2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区启正中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区启正中学八年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应该假设(    )

A. 三角形中每个内角都大于 B. 三角形中至少有一个内角大于
C. 三角形中每个内角都大于或等于 D. 三角形中每一个内角都小于成等于

5.  若样本，，，，的平均数为，方差为，则对于样本，，，，下列结论正确的是(    )

A. 平均数为，方差为 B. 平均数为，方差为
C. 中位数变小，方差不变 D. 众数不变，方差为

6.  如图，四边形的四个顶点分别在矩形的边和对角线上，已知，下列条件能使四边形是平行四边形的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  杭州地铁号线于年月日实现试运行，从星桥站至潮王路站共设计了种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有个站点，根据题意下面列出的方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，小明在作线段的垂直平分线时，进行了如下操作：
分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，；
作直线根据小明的作图步骤可知四边形的形状一定是(    )

A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形

9.  如图，平行四边形的周长是，对角线与交于点，，是中点，的周长比的周长多，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

12.  甲、乙、丙、丁四名学生最近次数学考试平均分都是分，方差，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是______ ．

13.  若是一元二次方程的一个根，则的值是______．

14.  如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，如此下去，则的周长为______ ．

15.  如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是______．

16.  如图，在正方形中，为的中点，点在边上，且则 ______ ， ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
解方程：
；
．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，，分别平分和，交边于点，，线段，相交于点．
求证：；
若，求的长．

20.  本小题分
在学校举办的“读书月”活动中，八年级班的小红调查了班级里所有同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
这次调查获取的样本数据的众数为______元，中位数为______元；
计算这次调查获取的样本数据的平均数；
若该校八年级共有学生人，根据调查数据，估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了多少元？

21.  本小题分
如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
求证：四边形是菱形；
若，，，求和的长．

22.  本小题分
如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，设平行于墙的边长为．
若围成的花圃面积为时，求的长；
如图，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成花圃，如果能，求的长；如果不能，请说明理由．

 

23.  本小题分
如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．
当点恰好落在边上时，
证明：是等腰三角形；
求线段的长；
点从点向点运动的过程中，若边线段与边交于点，
求此运动过程中，的最大值；
请直接写出点相应运动的路径长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即每一个内角都大于．
故选：．
熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

5.【答案】 

【解析】解：样本，，，，的平均数为，方差为，
样本，，，，的平均数为，方差为，众数和中位数变小．
故选：．
利用平均数、中位数、众数和方差的意义进行判断．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数和中位数．
 

6.【答案】 

【解析】证明：矩形中，，
，
当时，不能证明与全等，就不能得出四边形是平行四边形，
故A不符合题意；
当时，而点没有任何条件，所以不能得出四边形是平行四边形，
故B不符合题意；
又，，
，
又，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
故C符合题意；
当时，不能得出四边形是平行四边形，
故D不符合题意；
故选：．
依据矩形的性质，即可得出≌，进而得到，，由，可得，即可得到四边形是平行四边形；从而可作判断．
此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质的运用．掌握平行四边形的判定是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设有个站点，则．
故选：．
设有个站点，根据每两个站点之间有来往两种车票，共要设计中往返票，可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总票张数作为等量关系列方程求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作图可知，，
四边形是菱形．
故选：．
根据四边相等的四边形是菱形判断即可．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：▱的周长为，
，，
的周长比的周长多，
，
，．
．
，是中点，
；
故选：．
由▱的周长为，对角线、相交于点，若的周长比的周长多，可得，，求出和的长，得出的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
当时，，
为方程的一根，故说法正确；
方程有两个不相等的实根，
，
，
方程有两个不相等的实根，故说法错误；
若方程两根为，且满足，
，，
，，
方程，必有实根，，故说法正确；
是一元二次方程的根，
，
，
，故说法正确．
正确的结论有．
故选：．
由，可得出是一元二次方程的解；
由方程有两个不相等的实根，可得出，结合偶次方的非负性，可得出，进而可得出方程有两个不相等的实根；
由根与系数的关系，可得，，变形得出，，即可得出方程，必有实根，；
利用求根公式，可得出，变形后即可得出．
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】甲 

【解析】解：甲、乙、丙、丁四名学生最近次数学考试平均分都是分，方差，，，，
所以甲的方差最小，
所以这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，
故答案为：甲．
根据方差的定义求解可得．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

13.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
将代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点、、分别为、、的中点，
，，，
的周长，
同理，的周长，

则的周长，
故答案为：
先根据三角形中位线定理计算，总结规律，根据规律解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、图形的变化规律，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，过作交的延长线于，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
边上的高和的边上的高相同，
的面积和的面积相等，
同理的面积和的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是，
的面积是，
，
，
阴影部分的面积是，
故答案为：．
连接，过作交的延长线于，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度．
 

16.【答案】  

【解析】解：过点作于点，

则，
四边形为正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，

，
设，，
点为的中点，
，，
，
≌，≌，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，
，
．
答案为：；．
过点作于点，先证明≌，≌，从而得，，据此可得出答案；首先设，，进而可得，，，据此可在中利用勾股定理用含的代数式表示，进而可用含的代数式表示出，，据此可得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的性质，难点是正确的作出辅助线：过点作于点，构造全等三角形．
 

17.【答案】解；原式
；
原式
． 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用完全平方公式和平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
方程整理得，
，
，
所以，． 

【解析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
先把方程化为整系数，再计算根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，分别平分和，
，
，
；
解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
同法可得，，
，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，即可得出结论；
根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，同法可得，即可推出结果．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质，角平分线的定义是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：众数是：元，中位数是：元．
故答案为：，；
平均数为：元．
故这次调查获取的样本数据的平均数为元；
元．
故该校八年级学生本学期购买课外书共花费了元．
众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断；
根据题意由平均数公式列出算式，求出即可；
利用乘该校八年级学生本学期购买课外书的平均数元的即可求解．
此题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

21.【答案】证明：，平分，
，，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：，，，
，
，
，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：负值已舍去，
由可知，四边形是菱形，
． 

【解析】由等腰三角形的性质得，，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
由勾股定理得，再由三角形面积和勾股定理求出，然后由菱形的性质即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意得，
，
则，
，，
因为，
所以舍去
答：的长为米；

不能围成花圃，根据题意得，，
方程可化为，
，
方程无实数解，
不能围成花圃； 

【解析】由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长；
不能围成花圃；根据得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃；
此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
 

23.【答案】证明：如图中，

，
，
由翻折变换的性质可知，，
，
，
是等腰三角形；

由翻折变换的性质可知，，，，
，
；

如图中，当点运动到时，的值最大，，


如图中，点恰好落在边上时，．
如图中，当点与重合时，，设，

在中，则有，解得，
，
如图中，当点运动到点落在时，即，

点的运动轨迹，运动路径． 

【解析】证明，可得；利用勾股定理求出可得结论；
如图中，当点运动到时，的值最大；
探究点的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．