2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区华东师范大学附属杭州学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区华东师范大学附属杭州学校七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒，新型冠状病毒的半径约是米，将数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

2. 下列命题中，真命题是

A. 相等的角是对顶角
B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 同旁内角互补

3. 如图，下列能判定的条件有个．
   
   ；
   ；
   ；
   ．

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 如图，的边为平面反光镜，一束光线从上的点射出，经上的点反射后，反射光线恰好与平行，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

7. 某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组

A.  B.
C.  D.

8. 如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点，，，的面积为，下列结论：；平移的距离是；；四边形的面积为，正确的有

A.  B.  C.  D.

9. 有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为

A.  B.  C.  D.

10. 已知实数，，满足，有下列结论：若，则；若，则；若，则；若，则其中结论正确的有

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

11. 已知：，用含的代数式表示，得______．
12. 如果是完全平方式，则的值是______．
13. 已知，满足方程组，则______．
14. 已知的解是，则方程组的解是______ ．
15. 有一列数，按一定规律排列成，，，，，，，其中某三个相邻数的积是，则这三个数的和是______．
16. 如图是长方形纸带，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图若，则图中______．

三．解答题（本题共7小题，共66分）

17. 解方程组：
    ；
    ．
18. 计算：
    ；
    ；
    ；
    用平方差公式计算．
19. 先化简，再求值：，其中，．
    已知实数，满足，，求的值．
20. 如图，是上一点，，交于点，．
    直接写出图中与构成的同旁内角．
    求证：．
    若，求的值．
     

21. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：，，，因此，，这三个数都是“和谐数”．
    和这两个数是“和谐数”吗？为什么？
    设两个连续偶数为和其中取非负整数，由这两个连续偶数构成的“和谐数”是的倍数吗？为什么？
22. 为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共台全新的混合动力公交车，现有、两种型号，其中每台的价格，年省油量如表：

经调查，购买一台型车比购买一台型车多万元，购买台型车比购买台型车少万元
请求出和的值；
若购买这批混合动力公交车每年能节省万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元？

23. 如图，是直线，内部一点，，连接，．
    探究猜想：
    若，，则______；
    猜想图中，，的关系，并说明理由．
    拓展应用：
    如图，射线与，交于分别交于点、，，，，，分别是被射线隔开的个区域不含边界，其中区域，位于直线上方，是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系任写出两种，可直接写答案．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

2.【答案】

【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；
B、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，不符合题意．
故选：．
利用对顶角的定义、平行线的判定与性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行线的判定与性质等知识，难度不大．
 

3.【答案】

【解析】解：利用同旁内角互补，判定两直线平行，，故正确；
利用内错角相等，判定两直线平行，，，而不能判定，故错误；
利用内错角相等，判定两直线平行，，故正确；
利用同位角相等，判定两直线平行，，故正确．
故选：．
在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．根据平行线的判定方法，逐项判定即可．
本题考查了平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两直线平行．
 

4.【答案】

【解析】解：、，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、，原计算错误，故本选项不符合题意；
D、，原计算正确，故本选项符合题意．
故选：．
根据负整数指数幂的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法的运算法则、积的乘方的运算法则即可求得答案．
此题考查了负整数指数幂的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法的运算法则．解题的关键是熟记公式和法则．
 

5.【答案】

【解析】解：把代入得：，
把，代入得：，
则被遮盖的两个数分别为，，
故选：．
把代入方程组第二个方程求出的值，再将与的值代入第一个方程左边求出所求即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
由反射光线得，，
，
，
．
故选：．
根据两直线平行，同位角相等可得，根据反射光线的性质可得，然后求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
本题考查了平行线的性质，反射角等于入射角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，
由题意，得．
故选：．
等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解．
考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系．
 

8.【答案】

【解析】解：的是直角三角形沿着斜边的方向平移后得到的，且、、、四点在同一条直线上，
，，，，故正确；
四边形是平行四边形，
，故正确；
，
，
平移的距离，故正确；
，
，
的面积等于，
，
，
四边形的面积，故正确；
故选：．
由平移的性质得到，，，，故正确；根据平行四边形的性质得到，故正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到平移的距离，故错误；根据三角形的面积公式得到，根据梯形的面积公式得到四边形的面积，故正确．
本题考查了平移的性质，面积的计算，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：设的边长为，的边长为，
由甲、乙阴影面积分别是、可列方程组，
将化简得，
由得，将代入可知．
故选：．
设正方形、的边长，分别表示甲、乙图中的阴影面积，再变形可得答案；
本题考查完全平方公式，表达出阴影面积再变形即可得到答案．
 

10.【答案】

【解析】解：若时，
则，，
原式

，故符合题意．
若，
则，
，，
，故不符合题意．
若，则，
原式

，故符合题意．
若，则，
，
，故符合题意．
故选：．
根据完全平方公式、等式的性质、分式的乘除运算即可求出答案．
本题考查完全平方公式、等式的性质、分式的乘除运算，本题属于中等题型．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将 看做已知数求出 ．
把 看做已知数求出 即可．
【解答】
解：方程 ，

解得： ，
故答案为：   

12.【答案】

【解析】解：，
，
故答案为：
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
 

13.【答案】

【解析】解：，





，
故答案为：．
利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：将代入得：，
将代入方程组得：

解得：，
故答案为：．
根据二元一次方程组的解，即可解答．
本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是解二元一次方程组．
 

15.【答案】

【解析】解：一列数为，，，，，，，
这列数的第个数可以表示为，
其中某三个相邻数的积是，
设这三个相邻的数为、、，
则，
即，
，
，
解得，，
这三个数的和是：，
故答案为：．
根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
 

16.【答案】

【解析】解：矩形对边，
，
．
故答案为：．
根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折的性质结合图形可得图中点处的重叠了三层，然后根据平角等于列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记性质并准确识图判断出图中点处的重叠了三层是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得．
方程组的解是．
方程组整理得：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得．
方程组的解是．

【解析】加减消元法消去求出，把代入方程求出即可．
方程组先整理，再用加减消元法求解即可．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本思想：消元．
 

18.【答案】解：原式
；
原式

；
原式


；
原式


．

【解析】先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂和立方根，再计算加减即可；
先计算单项式乘方，再计算乘法，最后计算除法即可；
原式变形为，再先后利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
原式变形为，再利用平方差公式计算即可．
本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则和平方差公式、完全平方公式是解题根本和关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当，时，
原式

；
，，，
，



．

【解析】根据乘法公式化简原式，再代值计算便可；
根据乘法公式的恒等变换求得，再把原式化成、和平方与积的代数式，代值计算便可．
本题主要考查了乘法公式及应用，求代数式的值，关键是熟记乘法公式，灵活应用公式解题．
 

20.【答案】解：与构成的同旁内角：，，，；
证明：，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
．

【解析】根据同旁内角定义即可写出图中与构成的同旁内角；
根据平行线的性质和即可证明；
根据两直线平行，同旁内角互补和已知条件即可求出的值．
本题考查了平行线的判定与性质、同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
 

21.【答案】解：，，
和是“和谐数”；
这两个连续偶数构成的“和谐数”是的倍数．理由如下：
，
两个连续偶数构成的“和谐数”是的倍数．

【解析】按照新概念的定义，进行验证即可；
应用因式分解，把化成与整数的积的形式．
本题考查的是因式分解的应用，主要考查对新定义的理解，出去逐次验证的方式即可求解．
 

22.【答案】解：根据题意得：
解得：．
设购买型车台，型车台，根据题意得：

解得：
万元
答：购买这批混合动力公交车需要万元．

【解析】根据“购买一台型车比购买一台型车多万元，购买台型车比购买台型车少万元，“即可列出关于、的二元一次方程组，求解即可；
设购买型车台，型车台，根据购买的车辆总数为和购买这批混合动力公交车每年能节省万升汽油，列出方程组，解得和的值，再根据总费用，即可得答案．
本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，根据题意，正确列出方程组，是解题的关键．
 

23.【答案】

【解析】解：过作，

，
，
，，
，
故答案为：；

，
证明：方法一、延长交于，如图，

，
，
；
．
方法二、过作，如图，

，
，
，，
；

当在区域时，如图，；

当点在区域时，如图，；

当点在区域时，如图，；

当点在区域时，如图，．

过作，根据，可得，再根据两直线平行，内错角相等进行计算即可；
作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等或三角形外角性质，进行计算即可；
根据，，，分别是被射线隔开的个区域，是位于四个区域上的点，画出对应的图形，进而得出结论．
本题主要考查了平行线的性质，以及三角形外角性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．