2024-2025学年浙江省杭州市西湖区名校七年级下学期第一次月考数学试卷（解析版）

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一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1.下列式子中，是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A．，是二元一次方程，故该选项符合题意；
B．，只有1个未知数，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C．，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
D．，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意．
故选：A．
2.如图，下列结论中正确的是（ ）
A.与是同旁内角B.与是内错角
C.与是内错角D.与是同位角
【答案】B
【解析】A.与是邻补角，该选项错误，故不符合题意；
B.与是内错角，该选项正确，故符合题意；
C.与不是内错角，该选项错误，故不符合题意；
D.与是同旁内角，该选项错误，故不符合题意．
故选：B．
3.如图，已知，，则的度数（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
4.已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】根据题意，得：
将代入方程得，
，
解得：，
即．
故选：D．
5.如图，点E在延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A.B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，∴，故A选项不符合题意；
∵，∴，不能，故B选项符合题意；
∵，∴，故C选项不符合题意；
∵，∴，故D选项不符合题意；
故选：B．
6.方程组的解为，则被遮盖和的两个数分别为（ ）
A.9，B.9，1C.7，D.5，1
【答案】C
【解析】由题意得：
将代入得：，
将，代入得：，
∴，．
故选：C．
7.已知关于，的方程是二元一次方程，则、的值为（ ）
A.，B.，
C.，D.，
【答案】A
【解析】关于，的方程是二元一次方程，
，解得：．
故选：A．
8.将一把直尺和一块含角的三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意可知，
∴，
由三角板的特点可知：，
，
故选：A．
9.若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】，
①②得：，
，
将代入①得：，
，
，
关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
，
解得：．
故选：．
10.如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是（ ）
A.①②B.①②③C.②④D.①②④
【答案】A
【解析】，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，则结论①正确；
，
，
，则结论②正确；
，，，
，，
但不一定等于，也不一定等于，
所以平分，FH平分都不一定正确，则结论③和④都错误；
综上，正确的是①②．
故选：A．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11.已知二元一次方程，则用含的代数式表示为：________．
【答案】
【解析】已知二元一次方程，
则．
故答案为：．
12.如图，将沿所在的直线平移到的位置，若图中，，则____．
【答案】7
【解析】根据平移性质可知，
∴，
∴．
故答案为：7．
13.如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为_____________．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14.若方程组解是，则方程组的解为________．
【答案】
【解析】∵方程组的解是，
∴方程组中，，
解得：，
∴方程组的解是．
故答案为：．
15.购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需_______元．
【答案】7
【解析】设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元．
则由题意得：
，
由①②得，
于是：，
故答案为：7．
16.如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿直线折叠成图3，则图3中，________，________．
【答案】
【解析】，，
图 2 中，，，
则，
，
，
在图 3 中，，
．
故答案为： ．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17.解方程组：
（1）
（2）
解：（1）
，得：
，
，得：
，
解得：，
将代入②得：
，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）
将②代入①，得：
，
解得：，
将代入②，得：
，
解得：
∴原方程组的解为．
18.已知：如图，．求证：平分．
请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：
证明：，（已知）
___________，（ ）
（ ）
（ ）
（已知），
______________________．（ ）
平分（ ）
证明：，（已知），
∴，（同角的余角相等），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
∴，
∴（等量代换），
平分（角平分线的定义）．
19.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点，点都在正方形网格的格点上．
（1）平移三角形，使点A与重合，画出平移后得到的三角形；
（2）连接，，则线段与的位置关系是 ；
（3）四边形的面积是 （平方单位）．
解：（1）如图所示：
（2）根据平移的性质，可得线段与平行且相等，
故答案为：平行且相等．
（3）四边形的面积，
故答案为：5．
20.已知：如图，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，若，求的度数．
解：（1），理由如下，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
21.甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
解：（1）把代入②，得，
解得，
把代入①，得，
解得；
（2）将，代入原方程组，得，
整理得，
得：，
解得：，
将代入，得：，
解得：，
因此原方程组正确解为．
22.如图和的度数满足方程组，且，．
（1）求与的度数；
（2）证明与的位置关系，并求出∠C的度数．
解：（1）由，
得：，解得，
把代入②得；
（2）．
理由如下：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
∵．
∴，
∵，
∴，
∴．
23.某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表：
若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元．
（1）求m和n的值；
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？
解：（1）依题意得：，
解得：．
答：m的值为80，n的值为60．
（2）依题意得：，
∴，
∴．
答：该商场可获利1200元．
（3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，
依题意得：，
又∵a，b均为非负整数，b为3的倍数，
∴或或．
答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个或A款足球0个，B款足球20个．
24.如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD.
（1）求证：∠EMF＝90°．
（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．
（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥EM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．
解：（1）如图1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，
∴∠FEM＝∠BEF，∠EFM＝∠DFE，
∴∠FEM+∠EFM＝×180°＝90°，
∴∠EMF＝90°；
（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，
∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x，
∴∠EFM＝90°﹣4x，
∴∠NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°，
∵∠MFE＝2∠MFD，
∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°），
∴x＝15°，
∴∠MFN＝15°，
∴∠N＝90°﹣15°＝75°；
（3）如图3，∵GQ⊥FM，
∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）．
∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ．
∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，
又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFD）＝∠HFD，
∴∠HFD＝2∠GFQ．
又∵AB∥CD，
∴∠EHF+∠HFD＝180°，
∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ，
即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．类型
进价（元/个）
售价（元/个）
A款
m
120
B款
n
90