2026年上海市奉贤区高三二模数学试卷及答案解析

这是一份2026年上海市奉贤区高三二模数学试卷及答案解析，共5页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，若，则实数________．
2. 不等式解集为________．
3. 在展开式中，的系数为___________．
4. 若直线与直线平行，则实数a的值为________．
5. 已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为______．
6. 已知函数是奇函数，则________．
7. 某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为________．（结果精确到0.001）；
参考数据：若，则，，．
8. 点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________．
9. 从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________．
10. 已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________．
11. 如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米）
12. 在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________．
二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
13. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
14. 已知双曲线的方程为，则（ ）
A. 渐近线与无关B. 实轴长与无关C. 焦距与无关D. 焦点与无关
15. 音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（ ）
A
B.
C.
D.
16. 已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数的零点的个数一定是3个
B. 若集合解集是，则实数对有2对
C. 函数必存在极值
D. 函数在处的切线方程为，则
三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数的表达式为，．
（1），求的值；
（2）若，，依次成等比数列，求的值．
18. 某工厂生产的某种产品的月产量（单位：千件）与单位成本（单位：元/件）的数据如下：
（1）计算产量与单位成本的相关系数（无需过程）；
（2）建立产量与单位成本的回归方程（写出必要的过程）：
（3）若该工厂计划7月份生产7千件该产品，则单位成本预计是多少？
附：相关系数的计算公式：；
回归系数计算公式：，
19. 在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点F为的中点，点E为上的点，，，平面与棱交于点G．
（1）求证：异面直线与垂直；
（2）当时，求与底面所成线面角大小．
20. 已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与相切，求当时，的长；
（3）若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标．
21. 设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，．
（1）若，，求；
（2）求证：数列是严格递减数列；
（3）若，比较与的大小，并说明理由．
参考答案及解析：
1、【答案】
【解析】
【详解】因为，所以或，
解得，或，
当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去；
当时，，满足题意，故
2. 不等式解集为________．
【答案】
【解析】
【详解】或，
解得或，
所以不等式的解集为.
3. 在展开式中，的系数为___________．
【答案】10
【解析】
【分析】由二项式定理写出展开式通项，求含的项即可知其系数.
【详解】由题设，展开式通项公式为，
当时，，
∴的系数为10.
故答案为：10.
4. 若直线与直线平行，则实数a的值为________．
【答案】
【解析】
【详解】已知直线与直线平行，
两直线斜率相等，即，解得，
直线截距为1，直线的截距为0，不相等，
．
5. 已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.
【详解】因为圆锥的高为8，底面半径为，
所以圆锥的母线长为，
则圆锥的侧面积.
故答案为：.
6. 已知函数是奇函数，则________．
【答案】
【解析】
【详解】解：设，
，
又函数是奇函数，
，即，，
，，
解得．
7. 某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为________．（结果精确到0.001）；
参考数据：若，则，，．
【答案】
【解析】
【详解】因为零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，
所以
.
8. 点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先得到焦点坐标与准线方程，根据的面积求出，从而求出，再由焦半径公式计算可得.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

则，
所以，则，所以，
所以.
故答案为：
9. 从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式计算可得.
【详解】依题意可得，，
所以.
10. 已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【详解】，
，
，设，
则，
当，，即，时，，
此时取最大值，
当，，即，时，，
此时取最小值，
．
11. 如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米）
【答案】
【解析】
【详解】在中，，，；
由正弦定理可得，整理可得.
在中，，
由正弦定理，
整理可得.
所以
.
12. 在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________．
【答案】
【解析】
【分析】通过条件建立关于与的二元一次方程组，解出，并使用辅助角公式变形求解.
【详解】，，，
由题意得解得，
，，
当时，取最大值为，
所以y的最大值是.
二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
13. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由，可得，又，所以，故A错误；
由，所以，故，故B错误；
，
因为，所以，则，故C错误；
由，可得，又，所以，故D正确.
故选：D
14. 已知双曲线的方程为，则（ ）
A. 渐近线与无关B. 实轴长与无关C. 焦距与无关D. 焦点与无关
【答案】A
【解析】
【详解】已知双曲线的方程为，则，
当时，，焦点在轴，，
当时，，焦点在轴，，
当时，渐近线方程为，实轴长为，
焦距为，焦点为；
当时，渐近线方程为，实轴长为，
焦距为，焦点为；
渐近线与无关，实轴长、焦距、焦点均与有关．
15. 音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图1求出、、的值，写出对应函数的解析式，再结合选项得出函数的解析式．
【详解】解：由图1知，，，
所以，所以；
结合题意知，函数．
故选：．
16. 已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数的零点的个数一定是3个
B. 若集合的解集是，则实数对有2对
C. 函数必存在极值
D. 函数在处的切线方程为，则
【答案】B
【解析】
【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错.
B：若满足条件，则在处为零，且在时，
由，得，即或，
当时，，为满足条件，，
当时，同理可得，
当时不满足题意，
所以实数对有对：和，B对.
C：求导，，接着判断，
把判别式看作关于的函数，则，，
当时，，，所以有两个零点，有极值，
当时，，
此时当，，有两个零点，有极值，
当，，恒成立，函数在定义域上单调递增，
所以当取值时，，无极值，所以C错.
D：在处的切线方程为，
求导 ， 得，
得或，D错.
三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数的表达式为，．
（1），求的值；
（2）若，，依次成等比数列，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
由，，得，
则.
【小问2详解】
由，，，
因成等比数列，故，
即，得；
若，，依次成等比数列，则；
所以，，又，故，此时，，依次
为，符合题意；
综上，.
18. 某工厂生产的某种产品的月产量（单位：千件）与单位成本（单位：元/件）的数据如下：
（1）计算产量与单位成本相关系数（无需过程）；
（2）建立产量与单位成本的回归方程（写出必要的过程）：
（3）若该工厂计划7月份生产7千件该产品，则单位成本预计是多少？
附：相关系数的计算公式：；
回归系数计算公式：，
【答案】（1）
（2）
（3）元/件
【解析】
【小问1详解】
根据相关系数的公式，
由表格数据可得，，，
，，
于是.
【小问2详解】
设回归直线方程为，
根据公式可得，
，
故回归直线方程；
【小问3详解】
根据（2）可知，，
当时，，
所以预计成本是元/件.
19. 在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点F为的中点，点E为上的点，，，平面与棱交于点G．
（1）求证：异面直线与垂直；
（2）当时，求与底面所成的线面角大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，计算求出，从而证明结论；
（2）求出，进而求出点，进而求出，利用向量夹角的余弦公式求出线面角的大小．
【小问1详解】
已知四边形是菱形，则，设，则是的中点，
，，
，
，且平面，
平面，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，
，，，
，
，
F为的中点，
，
点E为上的点，，，
，则，
，
，
，故，
异面直线与垂直．
【小问2详解】
当时，，，
设为平面的法向量，则，令，
则，
，
平面方程为：，即，
，
，直线参数方程为：，
参数方程代入平面方程得，解得，
，故，
底面的法向量为，
设与底面所成角为，则
，
与底面所成的线面角为．
20. 已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与相切，求当时，的长；
（3）若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用离心率及所过点计算即可得；
（2）设出直线后，利用圆的切线的性质计算可得，联立直线与曲线方程，消去可得与横坐标相关韦达定理，再利用弦长公式计算即可得；
（3）设，，联立直线与曲线方程，消去可得与横坐标相关韦达定理，再利用圆上的点的性质，借助向量有，计算后可得与、、、有关等式，再利用定点性质计算即可得解.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
故椭圆的方程为；
【小问2详解】
由，则，可设，、，
则由直线与相切，可得，化简得，
联立，消去可得，
，
则，，
则
；
【小问3详解】
设，、，，
联立，消去可得，
，即，
，，
由点在以为直径的圆上，则，
由，，
则
，
即
故，则有，
由，故，则有，
即或，由，故，
即当且仅当时，以为直径的圆经过轴上方的定点，
且点坐标为.
21. 设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，．
（1）若，，求；
（2）求证：数列是严格递减数列；
（3）若，比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）对于，当，；当，；当，
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入即可.
（2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明.
（3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可判断大小.
【小问1详解】
已知，，
当，，设切线斜率为，
则，直线为，
令，.
【小问2详解】
设，，，，所以，
，
则直线为.
令，则.
，
因为，且，
所以，
所以数列是严格递减数列.
【小问3详解】
当时，，，令，
则，
令.
所以.
构造函数，令，，
求导，
构造函数，，所以单调递增，且，
所以，所以函数在上单调递增，
当，，
根据零点存在定理，存在唯一的使得，
所以结合数列的单调递减性，
当，，此时；
当，，此时；
当，，此时.
月份
产量（千件）
单位成本（元/件）
1
2
73
2
3
72
3
4
71
4
3
73
5
4
69
6
5
68
月份
产量（千件）
单位成本（元/件）
1
2
73
2
3
72
3
4
71
4
3
73
5
4
69
6
5
68