求代数式的最小值．
（3）求代数式的最小值．
解：（1），
因为是非负数，
所以当时，取最小值；
（2），
因为是非负数，
所以当，即时，取最小值7；
（3）
，
观察出当或时，，此时取最小值6．