函数与方程错题归纳专题练2026年高考数学第一轮专题复习：备考 [含答案]

这是一份函数与方程错题归纳专题练2026年高考数学第一轮专题复习：备考 [含答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
类型梳理
针对性训练
一、单选题
1．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
2．“”是“函数只有一个零点”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
3．设表示不超过实数的最大整数，如，则方程解的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．函数与的图象在区间上的交点个数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
5．已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数有唯一零点，则（ ）
A．0B．C．2D．
7．用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
8．给出以下结论，其中正确结论的个数为
①函数的零点为，则函数的图象经过点时，函数值一定变号.
②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
③函数在区间上连续，若满足，则方程在区间上一定有实根.
④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效.
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．若函数在区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
10．已知奇函数的定义域为，且在上的图象如图所示，则函数的零点个数为（ ）
A．7B．6C．5D．4
11．已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．非充分非必要条件
12．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
13．下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（ ）
A．B．
C．D．
14．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．是奇函数
C．的零点是，D．在区间上是增函数
15．已知定义在上的函数满足，，且的图象是一条连续不断的曲线，则（ ）
A．在区间上可能存在零点B．在区间上可能存在极值点
C．在区间上一定存在零点D．在区间上一定存在极值点
三、填空题
16．若函数在区间有且仅有一个零点，则实数的取值范围是 .
17．已知函数的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
则函数在区间上的零点至少有 个．
四、解答题
18．已知函数，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)当时，方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
19．已知函数．
(1)求方程的解．
(2)记函数．
（i）若有3个零点，求的取值范围；
（ii）若，且，求证：．
答案
1．B
【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数.
【详解】作图像，列表：
作图像，列表：
在同一坐标系中画出图形，如下图所示，
则两个函数在上有4个交点.
故选：B.
2．C
【分析】在时，求函数的零点，判断充分性，由函数只有一个零点求，判断必要性，由此可得结论.
【详解】当时，函数只有一个零点；
当时，函数只有一个零点1；
若函数只有一个零点，则或．
所以“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件．
故选：C.
3．B
【分析】作出函数和的图象，数形结合即可得解.
【详解】方程解的个数等价于函数和的图象交点个数，
作函数和的图象如图所示：
由图可知函数和的图象的交点个数为5.
方程解的个数为5.
故选：B
4．D
【分析】在同一直角坐标系中画出函数和在区间上的图象，数形结合即可求解．
【详解】在同一直角坐标系中画出函数和在区间上的图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有9个交点，
故选：D．
5．B
【分析】根据函数新定义计算在区间有解问题，列方程换元求解即可.
【详解】根据“局部奇函数”的定义可知，方程有解即可，
即，所以，
化为有解，令，
由基本不等式可知，当且仅当时取等，故，
则有在上有解，设，对称轴为．
①若，则，满足方程在上有解；
②若，要使在时有解，则需，
解得．
综上可得，实数的取值范围为．
故选：B.
6．C
【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可.
【详解】定义域为，
，所以函数为偶函数，
又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以，
当时，函数有唯一零点，符合题意；
当时，函数有零点，不符合题意舍；
故选：C.
7．A
【详解】由题意可知，对于函数在区间上，有，所以函数在上有零点．取区间的中点．因为计算得，所以函数在上有零点，故．
8．B
【分析】根据函数的零点是函数图象与轴交点的横坐标，来判定①②是否正确；根据函数的零点存在定理，即函数在区间上连续，若满足，则函数在上存在零点，来判断③④是否正确．
【详解】对于①，当函数的零点为不变号零点时，则函数的图象经过点时，函数值不变号，所以①不正确．
对于②，当函数的图象不连续（即图象断开），且在相邻的两个零点之间断开时，则在这两个零点间的函数值不一定同号，如正切函数，所以②不正确．
对于③，由零点存在定理可得正确．
对于④，由于“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以④不正确．
综上可得只有③正确．
故选B．
本题考查函数零点的概念，解题的关键是正确理解零点的概念和零点存在定理，属于基础题．
9．C
【分析】由零点存在定理易判断“”是“”的充分条件，利用举反例可说明“”不是“”的必要条件即得.
【详解】因是区间上的连续曲线，由，利用函数零点存在定理可知必；
而由不能得出，如设，显然，但.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：C.
10．B
【分析】根据题意，即求函数在上的图象与直线，公共点个数.
【详解】令得或.
如图，画出在上的图象与直线，直线．
由图可知，的图象与直线有5个公共点，
的图象与直线仅有1个公共点，
则的零点个数为．
故选：B.
11．D
【分析】根据充分必要条件的定义和零点存在性定理判断.
【详解】根据题意，若，
则中两正一负，或者三负，
只有当时，
才能得到方程在和内至少各有一个解，
所以“”是“方程在内至少有两个解”的不充分条件；
反之，若方程在内至少有两个解，无法确定的符号，
所以“”是“方程在内至少有两个解”的不必要条件，
所以“”是“方程在内至少有两个解”的非充分非必要条件.
故选：D
12．D
【分析】作出的图象，由题意知有两个根再结合二次方程有两个不同的根即可求得的范围.
【详解】令，则令 即有4个不同的实数根.
则要有两个解，

由图知，.
，得.
则.
令，得，则，，得，.
则.
故选：D.
13．BC
【详解】对于A，由知此函数的判别式，故函数无零点；对于D．由知此函数的判别式，故无法用二分法求零点近似值；对于B，C，函数存在变号零点，能用二分法求解．
14．ACD
【分析】根据正弦函数的周期性和函数奇偶性的定义可判断AB；根据函数的零点定义和正弦函数的单调性可判断CD.
【详解】对A，的最小正周期为，故A正确；
对B，的定义域为，但，故不是奇函数，故B错误；
对C，由，可得，故其零点为，，故C正确；
对D，因为在上单调递增，而，
故在区间上是增函数，故D正确.
故选：ACD.
15．ABC
【分析】假设在区间上先减后增时，，，由零点存在性定理与极值点的概念逐项判断即可.
【详解】当在区间上先减后增，且存在极值点时，若，
则设，，且的图象是一条连续不断的曲线，
故由零点存在性定理，在与上有两个零点，故A正确；
此时存在极值点，故B正确；
由，且的图象是一条连续不断的曲线，
故由零点存在性定理可知在区间上一定存在零点，故C正确；
若在区间上单调递减，此时D无法满足，故D错误．
故选：ABC．
16．或
【分析】原问题可转化为在区间有且仅有一个零点，所以在区间没有解或恰有一解，按的取值范围分类讨论即可.
【详解】因为函数在区间有且仅有一个零点，即在区间有且仅有一个零点，
所以在区间没有解或恰有一解，
①时，在区间无解，合题意；
②且时，需满足，即；
③时，在区间恰有一解，满足题意.
综上可知，实数的取值范围是或，
故或
17．3
【分析】根据题意，得到，结合零点的存在性定理，即可得到答案.
【详解】根据题设表格中的数据，可得，
则，
根据零点存在性定理，可得在区间上均至少含有一个零点，
所以函数在区间上的零点至少有3个．
故3.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可得到的解析式；
（2）由（1）知，写出函数单调减区间即可；
（3）根据，求出的范围，结合图象，根据与图象有2个交点，即可求解.
【详解】（1）由已知，，
因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，
则的最小正周期，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，
令，
解得，
故的单调递减区间为．
（3）由（1）知，
因为时，所以．
令，
则，
方程恰有两个不同的实数解，
即函数的图像与直线恰有两个不同的交点，
如下图：
结合图像可知，即，
综上，实数的取值范围是．
19．(1)，；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）由题设，解方程并结合指对数关系求解即可；
（2）（i）令，分类讨论解及零点个数确定参数范围；
（ii）方程有两个正根，，且，设有 ，即可证.
【详解】（1）因为，所以，
解得或，即或，方程的解为，．
（2）（i）函数，
令，方程转化为：．
分情况讨论的符号：
当：方程化为，解为，只需，存在唯一解；
当：方程化为，对于，
有，则，只需，存在唯一解；
当：方程化为，解为，只需，存在唯一解；
当：方程化为，对于，
有，则，只需，存在唯一解．
综上，当时方程在三个区间各有一个解，共3个零点，故的取值范围为．
（ii）由题意，，，设，
等价于方程有两个正根，，且，
，则，
，解得，
．
设，则，故，
所以．
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
24.5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
D
B
C
A
B
C
B
题号
11
12
13
14
15





答案
D
D
BC
ACD
ABC





0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
2
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