天津市河北区2025-2026学年第二学期期中高一年级质量检测数学（含解析）

这是一份天津市河北区2025-2026学年第二学期期中高一年级质量检测数学（含解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则、、、四点构成平行四边形
B. 两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
C. 若、都是单位向量，则
D. 向量与是两平行向量
【答案】D
【解析】
【分析】利用共线向量的定义可判断A选项的正误；利用向量相等的定义可判断BC选项的正误；利用平行向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若，则、、、四点共线或、、、四点构成平行四边形，A错；
对于B选项，两向量相等的充要条件它们的方向相同、长度相等，且向量没有起点，B错；
对于C选项，若、都是单位向量，但、的方向 不一定相同，故、不一定相等，C错；
对于D选项，向量与是相反向量，它们是平行向量，D对.
故选：D.
2. 已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（ ）
A. 1B. 1或-4C. D. 0或
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数相等公式，列式求解.
【详解】由条件可知，，解得.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 棱柱的侧面可以是三角形B. 棱台的所有侧棱延长后交于一点
C. 正棱锥的各条棱长都相等D. 直四棱柱是长方体
【答案】B
【解析】
【分析】利用棱柱、棱锥、棱台性质逐项判断即可得.
【详解】对A：棱柱的侧面是平行四边形，故A错误；
对B：由棱台定义可知，棱台的所有侧棱延长后交于一点，故B正确；
对C：正棱锥的各条侧棱长都相等，但不一定与底面边长相等，故C错误；
对D：直四棱柱侧棱垂直底面，但底面不一定是矩形，故D错误.
4. 已知点，，，若，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设，则，
因为，所以，得，
故点D的坐标为
5. 如图，正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A. 24B. 12C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由直观图可得，，
所以原图形为
所以，，，，
，，
所以原图形的周长是.
6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则A等于（ ）
A. 30°或150°B. 60°或120°
C. 60°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理即可求解.利用正弦值求三角形内角时，需要考虑角的取值
【详解】由正弦定理，得，．
又，，，或120°．
故选：B
7. 如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量对应的复数分别为，则（ ）
A. 9B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由图可知，
所以.
故选：B.
8. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，则当底面水平放置时，水面高为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据棱柱体积计算公式即可求解.
【详解】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
设的面积为，则，
水的体积，
当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为，
则有，得，
即当底面水平放置时，水面高为9．
故选：C．
9. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论.
【详解】因为，所以，
因为，故，
因为，即，
即，化简得，
因为，故，可得，则，故，
因此，为直角三角形，
故选：B.
10. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ）

A. 1小时B. 0.3小时C. 0.5小时D. 0.2小时
【答案】B
【解析】
【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果.
【详解】由题意，在中，，，，所以，
由正弦定理可得，，
则；
又在中，，，
由余弦定理可得，
，所以，
因此救援船到达点需要的时间为小时.
故选：B.
11. 是虚数单位，复数______．
【答案】
【解析】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】.
故答案为：.
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上.
12. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则______.
【答案】
【解析】
【详解】由余弦定理得，，
因为，所以
13. 已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则_________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据投影向量公式代入即可求解.
【详解】为一个单位向量，.
与的夹角为，且在上的投影向量为.
.
，即.
故答案为：4
14. 实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，如图所示，则剩下几何体的表面积是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知几何体的表面积为圆锥表面积与挖去圆柱侧面积的和，再应用圆柱、圆锥的侧面积和表面积求法求面积.
【详解】由题意，几何体的表面积为圆锥表面积与挖去圆柱侧面积的和，
又圆柱底面半径为，高为2，则其侧面积为，
圆锥的母线长为，底面周长为，则其表面积为，
所以几何体的表面积为.
故答案为：
15. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用平面向量的基本定理，求得，求得的值，再由，且，设，得到和，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为，即，则，
又因为，可得，，所以；
因为正方形的边长为1，可得，且，
又因为为线段上的动点，设，且，
则，
因为为中点，则，
可得
又因为，所以当时，取到最小值．
故答案为：；．
三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知复数，（，为虚数单位）．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由复数，，
可得，
因为复数为纯虚数，所以，解得．
【小问2详解】
解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得
所以实数的取值范围为．
17. 已知向量，．
（1）若，求实数的值；并求出此时与同向的单位向量的坐标；
（2）若，，，且，，三点共线，求实数的值．
【答案】（1），与同向的单位向量的坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）由列方程，化简求得的值.利用向量的坐标运算求得与同向的单位向量的坐标.
（2）先求得，然后根据三点共线列方程，化简求得的值.
【小问1详解】
,
由于，所以.
，
所以，与同向的单位向量的坐标为.
【小问2详解】
，
由于三点共线，所以，
所以.
18. 如图，在中，，，，M是的中点，N是边上一点，且，与交于点P.
（1）若，求x，y的值；
（2）求的值；
（3）求的余弦值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将通过向量线性运算分解为和的线性组合，对比系数直接得到的值；
（2）利用中点性质把用、表示，代入数量积公式结合已知边长和夹角计算结果；
（3）利用共线定理得到点对应的向量系数，再用向量夹角公式计算的余弦值.
【小问1详解】
由，得，因此：BN=BA+AN=−AB+13AC，
对比BN=xAB+yAC，得：x=−1,y=13.
【小问2详解】
因为是中点，所以，因为AB→=2,AC→=6 ，
所以AB→⋅AC→=AB→AC→cs⁡60∘=6 ，
所以AM→·BN→=12AB→+AC→·−AB→+13AC→=12−4−23×6+13×36=2 .
【小问3详解】
∠MPN是向量与的夹角，也即的夹角，
由（2），
所以AM→2=14AB→2+2AB→·AC→+AC→2=144+2×6+36=13 ，AM→=13，
由（1）BN→=−AB→+13AC→，
所以BN→2=AB→2−23AB→·AC→+19AC→2=4−23×6+19×36=4 ，BN→=2 ，
由夹角公式： cs⁡∠MPN=AM→⋅BN→AM→BN→=213×2=1313，
​​即 的余弦值为1313.
19. 在中，角的对边分别为，若，其中，
（1）求角的大小；
（2）若的面积为．
①求的值；
②求的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由便得到，进行数量积的坐标运算便可得到，从而得出；
（2）①利用余弦定理及三角形面积公式计算可求；②利用正弦定理求得，再由三角恒等变换计算可求的值.
【小问1详解】
因为，则，
又，
所以，
由正弦定理得，
即，
又是内角，则,
所以，即,
又是内角，则.
【小问2详解】
①在中，，由（1）及余弦定理得
，
又，，
联立解得，或（舍去）；
②由正弦定理可得，，
因为，，所以，
所以，
由可知，
所以，
故.