2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区启正中学七年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区启正中学七年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），文件包含生物试题卷docx、生物试题卷答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。
1.窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到.下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是( )
A. 四钱纹样式B. 梅花纹样式
C. 拟日纹样式D. 海棠纹样式
2.下列方程中，属于二元一次方程的是( )
A. x+y=2B. x2+y=0C. xy=2D. x−y=2z
3.如图，∠1与∠2是( )
A. 对顶角B. 内错角C. 同位角D. 同旁内角
4.如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠PQ，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道AB.这种铺设方法蕴含的数学原理是( )
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间，线段最短
C. 过一点可以作无数条直线
D. 垂线段最短
5.在解关于x和y的二元一次方程组2x+ay=56x+by=−2两式相加可直接消去y，则a和b( )
A. 互为倒数B. 互为相反数C. 有一个为0D. 相等
6.如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射.一束光线沿AD斜射入水面，在点B处发生折射，沿BC方向射入水中.如果∠1=80∘，∠2=41∘，那么光的传播方向改变了( )
A. 100∘
B. 80∘
C. 41∘
D. 39∘
7.计算( a⋅a⋯⋯an个)3的结果是( )
A. a3B. anC. an+3D. a3n
8.把一根长11cm的绳子截成1cm和3cm两种规格的绳子，要求每种规格的绳子至少1根，且无浪费．下面有四种说法：①规格为1cm的绳子可能截出8根；②规格为1cm的绳子可能截出5根；③规格为1cm的绳子可能截出2根；④规格为1cm的绳子可能截出1根．则所有正确说法的序号是( )
A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④
9.如图1，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图2、3两种方式放置在正方形ABCD内.记图2中阴影部分面积为S1，图3中阴影部分面积分别为S2，S3，若S1+S2=4，则S3的值为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
10.已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点(AM>DN)，如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1=∠2，则∠CPM的度数为( )
A. 68∘B. 70∘C. 72∘D. 74∘
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知2x+y=6，用含x的代数式表示y，则y=______.
12.如图，添加一个条件： ，使得AD//BC.
13.已知a2=b2+4，则(a+b)(a−b)= .
14.已知多项式(x−2)2=ax2+bx+c，则a+b+c= .
15.如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高76cm的收纳柜恰好可以收纳 把休闲凳.
16.已知b+c=t，a+b=k.
(1)若t=2k=2，则c与a的等量关系是 .
(2)若c−2a=3t，则c−3a= .(用含k，t的代数式表示)
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
用适当的方法解下列方程组．
(1)2x−3y=1y=x−4；
(2)4x−2y=103x−4y=5.
18.(本小题8分)
小Q在计算(x+3)(x+□)时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小正告诉他结果中的一次项系数为−4.
(1)被染黑的常数为______；
(2)请你帮助小O算出这道题的结果.
19.(本小题8分)
在如图所示4×4方格中，按下列要求作格点三角形(图形的顶点都在正方形格纸的格点上).
(1)在图1中，将△ABC平移，得到△A′B′C′，使得△A′B′C′与△ABC无重合部分.
(2)在图2中，线段AB与CD相交，产生∠α，请画一个△ABE，使得△ABE中的一个角等于∠α.
20.(本小题8分)
如图，有一块长为(3a+2)米、宽为(a−1)米的长方形花园(阴影部分)，因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园.
(1)请用含a的代数式表示扩建后的长方形花园面积；
(2)求扩建后花园面积增加多少平方米(用含a的代数式表示).
21.(本小题8分)
如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，∠AOE=∠BNM.
(1)求证：OE//DM；
(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30∘，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数.
22.(本小题10分)
如果xn=y，那么我们规定(x,y)=n.例如：因为32=9，所以(3,9)=2.
(1)[理解]根据上述规定，填空：(5,25)=______，(4,64)=______；
(2)[说理]记(2,14)=a，(2,5)=b，(2,70)=c.试说明a+b=c；
(3)[应用]若(m,12)+(m,4)=(m,t)，求t的值.
23.(本小题10分)
如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮.利用图中信息解决下列问题：
(1)王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，且水杯中的水温为t∘C.
①王老师的水杯容量为______ ml；
②接入水杯的温水吸收的热量为______ml⋅∘C(用含t的代数式表示).
(2)小Q同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210ml，温度为40∘C的水(不计热损失)，求小Q同学的接水时间.
24.(本小题12分)
已知直线a//b，点A、B在直线a上(B在A左侧)，点C在直线b上，E点在直线b的下方，连接AE交直线b于点D.
(1)如图1，若∠BAD=110∘，∠DCE=45∘，求∠DEC；
(2)如图2，∠BAD的邻补角的角平分线与∠DEC的角平分线所在的直线交于点M，试探究∠AME与∠ECD之间的数量关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，将图2中点A向右平移，使得点D在C点右侧，直接写出∠AME与∠ECD的数量关系______.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、本选项的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到；
B、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
C、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
D、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选：A.
根据平移的性质解答即可．
本题考查了利用平移设计图案，熟知平移的性质是关键，注意平移不改变图形的形状和大小．
2.【答案】A
【解析】解：A.x+y=2是二元一次方程，故选项A符合题意；
B.x2+y=0，含有两个未知数，未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故选项B不符合题意；
C.xy=2，含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故选项C不符合题意；
D.x−y=2z，含有3个未知数，不是二元一次方程，故选项D不符合题意．
故选：A.
根据二元一次方程的定义解答即可．
本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∠1与∠2是同位角．
故选：C.
根据同位角的定义判断即可．
本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是垂线段最短的有关知识，直接利用垂线段最短进行求解即可.
【解答】
解：某污水处理厂要从 A处把处理过的水引入排水渠 PQ，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道 AB.这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短.
5.【答案】B
【解析】解：在解关于x和y的二元一次方程组2x+ay=56x+by=−2两式相加可直接消去y，则：
{2x+ay=5①6x+by=−2②，
①+②，得8x+(a+b)y=3，
∵两式相加可直接消去y，
∴a+b=0，
即a和b互为相反数，
故选：B.
把两个方程相加得8x+(a+b)y=3，进而可得a+b=0，即可求解．
本题考查了解二元一次方程组，正确进行计算是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵MN//EF，
∴∠CBM=∠1=80∘，
∵∠DBM=∠2=41∘，
∴∠CBD=∠MBC−∠MBD=39∘，
∴光的传播方向改变了39∘，
故选：D.
利用平行线的性质得出∠MBC=∠1=80∘，根据对顶角相等得出∠MBD=∠2=41∘，进而求出∠DBC的度数，即可得解．
本题考查平行线的性质，对顶角、邻补角，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
7.【答案】D
【解析】解：原式=a3n.
故选：D.
n个a相乘可表示为an，再根据幂的乘方运算法则可得答案．
本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设截成1cm的绳子x根，3cm的绳子y根，
由题意得：x+3y=11，
①当x=8时，y=1，即规格为1cm的绳子截出8根时，3cm规格的绳子可以截1根，正确；
②当x=5时，y=2，即规格为1cm的绳子截出5根时，3cm规格的绳子可以截2根，正确；
③当x=2时，y=3，即规格为1cm的绳子截出2根时，3cm规格的绳子可以截3根，正确；
④当x=1时，y=103，即规格为1cm的绳子截出1根时，3cm规格的绳子截不出整数根，所以不正确；
正确说法的序号是①②③．
故选：B.
根据给出的数据和随机事件的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了二元一次方程的整数解，解决本题的关键是正确求出二元一次方程的整数解，是一道基础题．
9.【答案】B
【解析】解：设正方形ABCD的边长为m，正方形①的边长为n，则长方形②的长为n，宽为(m−n)，
∴S1=(m−n)2，S2=n(m−n)−(m−n)2，S3=m2−n2−(m−n)2.
∵S1+S2=4，
∴(m−n)2+n(m−n)−(m−n)2=mn−n2=4，
∴S3=m2−n2−(m−n)2=2mn−2n2=2(mn−n2)=2×4=8.
故选：B.
设正方形ABCD的边长为m，正方形①的边长为n，则长方形②的长为n，宽为(m−n)，根据各图形的放置方式，可用含m，n的代数式表示出S1，S2，S3，结合S1+S2=4，可得出mn−n2=4，再将其代入S3=2(mn−n2)中，即可求出结论．
本题考查了列代数式以及代数式求值，根据各图形面积间的关系，用含m，n的代数式表示出S1，S2，S3是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由翻折的性质得：∠AMN=∠NMP，∠CPM=∠HPM，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB//CD，
∴∠AMN=∠1(两直线平行，内错角相等)，
∴∠NMP=∠1，
又∵∠1=∠2，
∴∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，
∴∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1，
∵HP//GM，
∴∠HPM+∠GMP=180∘(两直线平行，同旁内角互补)，
即：∠HPM+3∠1=180∘，
∵CP//BM，
∴∠CPM=∠AMP=2∠1，
∴∠HPM=∠CPM=2∠1，
∴2∠1+3∠1=180∘，
∴∠1=36∘，
∴∠CPM=2∠1=72∘，
故选：C.
由翻折的性质和长方形的性质可得出：∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，据此可得∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1，再根据HP//GM得∠HPM+∠GMP=180∘，根据CP//BM得∠CPM=∠AMP=2∠1，据此可求出∠1=36∘，进而可求出∠CPM的度数．
本题考查了平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握．
11.【答案】−2x+6
【解析】解：方程2x+y=6，
解得：y=−2x+6.
故答案为：−2x+6.
把x看做已知数表示出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y.
12.【答案】∠4=∠3(答案不唯一)
【解析】解：添加∠4=∠3，使得AD//BC，理由如下：
∵∠4=∠3，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行).
故答案是：∠4=∠3(答案不唯一).
根据平行线的判定定理，即可直接写出条件．
本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵a2=b2+4，
∴a2−b2=4，
∴原式=4.
故答案为：4.
利用平方差公式化简后代入求值即可．
本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运算法则．
14.【答案】1
【解析】解：∵(x−2)2=ax2+bx+c，
∴x2−4x+4=ax2+bx+c，
∴a=1，b=−4，c=4，
∴a+b+c=1−4+4=1，
故答案为：1.
将等式的左边根据完全平方公式展开，即可得出a、b、c的值，再计算a+b+c即可．
本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：设每把休闲凳的高度为x cm，每多叠一把休闲凳高度增加y cm，
根据题意得：x+y=52x+3y=64，
解得：x=46y=6，
∴76−xy+1=76−466+1=6(把)，
∴高76cm的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳．
故答案为：6.
设每把休闲凳的高度为x cm，每多叠一把休闲凳高度增加ycm，根据图中的数据，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入76−xy+1中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16.【答案】c=a+1
5t+k.

【解析】解：(1)∵b+c=t，a+b=k，
∴b=t−c，b=k−a，
∴t−c=k−a，
∵t=2k=2，
∴t=2，k=1，
∴2−c=1−a，
即c=a+1，
故答案为：c=a+1；
(2)由(1)知t−c=k−a，
即c−a=t−k，
∴c=a+t−k，
又∵c−2a=3t，
即c=2a+3t，
∴a+t−k=2a+3t，
∴a=−2t−k，
∴c=(−2t−k)+t−k，
即c=−t−2k，
∴c−3a=−t−2k−3(−2t−k)=5t+k.
17.【答案】解：(1){2x−3y=1①y=x−4②，
将②代入①得2x−3(x−4)=1，
解得x=11，
将x=11代入②得y=11−4=7，
所以方程组的解为x=11y=7；
(2){4x−2y=10①3x−4y=5②，
①×2−②得5x=15，
解得x=3，
将x=3代入①得3×4−2y=10，
解得y=1，
所以方程组的解为x=3y=1.
【解析】(1)将②代入①可求解x值，将x=11代入②可求解y值，进而解方程组；
(2)①×2−②可求解x值，再将x值代入①可求解y值，进而解方程组．
本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组：加减消元法，代入消元法，选择合适的解法是解题的关键．
18.【答案】−7 x2−4x−21
【解析】解：(1)由题意得□+3=−4，
解得□=−7，
故答案为：−7；
(2)(x+3)(x−7)
=x2−7x+3x−21
=x2−4x−21.
(1)根据多项式乘多项式的运算法则解答即可；
(2)根据多项式乘多项式的运算法则计算即可．
本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图1，△A′B′C′为所作；
(2)如图2，△ABE为所作．

【解析】(1)把△ABC向右平移2个单位即可；
(2)把CD向右平移2个单位，C点与A点重合，则D点的对应点为E点．
本题考查了作图-平移变换：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20.【答案】扩建后的长方形的花园面积为(3a2+7a+4)平方米 扩建后花园面积增加(8a+6)平方米
【解析】解：(1)由题意得：扩建后的长方形的花园长为3a+2+2=(3a+4)米，宽为a−1+2=(a+1)(米)，
(3a+4)(a+1)
=3a2+3a+4a+4
=(3a2+7a+4)平方米，
∴扩建后的长方形的花园面积为(3a2+7a+4)平方米；
(2)扩建前花园面积为：(3a+2)(a−1)=3a2−3a+2a−2=(3a2−a−2)平方米，
∴3a2+7a+4−(3a2−a−2)=3a2+7a+4−3a2+a+2=(8a+6)平方米，
∴扩建后花园面积增加(8a+6)平方米．
(1)先求出扩建后的长方形的花园的长和宽，再根据长方形面积公式，列出算式进行解答即可；
(2)用扩建后的面积减去扩建前的面积即可．
本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，解题关键是理解题意列出算式．
21.【答案】∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，
∴∠AOE=∠AND(等量代换)，
∴OE//DM(同位角相等，两直线平行) 105∘
【解析】(1)证明：∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，
∴∠AOE=∠AND(等量代换)，
∴OE//DM(同位角相等，两直线平行)；
(2)解：∵扶手AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB//CD，∠ODC=30∘，
∴∠BOD=∠ODC=30∘，
∵∠AOF+∠BOD=180∘，
∴∠AOF=150∘，
∵OE平分∠AOF，
∴∠EOF=12∠AOF=75∘.
∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=105∘.
∵OE//DM，
∴∠ANM=∠BOE=105∘.
(1)根据题意得到∠AOE=∠AND，再由同位角相等，两直线平行即可求解；
(2)根据AB//CD，可得∠BOD=∠ODC=30∘，从而得到∠AOF=150∘，再结合角平分线的定义可得∠BOE=105∘，然后根据OE//DM，即可求解．
本题主要考查平行线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
22.【答案】2;3 证明：∵(2,14)=a，(2,5)=b，(2,70)=c，
∴2a=14，2b=5，2c=70.
∵14×5=70，
∴2a×2b=2c，
∴2a+b=2c，
∴a+b=c 48
【解析】(1)解：∵52=25，43=64，
故答案为：2，3；
(2)证明：∵(2,14)=a，(2,5)=b，(2,70)=c，
∴2a=14，2b=5，2c=70.
∵14×5=70，
∴2a×2b=2c，
∴2a+b=2c，
∴a+b=c；
(3)设(m,12)=p，(m,4)=q，(m,t)=r，
∴mp=12，mq=4，mr=t，
∴mp⋅mq=mp+q，
∵(m,12)+(m,4)=(m,t)，
∴p+q=r，
∴mp+q=mr，
∴12×4=t，
即t=48.
(1)根据已知条件中的新定义求出答案即可；
(2)根据已知条件中的新定义得到2a=14，2b=5，2c=70，然后根据同底数幂相乘法则进行证明即可；
(3)设(m,12)=p，(m,4)=q，(m,t)=r得mp=12，mq=4，mr=t，然后根据同底数幂相乘法则进行解答即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法和新定义，解题关键是理解新定义的含义．
23.【答案】400;(280t−8400) 小Q同学的接水时间为11s
【解析】解：(1)①∵14×20+8×15=280+120=400(ml)，
∴王老师的水杯容量为400ml；
故答案为：400；
②接入水杯的温水吸收的热量为：14×20×(t−30)=(280t−8400)(ml⋅∘C)；
故答案为：(280t−8400)；
(2)设嘉琪接温水的时间为x s，接开水的时间为y s，
根据题意得：，
解得：，
∴x+y=11，
∴小Q同学的接水时间为11s.
(1)①由题意列式计算即可；②由题意列出代数式即可；
(2)设嘉琪接温水的时间为x s，接开水的时间为y s，根据嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210ml，温度为40∘C的水，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24.【答案】∠AME=12∠DCE
【解析】解：(1)如图1中，过点E作EF//CD.
∵AB//CD，EF//CD，
∴EF//CD//AB，
∴∠AEF=∠BAE=110∘，∠CEF=∠DCE=45∘，
∴∠DEC=∠AEF−∠CEF=110∘−45∘=65∘.
(2)如图2中，过点M作MF//AB，过点E作EG//AB.设∠BAE=α，∠DCE=β.
∵AB//CD，
∴MF//AB//CD//EG，
∴∠BAE=∠AEG=α，∠DCE=∠CEG=β，
∴∠DEC=α−β，
∵∠BAD的邻补角的角平分线与∠DEC的角平分线所在的直线交于点M，
∴∠MEC=12(α−β)，∠AMF=90∘−α2，
∴∠MEG=β+12(α−β)=12(α+β)，
∴∠AME=∠AMF+∠FME=90∘−α2+α+β2=90∘+β2，
∴∠AME=90∘+12∠DCE.
(3)如图3中，结论：∠AME=12∠DCE.
理由：延长EC交AB于T.设∠BAM=∠RAM=y，∠CEM=∠MED=x，
∵AB//CD，
∴∠DCE=∠ATE，
∵2y=2x+∠ATE，y=x+∠AME，
∴∠AME=12∠ATE=12∠DCE.
故答案为：∠AME=12∠DCE.
(1)如图1中，过点E作EF//CD.利用平行线的性质解决问题即可．
(2)如图2中，过点M作MF//AB，过点E作EG//AB.设∠BAE=α，∠DCE=β.利用平行线的性质以及角平分线定义解决问题即可．
(3)结论：∠AME=12∠DCE.利用三角形的外角的性质证明即可．
本题考查平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度.”